专题6 相似三角形性质与判定的综合应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦相似三角形性质与判定的综合应用，从基础计算入手，逐步过渡到证明、实际问题及函数综合，搭建从单一应用到复杂情境的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于例题覆盖矩形、直角三角形、实际测量等多场景，结合数学眼光观察现实问题，如视力检查中用相似求距离，培养应用意识，通过证明题和函数推导发展数学思维与模型意识。学生能提升综合应用能力，教师可借助分层例题优化教学效率。

专题6　相似三角形性质与判定的综合应用 第22章　相似形 1 类型1　利用相似进行计算 1.（广西贺州阶段练习）如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于点O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为 （　　） A. 16 B. 32 C. 38 D. 40 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 2 【解析】设△COE的边OE上的高与△BOC的边OB上的高为h，则S△COE=OE·h=2，S△BOC=OB·h=8，∴=，∴=.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⫽CD，AD=CB， AB=CD，∴S△ABC=S△ADC，△COE∽△AOB，∴=2=2.又S△COE=2，∴S△AOB=32，∴S△ABC=32+8=40，∴S△ADC=40，∴S四边形AOED=40-2=38.故选C. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 2.（广东佛山顺德期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，则AF的长为________. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 【解析】∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=6，∴∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=6.∵点E是BC边的中点，∴BE=CE=BC=3.∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF=90°.∵∠C=90°，∴∠CEF+∠EFC=90°，∴∠AEB=∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴=，即=，解得CF=.∴DF=CD-CF=4-=.在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF===. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，AE⊥CD于点E，EF⫽CB交BD于点F. （1）求证：△ACE∽△BAC； 解：（1）证明：∵CD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠ACD. ∵AE⊥CD，∴∠AEC=∠ACB=90°，∴△ACE∽△BAC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 （2）若AC=，CE=1，求BD及EF的长. ∵△ACE∽△BAC，∴=，即=，解得AB=5.∴BC==2. ∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD=CD=AB=，∴DE=.∵EF⫽BC， ∴△DEF∽△DCB，∴=，即=，解得EF=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 类型2　利用相似进行证明 4.（上海普陀期中）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，延长DE，CB交于点F，且AE·AB=AD·AC. （1）求证：∠FEB=∠C； 证明：（1）∵AE·AB=AD·AC，∴=. 又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴∠AED=∠C. 又∵∠AED=∠FEB，∴∠FEB=∠C. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 （2）连接AF，若=，求证：EF·AB=AC·FB. 如图，连接AF.∵∠FEB=∠C，∠EFB=∠CFD， ∴△EFB∽△CFD，∴∠FBE=∠FDC.∵=， ∴=，∴△FBA∽△CDF，∴∠AFB=∠C， ∴AF=AC.∵∠FEB=∠C，∴∠FEB=∠AFB.又∵∠FBE=∠ABF，∴△EFB∽△FAB，∴=.∵AF=AC，∴EF·AB=AC·FB. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 5. 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE⫽BC，点F在边AB上，BC2=BF·BA，CF与DE相交于点G. （1）求证：=； 证明：（1）∵BC2=BF·BA，∴= .又∵∠ABC=∠CBF， ∴△BAC∽△BCF，∴∠A=∠BCF.∵DE⫽BC，∴∠FDG=∠B， ∠DGF=∠BCF=∠A，∴△DGF∽△BAC.∴=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 （2）若点E为AC的中点，求证：2DF·EG=AF·DG. 如图，过点A作AH⫽BC，交CF的延长线于点H. ∵DE⫽BC，∴AH⫽DE.∵点E为AC的中点， ∴EG为△CAH的中位线，∴AH=2EG. ∵AH⫽DG，∴∠H=∠FGD，∠HAF=∠GDF， ∴△AHF∽△DGF，∴=，∴=，即2DF·EG=AF·DG. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 类型3　利用相似解决实际问题 6.（原创题　生产生活）视力检查分为近视力与远视力，检查远视力时规定人与视力表之间的距离应为5 m. 如图1，若房间两面墙的距离不足5 m，可以使用平面镜来解决. 如图2，视力表AB的上下边沿上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处. 如果视力表的全长为0.8 m， 镜长MM'为0.32 m，则人所在处C与平面 镜MM'的距离为______m. 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 【解析】如图，作CD⊥MM′，垂足为D，延长CD交A′B′于点E. 由题意，得A′B′=AB=0.8 m，CE=5 m，AB⫽MM′⫽A′B′，∴CE⊥A′B′，△CMM′∽△CA′B′， ∴=，即=，解得CD=2 m.∴人所在处C与平面镜MM'的距离为2 m. 解题关键点：利用相似三角形的性质列出比例式. 题目隐含着“CE=5 m”的条件. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 7. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上. 每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架宽为40 cm，则FI的长为________cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 【解析】由题意，知CI=BI-BC=40-4×5=20（cm），EF=20 cm，FG=5 cm. ∵∠EFC+∠CEF=90°，∠EFC+∠GFI=90°，∴∠GFI=∠CEF.∵∠FIG=∠ECF=90°， ∴△GIF∽△FCE，∴=，即=，∴CE=4FI.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE2+CF2=EF2，即（4FI）2+（20-FI）2=202，解得FI= cm或FI=0 cm（舍去），∴FI的长为 cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 8. 小延想要测量学校教学楼AB的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆DE的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆DE的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离MN=FG=1.6 m，NG=2 m，GE=6 m，BE=8 m，AC=3 m，MN，FG，DE，AB均与地面垂直，且在同一平面内，请你计算出教学楼AB的高度. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 解：如图，连接MF并延长，交DE于点H，交AB于点P. 由题意，得MN=FG=HE=PB=1.6 m，MF=NG=2 m，FH=GE=6 m，HP=EB=8 m，∠DHF=∠APM=90°. ∴MH=MF+FH=8 m，MP=MF+FH+HP=16 m，FP=FH+HP=14 m. ∵∠DMH=∠CMP，∴△MDH∽△MCP.∴=，即=， ∴DH=CP.∵∠DFH=∠AFP，∴△FDH∽△FAP，∴=， ∴=，∴=，解得CP=18 m，∴AB=AC+CP+PB=22.6 m. ∴教学楼AB的高度为22.6 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 9. 如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上. 已知AB=AC=10，BC=16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x. （1）求S关于x的函数表达式； 类型4　利用相似解决与函数相关的问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 解：（1）如图，过点A作AM⊥BC，交DG于点N. ∵AB=AC=10，BC=16，∴BM=BC=8.在Rt△ABM中，AM==6. ∵四边形DEFG是矩形，∴DG⫽EF，DE⊥BC.∴AN⊥DG， 四边形DEMN是矩形.∴MN=DE，DN=EM.∵BE=x， ∴EM=DN=8-x.设DE=MN=a，则AN=6-a.∵DG⫽EF， ∴△ADN∽△ABM.∴=，即=.∴a=x， 即DE=x.∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠BED=∠CFG=90°，DE=GF∴△BED≌△CFG，∴CF=BE=x，∴EF=16-2x.∴S=S矩形DEFG=DE·EF=x·（16-2x）=-x2+12x（0<x<6）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 （2）当S=24时，求x的值. 当S=24时，-x2+12x=24，解得x=4. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10.（安庆宿松期末）如图，在△ABC中，AB=4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE⫽BC，交AC于点E，连接DC.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′. （1）当D是AB的中点时，=______. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 （2）若AD=x，=y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围. ∵DE⫽BC，∴△ADE∽△ABC.∵AB=4，AD=x，∴==.∴=2=x2.① ∵=，∴=.∵△ADE与△CDE分别在边AE，EC上的高相同∴==.② ①÷②，得=.∵△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，=y， ∴y==-x2+x.∵AB=4，点D不与点A，B重合，∴自变量x的取值范围是0<x<4. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 23 $$