专题 构造相似三角形的辅助线作法和与相似有关的证明与计算（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题08构造相似三角形的辅助线作法和与相似有关的证明与计算 题型01作平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，是上一点，，若是上的点，，求的值． 【例1-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽·单元测试）已知：如图1，在中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． (1)如图1，若，，求 的值； (2)把改为，其它条件不变，如图2，求证： 题型02转化线段的倍分关系，构造相似三角形 【典例分析】 【例2-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：． 【例2-2】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在正方形中 ，E为边的点，P 为对角线上的一点，连接交于点F，连接 (1)如图①，若点E 为边的中点，， 求的长； (2)如图②，若， 求证：． 【例2-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，，O是对角线的中点，连结并延长交边或边于点E． (1)当点E在上， ①求证：； ②若，求的值； (2)若，直接写出的长． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图a，在正方形中，E、F分别为边的中点，连接交于点G． (1)求证：； (2)如图b，连接，交于点H． 求证：； 若，求三角形的面积． 【变式2-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在边长为3的菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，与相交于点，连接，． (1)求证：． (2)求证：． 题型03以三角形或特殊三角形为背景的相似 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·河南洛阳·期中）如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 【例3-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，点E在上（不与点A，B重合），连接交于点F，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【例3-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．    (1)求证：； (2)求证：点D是线段的黄金分割点； (3)求线段的长． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且， 求证：； 【变式3-2】（24-25九年级上·吉林长春）如图，在锐角中，点分别在边上，于，于，． (1)求证：； (2)若，，，则______． 【变式3-3】（24-25九年级上·福建福州）如图1，在中，，点D为中点，于点E，连接， (1)求的值； (2)求证：； (3)如图2，过点C分别作于点F，于点G，求证：与互相平分． 题型04以四边形或特殊四边形为背景的相似 【典例分析】 【例4-1】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，过点A作于点E，连接是上的一点，，求证：． 【例4-2】（22-23九年级上·四川内江·期中）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【例4-3】（2024九年级上·河北·专题练习）如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点沿向点A运动（点P不与点A，重合），连接．过点P作，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，F为四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点E，已知． (1)求证：； (2)若四边形为平行四边形，，，求的长． 【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H． (1)求证：； (2)若，求证；四边形是菱形． 【变式4-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08构造相似三角形的辅助线作法和与相似有关的证明与计算 题型01作平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作交的延长线于点G，先证明，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点G． ∵， ∴． 又∵D为的中点， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 故选：D． 【例1-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，是上一点，，若是上的点，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过作，得出，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】解：过作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 【例1-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．过点作交于点，交于点，可证明，由，，推导出，则，再证明，得，所以，则． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 点是等腰直角三角形斜边上一点，且， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形和相似三角形、熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交延长线于点，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出，利用证明，得出，推出，，根据计算面积，则，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，因为，得证四边形是矩形； （2）先由矩形的性质得证，则点是的中点．然后证明，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 在中，，点是的中点， ， ， 四边形是矩形； （2）解：的值为定值． 理由：四边形是矩形，点为的中点， ，， ， ， ， ， 点是的中点． 如图，过点作的平行线，交于点， 为的中点． ， ， ， ， ， 与的大小无关，即与的大小无关， 当发生变化时，的值为定值． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题的难点在于过点作的平行线，构造相似三角形，从而将线段与之间的关系表示出来． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽·单元测试）已知：如图1，在中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． (1)如图1，若，，求 的值； (2)把改为，其它条件不变，如图2，求证： 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）连接，，证明，得到，即可求解． （2）证明，得到，又，所以，再证明，得到，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：作交延长线于G，如图2， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型02转化线段的倍分关系，构造相似三角形 【典例分析】 【例2-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：， ， ， ， 【例2-2】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在正方形中 ，E为边的点，P 为对角线上的一点，连接交于点F，连接 (1)如图①，若点E 为边的中点，， 求的长； (2)如图②，若， 求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作，根据正方形的性质得，，再证明，可得，设，则，再根据勾股定理可得答案； （2），先根据正方形的性质证明，可得，，即可得出，再根据等边对等角得，即可得，然后根据，可得是等腰直角三角形，即，，接下来证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点F作于点G， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则，根据勾股定理，得 ， 解得． ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得； （2）∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 所以． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角，证明两个三角形相似是解题的关键 【例2-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，，O是对角线的中点，连结并延长交边或边于点E． (1)当点E在上， ①求证：； ②若，求的值； (2)若，直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析，②； (2)的长为或 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出， 由直角三角形的性质得出，证明即可得出结论； ②得出，过点D作于点H，设，则，则可得出答案； （2）分两种情况讨论，当点E在上时，当点E在上时，分别求解即可得到答案． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， 含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）①证明：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②解：如图2， 若， 在中，， ∴， 过点D作于点H，设，则，在中，， ∴， ∴， ； （2）解：如图3，当点E在上时， 设则设 ， 把代入中，得： ， 解得：， (舍去) ， 如图4， 当点E在上时， ， ∴四边形是矩形， 设 ∵ ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 在中， 由勾股定理得 ∴解得：，(舍去) ， 综上所述，的长为：或 ． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图a，在正方形中，E、F分别为边的中点，连接交于点G． (1)求证：； (2)如图b，连接，交于点H． 求证：； 若，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）证明得出，求出，即可得证； （2）①过点B作于N，证明得出，证明，得出，推出，结合勾股定理即可得证；②证明，由相似三角形的性质求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵正方形，E、F分别为边的中点， ∴，，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：①如图b，过点B作于N， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键 【变式2-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可； （2）由（1）得，则得；再由可求得，；再由（1）中，即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（1）有， 即， ∴， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即． 【变式2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在边长为3的菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，与相交于点，连接，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和三角形综合题．熟练掌握菱形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质，结合，判断出，即可得出结论； （2）根据（1）结论先判断出是等边三角形，得出，进而用等式的性质得出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，，，且， ∴,， ∴， ∴， ∴ ，，， ∴ （2）证明：由（1）知，， ∴，， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ． 题型03以三角形或特殊三角形为背景的相似 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·河南洛阳·期中）如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）先分别证明，，再根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据，得出，代入数据求出，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． 【例3-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，点E在上（不与点A，B重合），连接交于点F，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练的利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）先证明，再利用四边形的内角和定理得出，再由相似三角形的判定即可证明； （2）利用勾股定理先求解，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ，， ； （2）解：，， ， ∵，， ， 由（1）得， ， ， ∴． 【例3-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．    (1)求证：； (2)求证：点D是线段的黄金分割点； (3)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，黄金分割： （1）根据等边对等角，角平分线的定义，推出，，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，推出，即可得出结论； （3）根据黄金分割，得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的黄金分割点． （3）∵点D是线段的黄金分割点， ∴， 又∵， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且， 求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明； 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 【变式3-2】（24-25九年级上·吉林长春）如图，在锐角中，点分别在边上，于，于，． (1)求证：； (2)若，，，则______． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由垂直可得，进而利用余角性质可得，据此即可求证； （）由可得，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了余角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·福建福州）如图1，在中，，点D为中点，于点E，连接， (1)求的值； (2)求证：； (3)如图2，过点C分别作于点F，于点G，求证：与互相平分． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，再证明，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）由得到,设则过点E作于点H，则，证明，即可证明； （3）连接，过点E作于点H，则，设则根据（2）证明，由得到，证明，得到，证明，由得到，由勾股定理得到，则，即可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，点D为中点， ∴，，， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴, （2）∵ ∴, 设则 ∴， ∴， ∴ ∴ 过点E作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴, ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）连接，过点E作于点H，则， 设则 由（2）可得，，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵于点G， ∴， 由（2）得, ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型04以四边形或特殊四边形为背景的相似 【典例分析】 【例4-1】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，过点A作于点E，连接是上的一点，，求证：． 【答案】见详解 【分析】由平行四边形的性质可得，，可得，，即可证；本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键． 【详解】证明： 四边形是平行四边形 ，， ，， ， ，且， 【例4-2】（22-23九年级上·四川内江·期中）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【例4-3】（2024九年级上·河北·专题练习）如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点沿向点A运动（点P不与点A，重合），连接．过点P作，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当点P运动到边的中点时，；理由见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等得到，再证明三角形相似即可； （2）根据相似的性质可得，设，则，求出x的值即可求； （3）根据，求出，即可分别求出，再由，，可得到． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 设，则， ， 解得， ； （3）解：如图，连接， 当点P运动到边的中点时，，理由如下： P是的中点， ， ， ，即， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，F为四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点E，已知． (1)求证：； (2)若四边形为平行四边形，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质； （1）由两角对应相等的三角形相似得，即可得证； （2）由平行四边形的性质得，由相似三角形的性质得，即可求解； 平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 由（1）知∶， ， ， ， ． 【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H． (1)求证：； (2)若，求证；四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质，可得．从而得到，再由，可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，即可求证． 此题考查平行四边形的性质，菱形的判定定理，相似三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是菱形 【变式4-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 【答案】(1)①见详解② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可得：，，，，结合四边形内角和可证得，②因为，所以得出，即可求得答案； （2）根据已知条件可证得，得出，进而得出，利用，即可得出答案． 本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【详解】（1）解：① 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ②∵， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$