专题7 构造全等三角形的常用方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(人教版2024)河北专版

第十四章　全等三角形　 专题7　构造全等三角形的 常用方法 1 方法1　利用“角的平分线”构造全等三角形 【方法指导】 角的平分线本身就具有判定三角形全等的两个等量条件（角相等和公共边），因此当题目中有角的平分线时常作以下辅助线，得到另外一个等量条件，从而构造全等三角形： 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 2 针对训练 1.（承德平泉期末）如图，△ABC的面积为16 cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为 （　　） A. 10 cm2 B. 8 cm2 C. 7 cm2 D. 6 cm2 B 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 3 2. （衡水桃城校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为 （　　） A. 8 B. 12 C. 4 D. 6 D 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 4 方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形 【方法指导】 “截长补短法”适用于有关线段和、差的问题，一般做法是先在较长线段上截取线段或延长较短线段，使其与特定线段相等，再利用全等三角形的相关知识求解. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 针对训练 3. 如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，若P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB-AC______ PB-PC（填“>”“<”或“=”）. > 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 6 解析：方法1（截长法）：如图1，在AB上截取AN=AC，连接PN. 在△APN和△APC中，∴△APN≌△APC（SAS），∴PN=PC. 在△BPN中，BN>PB-PN， ∴AB-AN>PB-PC，∴AB-AC>PB-PC. 方法2（补短法）：如图2，延长AC至点M，使AM=AB，连接PM. 在△ABP和△AMP中， ∴△ABP≌△AMP（SAS），∴PB=PM. 在△PCM中，CM>PM-PC， ∴AM-AC>PB-PC，∴AB-AC>PB-PC. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 4.如图，已知C为射线AD上一点，∠A=∠B，PA=PB，AP与BC交于点M. 若∠APB=2∠CPA，求证：BM=AC+CM. 证明：如图，在BC上截取BG=AC，连接PG. 在△ACP和△BGP中，∴△ACP≌△BGP（SAS）. ∴∠CPA=∠GPB，PC=PG.∵∠APB=2∠CPA，∴∠APB=2∠GPB. 又∠APB=∠GPB+∠GPA，∴∠GPA=∠GPB=∠CPA. 在△CPM和△GPM中， ∴△CPM≌△GPM（SAS），∴CM=GM. ∴BM=BG+GM=AC+CM. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 8 方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形 【方法指导】 “倍长中线法”是指延长中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 5.（唐山丰南期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=7，AD=5，则AC的取值范围为 （　　） A. 5<AC<15 B. 3<AC<15 C. 3<AC<17 D. 5<AC<17 C 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 10 6.如图，CE是△ACD的中线，点B在AD的延长线上，BD=AC，∠ACD=∠ADC. 求证：CE=BC. 证明：如图，延长CE至点F，使EF=CE，连接DF. ∵CE是△ACD的中线，∴AE=DE. 在△ACE和△DFE中， ∴△ACE≌△DFE（SAS）. ∴∠CAE=∠FDE，AC=DF. ∵∠CDF=∠ADC+∠FDE，∠ACD=∠ADC， ∴∠CDF=∠ACD+∠CAD=∠CDB. ∵BD=AC，∴DF=BD. 在△CDF和△CDB中， ∴△CDF≌△CDB（SAS）. ∴CF=BC，∴CE=BC. 目 录 导 航 2 3 4 5 1 6 11 12 $$