专题5 相似三角形的基本模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

专题5　相似三角形的基本模型 第22章　相似形 1 模型1 “A”型及其变形（公共顶点） ①DE⫽BC；②∠A=∠A，∠AED=∠ABC；③∠A=∠A，∠ACD=∠ABC. 满足其一，则两三角形相似. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 针对训练 1. 如图，在△ABC中，DE⫽BC，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为 （　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2.（陕西西安校级阶段练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，在下列五个条件中：①∠AED=∠B；②DE⫽BC；③=；④=；⑤∠ADE=∠C. 能使得以A，D，E为顶点的三角形与△ACB相似的条件有 （　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 【解析】①∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故①符合题意； ②∵DE⫽BC，∴△AED∽△ACB，故②符合题意；③∵=，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故③符合题意；④不能判定△ADE与△ACB相似；⑤∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故⑤符合题意. 故选C. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 3. 如图，等边三角形ABC中，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，∠BPF=60°. 求证：△APE∽△BAE. 证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE=60°. ∵∠APE=∠BPF=60°，∴∠BAE=∠APE. 又∵∠AEP=∠BEA，∴△APE∽△BAE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 模型2 “X”型及其变形（对顶角相等） ①AB⫽CD；②∠A=∠C，∠B=∠D.满足其一，则两三角形相似. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 针对训练 4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC= （　　） A. 1∶4 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 1∶2 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB⫽DC，OD=OB=DB，DC=AB，∴△DFE∽△BAE，∴=.∵E为OD的中点，∴DE=OD=DB，∴=，∴=，∴=，∴=. 故选D. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 5.（山东菏泽成武模拟）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为 （　　） A. B. C. D. A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 【解析】如图，设BC=x，则CE=1-x. 由正方形的摆放位置知AB⫽EF，易证△ABC∽△FEC. ∴===，解得x=. 经检验，x=是原方程的解. ∴阴影部分面积为S△ABC=××1=. 故选A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 模型3　双垂直型 △ACD∽△ABC∽△CBD，CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 针对训练 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=9 cm，BD=4 cm，则CD=________. 【解析】∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ADC∽△CDB，∴=，∴CD2=AD·BD=9×4=36，∴CD=6 cm. 6 cm 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 7. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG⫽AE，交BF于G. 求证：（1）BH=CG； 证明：（1）∵BF⊥AE，CG⫽AE，∴CG⊥BF， ∴∠CGB=∠BHA=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABH+∠CBG=∠ABH+∠BAH=90°，∴∠BAH=∠CBG.∴△ABH≌△BCG，∴BH=CG. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 （2）FC2=BF·GF. ∵∠CFG=∠BFC，∠CGF=∠BCF=90°， ∴△CFG∽△BFC， ∴=，即FC2=BF·GF. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 模型4 “手拉手”型（旋转型） 在△ABC中，DE⫽BC，将△ADE绕点A旋转，则△ABC∽△ADE，△ADB∽△AEC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 针对训练 8.（山东威海经开区期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE. （1）求证：△ABC∽△ADE； 解：（1）证明：∵∠ACB=∠AED，∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 （2）若AC∶BC=3∶4，求BD∶CE的值. ∵AC∶BC=3∶4，∴设AC=3x，则BC=4x.∵∠ACB=90°，∴AB==5x.∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，=， ∴∠DAB=∠EAC，=，∴△ADB∽△AEC，∴==，即BD∶CE=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 模型5 “一线三等角”型（K型） 若∠1=∠2=∠3，则△APC∽△BDP. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 针对训练 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，CF=1，则AF的长为______. 5 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠C=90°.∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴=.∵E是BC的中点，CF=1，∴BE=EC，AB=BC=2EC，∴=，∴EC=2，AB=2×2=4.∵CF=1，AD=CD=4，∴DF=3，∴AF==5. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 针对训练 10. 如图，在△ABC中，AB=2，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰直角三角形ADE. 点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°. （1）求证：△ABD∽△DFE； 解：（1）证明：∵∠EFD=45°，∠B=45°，∴∠B=∠EFD. ∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE=45°. ∵∠ADF=∠ADE+∠EDF=∠B+∠BAD， ∴∠BAD=∠EDF，∴△ABD∽△DFE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 （2）若CE=，求CD的长. 由（1）知△ABD∽△DFE，∴=.∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD，∴=，∴=.∵AB=2，∴DF=4.∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°.∵∠EFD=45°，∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°.又∵∠C=∠C.∴△DEC∽△EFC.∴=，即EC2=FC·DC.又DF=4，DC=4+FC，∴EC2=FC·（4+FC）.∵EC=，∴5=FC·（4+FC），∴FC=1（负值舍去）. ∴CD=FC+FD=1+4=5. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 23 $$