综合与实践 最短路径问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(人教版2024)河北专版

第十五章　轴对称　 综合与实践　最短路径问题 1 练基础 目 录 练素养 活动一 牧民饮马问题 1.【教材P94任务1改编】如图，要在街道l上设立一个奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图中使OA+OB的值最小的是 （　　） D 练基础 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 3 2. （石家庄外国语学校期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于 （　　） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3.（廊坊霸州期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则当EM+CM取得最小值时，∠ECM的度数为 （　　） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 5 4.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F. 若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________. 11 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 6 5.【教材P95任务1改编】如图，∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，则△PQR周长的最小值为________. 10 活动二 牧民饮马问题的拓展 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 7 解析：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MQ，NR，则PQ=MQ，PR=NR，∴PQ+QR+PR=MQ+QR+NR， ∴当Q，R分别为MN与OA，OB的交点时，△PQR的周长最小，最小值等于MN的长. 由轴对称的性质，得OM=ON=OP=10， ∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB， 则∠MON=2∠AOB=2×30°=60°. ∴在△MON中，MN=OM=ON=10， 即△PQR周长的最小值为10. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 6.如图，四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数是______. 110° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 解析：如图，分别作点A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A′M，A″N. 根据轴对称的性质，得AM=A'M，AN=A″N， ∴△AMN的周长为AM+AN+MN=A'M+A″N+MN. ∴当点A'，A″，M，N在一条直线上时，A'M+A″N+MN 的值最小，且最小值为A'A″，则A'A″的长度即为△AMN周长的最小值. ∵∠BAD=125°，∴∠A'+∠A″=180°-125°=55°. ∵∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD，且∠A'+∠MAB=∠AMN，∠A″+∠NAD=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAB+∠A″+∠NAD=2（∠A'+∠A″）=2×55°=110°. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 7.【教材P96任务1改编】（邢台任泽期中）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1⫽l2. 现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线 （　　） C 活动三 造桥选址问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 11 8.【教材P95活动二任务2改编】如图，小华周末要从家（点A）出发去李奶奶家（点B），途中她要先到草场边某一处打一捆草，再到林区边某一处捡一捆柴，然后到达李奶奶家，最后回家. 她应该选择怎样的路线才能使行程最短，请画出最短路径（保留作图痕迹，不写作法）. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 12 解：如图，设草场边为直线l1，林区边为直线l2，作A关于l1的对称点A'，作B关于l2的对称点B'，连接A'B'交l1于点M，交l2于点N，路线A→M→N→B→A即为所求. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 14 $$