24.8 综合与实践 进球线路与最佳射门角-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦“进球线路与最佳射门角”，结合圆的圆周角和弦的性质，通过足球射门等现实情境导入，连接圆的基本概念，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点是以探究性问题驱动，如射门角最大位置的探究，培养几何直观、推理意识和模型意识。将射门问题转化为圆中圆周角关系分析，采用问题链教学，学生提升数学应用能力，教师可借助实例增强教学实效。

第24章　圆 24.8　综合与实践　进球线路与最佳射门角 1 练基础 练素养 目 录 2 练基础 知识点　进球线路与最佳射门角 1. （北京海淀阶段练习）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门PQ，当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点，此时有两种射门方式：第一种：甲直接射门；第二种：甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，选择第________种射门方式比较好. 二 目 录 导 航 2 3 4 1 3 2. 如图，海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°. 为了避免触礁，轮船P与灯塔A，B的张角∠APB的最大值为________. 40° 目 录 导 航 2 3 4 1 4 3. （浙江金华中考改编）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小时，张角越大，射门越好.在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E均在格点上，其中AB是球门，球员带球沿CD方向进攻. （1）在C，D，E三点中，到球门AB张角相等的两个点是________； （2）在线段CD上，射门最好的点的坐标为________. D，E （4，3） 目 录 导 航 2 3 4 1 5 4. （新趋势　探究性问题）仅从射门角考虑，射门角越大，射门进球的可能性就越大. 【提出问题】如图1，球员带球沿直线BC奔向球门PQ，探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大. 【分析问题】因为线段PQ长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角. 如图2，射线BC与⊙O相交，点M，A，N分别在圆外、圆上、圆内，连接NP，NQ，AP，AQ，MP，MQ. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 1 6 【解决问题】（1）如图2，比较∠PMQ，∠PAQ，∠PNQ的大小：__________________________（用“<”连接）. 解：提示：如图，设PM与⊙O交于点E，PN的延长线与⊙O交于点F，连接EQ，FQ， ∴∠PFQ=∠PAQ=∠PEQ. ∵∠PMQ=∠PEQ-∠MQE， ∠PNQ=∠PFQ+∠FQN， ∴∠PMQ<∠PEQ，∠PFQ<∠PNQ， ∴∠PMQ<∠PAQ<∠PNQ. ∠PMQ<∠PAQ <∠PNQ 目 录 导 航 2 3 4 1 7 （2）如图3，点A是射线BC上一动点（点A不与点B重合）. 证明：当△APQ的外接圆O与射线BC相切时，∠PAQ最大. 证明：由（1）中的规律，得点A在圆内时∠PAQ最大，其次是在圆上，最后是在圆外， ∴当△APQ的外接圆O与射线BC相切时，点A要么在圆上为切点，要么在圆外， ∴当点A在圆上时，∠PAQ最大. 即当△APQ的外接圆O与射线BC相切时，∠PAQ最大. 目 录 导 航 2 3 4 1 8 【延伸拓展】（3）在（2）的条件下，若PQ=4，PB=5，tan B=2. 当∠PAQ最大时，∠PAQ与∠B的数量关系为________________. ∠PAQ+∠B=90° 目 录 导 航 2 3 4 1 9 提示：如图，过点O作OH⊥PQ，垂足为点H，OH的反向延长线交BC于点K，连接OA，OP，OQ. 由垂径定理，得PH=QH=2，则BH=BP+PH=7， 在Rt△BHK中，tan B==2， ∴KH=14. 设⊙O的半径为r，则AO=r. 由（2）知，BC是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥BC. ∴∠BKH+∠AOK=90°. ∵∠BKH+∠B=90°，∴∠AOK=∠B， ∴tan∠AOK=2，即=2，∴AK=2r. 目 录 导 航 2 3 4 1 10 在Rt△AKO中，OK2=AO2+AK2，∴OK=4r，∴OH=KH-OK=14-r. 在Rt△OPH中，OP2=OH2+PH2，即r2=（14-r）2+22， 解得r1=2，r2=5（舍去）， ∴OH=4，∴tan∠OPH==2，∴∠B=∠OPH. 又∵∠PAQ=∠POQ=∠POH，且∠POH+∠OPH=90°， ∴∠PAQ+∠B=90°. 目 录 导 航 2 3 4 1 11 12 $$