江西省九江市九江外国语学校2024-2025学年下学期七年级第八届“开拓杯”竞赛数学试题

第5题 九江外国语学校第八届“开拓杯”数学应用与创新竞赛 七年级试卷 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 1.下列事件中，是必然事件的是（ ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是 6 C．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 D．任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数 2.在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有 0.000015 米，将数据 0.000015 用科学记数法表示为（ ） A． 51.5 10 B． 41.5 10 C． 415 10 D． 60.15 10 3.如图，射线OC的端点 O 在直线 AB上， 40AOC  ，点 D 在平面内， BOD 与 AOC 互余，则 DOC 的度数为（ ） A. 40 B．50 C．50或130 D．90或170 4.已知    22x a x x x b     ，则 a，b 的值分别是（ ） A． 3, 6a b    B． 3, 6a b   C． 3, 6a b   D． 3, 6a b  5．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇 淇受其启发，设计了如图 1 所示的“表格算法”，图 1表示132 23 ，运算结果为 3036．图 2 表示一个 三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图 2 中现有数据进行推断，正确的是（ ） A．“20”左边的数是 16 B．“20”右边的“□”表示 5 C．运算结果小于 6000 D．运算结果可以表示为4100 1025a  6.小明在白纸上任意画了一个锐角，他画的角在 45°到 60°之间的概率是（ ） A． 6 1 B． 3 1 C． 2 1 D． 3 2 7.对于任何整数 m，多项式  24 5 9m   都能（ ） A．被 8 整除 B．被 m 整除 C．被  1m  整除 D．被  2 1m  整除 8.如图所示的“杨辉三角”告诉了我们  na b 展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数  1,2,1 ，恰 好对应  2 2 22a b a ab b    展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应  3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： 4 3 24 4 4 44 6 4 1 5 5 5 5                         （ ） A. 625 1 B． 625 96 C． 625 1  D． 625 96  二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 9.计算   1x a x  的结果中不含关于字母 x的一次项，则 a  ． 10.用 4 根长度分别是 5cm，7cm，9cm，13cm 的木棒，可以摆出不同三角形的个数为 。 11.已知 2ma  ， 5na  ，则 3m na  的值为 。 12.如图，已知∠B=∠C，请添加一个条件使△ABD≌△ACD，则添加的条件为 。 13.如图，直线 l1//l2，∠A=125°，∠B=85°，且∠1 比∠2 大 4°，则∠1 的度数为 。 14.如图所示的运算程序中，若开始输入 x 的值为 8，则第 2025 次输出的结果为 。 15.如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的点 A'处，折痕为 DE．如果∠A=α， ∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么α，β，γ三者之间的等量关系为 。 16.如图，在大长方形中放入三个正方形 ABCD， EFGH ， LIJK，边长分别为 4，3，2．若 3 个阴影部分 的面积满足 3 1 23 2 10S S S   ，则大长方形的 面积为 . 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17.化简并求值. (1) 202520242023 ) 6 5(0.52.4  (2)已知 yx2 ，求代数式         yyxyyxyx 42222  的值. 第3题 第 12 题 第 14 题 第 15 题 第 16 题 姓名： 第 13 题 18.如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC，AD=AE，点 C，D，E 在同一条直线上，连接 BD。请 猜想 BD、CE 之间的关系并加以证明。 四、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分） 19.一天，哪吒与敖丙在海边修炼，哪吒说：“我觉得数学与法术一样有趣，意外发现一种快速算出75 75 的方法，先用100 7 8  ，再加上 25，得到结果是 5625．”哪吒的话引发了敖丙的兴趣．于是两人围 绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动． 【活动 1】 阅读材料：用 ab表示一个两位数，a 代表十位上的数，b 代表个位上的数，即 10ab a b  ． 观察思考：请观察下列运算规律 15 15 100 1 2 5 5 225       ， 25 25 100 2 3 5 5 625       ， 35 35 100 3 4 5 5 1225       ， …… （1）根据阅读材料，可知： 5a  ______； （2）观察运算规律，猜想： 5 5 ______ 5 5a a    ； 【推理证明】 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想． 【活动 2】 （4）如果 10b c  ，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算 ab ac 的方法，并证明你的结论． 20.在△ABC 中，AB = AC，BG 是△ABC 的高，已知点 D 是射线 BC 上的任意一点，过点 D 分别向 AB，AC 作 垂线，垂足分别为 E，F. 试探究 DE，DF，BG 这三者之间的数量关系，并说明理由. 21.图 1 是一个长为 2a、宽为 2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一 个正方形． 图 1 图 2 图 3 (1)观察图 2，请你写出以下三个代数式  2a b ，  2a b ， ab之间的等量关系：_________． (2)若 x 满足   5 1 3x x   ，求    2 25 1x x   的值． (3)如图 3，正方形 ABCD的边长为 x，E，F 分别是 AD，DC上的点，且 1AE  ， 3CF  ，长方形 EMFD的面 积是 8，分别以MF，DF为边作正方形． ①MF  _________，DF  _________．（用含 x 的式子表示） ②求阴影部分的面积． 22.已知： AB CD∥ ，点 E在直线 AB、CD之间，连接 EA、 EC． (1)如图 1，若 80A  ， 50C  ，则 AEC 的度数为 ； (2)如图 2，若 AF 平分 BAE ，CF平分 DCE 交 AF 于点 F，猜想 AEC 和 AFC 之间的数量关系并说明理 由； (3)如图 3，在（2）的条件下，延长 AE交DC于点 G，在 AG的延长线上取一点 K，连接 FK交CD于点 H，CL AF 于点 L，若 50CEG  ∠ ， AFK CHF  ．求 GKH ． 九江外国语学校第八届“开拓杯”数学应用与创新竞赛 七年级试题评分标准 姓名： 班级： 考场/座位号： 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分） 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2．选择题部分请按题号用 2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 留痕迹。 3．非选择题部分请按题号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用 2B 铅笔，并描浓。 4．在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 1 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9. 1 10. 3 11. 40 12. ∠BAD=∠CAD （不唯一） 13. 17 14. ﹣8 15. γ= 2α+β 16. 23 17. 4 分（1） 72 25 — 4 分（2）0 （过程略） （过程略） 四、解答题( 本大题共 4小题，每小题 10分，共 40分) 18. 8 分 BD = CE，BD⟂ CE 少 BD = CE 扣 1分 少 BD ⟂ CE 扣 3分 （证明略） 19. 1 分（1） 10a +5 ；2 分（2） 100a (a +1) ； 3 分（3）略 4 分（4） bcaaacab  )1(100 . 证明略（写对结论给 1 分） 20. 5 分 ①当点 D在线段 BC 上时， DE+DF=BG 5 分 ②当点 D在线段 BC 的延长线上时， DE-DF=BC （过程略） 21. 2 分（1） ； 2 分（2）10（过程略） （3）2分 ① x-1 ； x-3 ； 4 分 ②S 阴影部分=12（过程略） abbaba 422  ）（）（ 22. 2 分（1） 130° ； 4分（2）∠AEC=2∠AFC（理由略） 4分（3）∠GKH=30°（过程略）