24.5 三角形的内切圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，以2023世界制造业大会空地建圆形休闲区为实际情境导入，通过问题建模引导学生从作图入手，逐步掌握内心概念、角度与周长计算等基础内容，形成层层递进的学习支架。 其亮点在于分“练基础、练提升、练素养”三层设计，结合实际情境与跨模块综合题，如内心外心结合、坐标几何应用等，发展学生几何直观与推理意识。原创题与改编题助力学生用数学思维解决问题，为教师提供分层教学资源，提升教学效率。

第24章　圆 24.5　三角形的内切圆 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　三角形的内切圆的作法 1. （原创题　综合与实践）【实际问题】2023世界制造业大会于9月20日至24日在合肥滨湖国际会展中心举办，开幕前，某工程队想要在主题展馆外的一块三角形空地上建一个最大的圆形休闲区. 【问题建模】如图，△ABC是一块三角形空地示意图，请你在这块空地上作一个面积最大的圆. 【问题解决】请用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 3 解：如图，作∠ABC的平分线BE，作∠ACB的平分线CF，BE与CF交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，以O为圆心、OD为半径作⊙O.⊙O即为所作. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 4 2. （阜阳阶段练习）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的 （　　） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高的交点 C 知识点2　三角形的内切圆与内心 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 5 3. （教材P43例题改编）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB=125°，则∠C= （　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 6 4. （教材P44习题T2改编）如图，△ABC的内切圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠A=70°，则∠DEF= （　　） A. 70° B. 55° C. 110° D. 35° B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 7 5. （河北张家口校级期末）如图，⊙O为△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，△ABC的周长为14，则BC的长为________. 5 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 8 6. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A=90°，BC=10，AC=8. （1）△ABC的面积是________； （2）⊙O的半径是________. 24 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 9 【变式】如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2+S3.（填“>”“<”或“=”） < 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 10 7. （教材P44习题T3改编）如图，在△ABC中，∠C=90°，内切圆O与AB相切于点E，BO的延长线交AC于点D，求证：BE·BD=BO·BC. 证明：如图，连接OE. ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OE⊥AB，BO平分∠ABC， ∴∠OEB=90°，∠OBE=∠OBC. 在△OBE与△DBC中， ∠OBE=∠DBC，∠OEB=∠C=90°， ∴△OBE∽△DBC，∴=，即BE·BD=BO·BC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 11 8. （山东淄博周村期末）如图，点I，O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB的度数为 （　　） A. 120° B. 125° C. 135° D. 140° 练提升 D 【解析】∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB=∠CAB，∠IBA=∠CBA，∴∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA）=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C=125°，∴∠C=70°.∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C=140°. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 12 9. 如图，点I为△ABC的内心，AB=8，AC=6，BC=4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 （　　） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 B 【解析】如图，设平移后∠ACB的两边分别交AB于点D，E，连接AI，BI.∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI.由平移得，AC⫽ID，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI.同理，得BE=IE，∴△DIE的周长=DE+IE+ID=DE+BE+AD=AB=8，即图中阴影部分的周长为8.故选B. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 13 10. 如图，已知等边三角形ABC的内心为I，AB=6，则△ABC内切圆的半径为________. 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=6，∴AB边上的高为6×sin 60°=6×=3， ∴S△ABC=×6×3=9. 设△ABC内切圆的半径为r， 则内心I到AB，BC，AC的距离均为r， ∴S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r=9r=9，∴r=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 14 11. （教材P44练习T4改编）如图，在四边形材料ABCD中，AD⫽BC，∠D=90°， BC=9 cm，AB=10 cm，CD=8 cm. 现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是________cm. 3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 15 【解析】∵AD⫽BC，∠D=90°，∴∠BCD=90°.如图1，过点A作AF⊥BC于F， ∴△AFB是直角三角形，四边形ADCF是矩形.∵BC=9 cm，AB=10 cm，CD=8 cm， ∴AF=CD=8 cm.在Rt△AFB中，BF==6（cm）， ∴AD=FC=BC-BF=9-6=3（cm）. 如图2，延长BA，CD交于点E，作Rt△BCE的内切圆⊙O，则此圆的面积最大. ∵∠ADC=90°，∴∠ADE=90°.∵AD⫽BC，∴△ADE∽△BCE，∴==， ∴==，解得EA=5 cm，ED=4 cm，∴EB=EA+AB=15 cm，EC=ED+ DC=12 cm.设⊙O的半径为r cm，则×(EC+BC+EB）r=×EC×BC，即×(12+9+15)r=×12×9，解得r=3.∴此圆的半径是3 cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 12. （新趋势　多模块综合）如图，点B，C的坐标分别为（-5，0）和（5，0），AB-AC=6，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为________. 【解析】如图，设⊙M分别与AB，AC，BC相切于点P，N，D，连接MD. ∵⊙M为△ABC的内切圆， ∴AP=AN，BP=BD，CD=CN，MD⊥BC.∵AB-AC=6，∴AP+BP-（AN+CN）=6 ，∴BP-CN=6 ，∴BD-CD=6 .∵点B，C的坐标分别为（-5，0）和（5，0），∴OB=OC=5，∴BC=10，∴BD+CD=10，∴CD=5-3，∴OD=OC-CD=5-（5-3）=3，∴M的横坐标是3. 3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 17 13. 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE， BE，则∠AEB的度数为________. 135° 【解析】如图，连接EC. ∵点E是△ADC的内心，∠ADC=90°，∴∠ACE=∠ACD，∠EAC=∠EAB=∠CAD，∴∠AEC=180°-（∠ACD+∠CAD）=135°.在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB，∴∠AEB=∠AEC=135°. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 18 14. （芜湖一模）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆O相交于点D，与弦BC交于点F. （1）求证：DB=DE. 解：（1）证明：如图，连接BE. ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD， 由圆周角定理，得∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD， ∴∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠BAD+∠ABE=∠DEB，∴DB=DE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）若DF=3，AF=5，求AE的长. 解：∵∠FBD=∠BAD，∠FDB=∠BDA， ∴△DBF∽△DAB，∴=，∴DB2=AD·DF. ∵DF=3，AF=5，∴AD=DF+AF=8， ∴DB2=24，∴DB=2，∴DE=DB=2， ∴AE=AD-DE=8-2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 20 15. （新趋势　规律探究题） 如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心. 将Rt△OAB沿x轴的正方向做无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第99次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P99的坐标是__________. 练素养 （397，1） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 21 【解析】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴OA=4，OB=3， ∴AB==5， ∴Rt△OAB内切圆的半径=×（3+4-5）=1， ∴P的坐标为（1，1）. ∵将Rt△OAB沿x轴的正方向做无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，∴可得P1（5，1），P2（11，1），P3（13，1），∴每滚动3次一个循环，每个循环圆心前进4+6+2=12. ∵99÷3=33，∴第99次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P99的横坐标是33×12+1=397，即P99的横坐标是397，∴P99的坐标是（397，1）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 22 23 $$