专题2 二次函数的图象与性质的运用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

第21章　二次函数与反比例函数专题2　二次函数的图象与性质的运用 1 题型1　抛物线y=ax2+bx+c与a，b，c的关系 【方法指导】已知抛物线y=ax2+bx+c( a0).(1)判断a,b,c的正负:①抛物线开口向上, a>0;开口向下, a<0.②抛物线的对称轴为y轴,b=0;在y轴左侧,b与a同号;在y轴右侧,b与a异号.③抛物线与y轴的交点为原点, c=0;交点在y轴正半轴,c>0;交点在y轴负半轴, c<0.(2)判断Δ=b2-4ac的正负:抛物线与x轴没有交点,Δ<0;有1个交点,Δ=0;有2个交点,Δ>0.(3)由抛物线的对称轴与直线x=1或x=-1的位置关系,可判断2a+b或2a-b的符号.(4)代数式a+b+c , a-b+c , 4a+2b+c ,4a-2b+c等可分别看成当x=1 ,-1,2,-2等时y的值. 题型2 题型4 题型1 题型3 2 【针对训练】 1. （河南中考）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象一定不经过 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 【解析】由题图可得，a<0，->0，∴b>0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选C. 题型2 题型4 题型1 题型3 3 2. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，顶点坐标为A（1，-3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2=mx+n（m≠0）上. 下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点为（-4，0）；④方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根；⑤a-b+c>4m+n；⑥不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为1<x<4. 其中正确的是________（填序号）. ①②⑥ 题型2 题型4 题型1 题型3 4 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a，即2a+b=0，∴①正确；∵抛物线开口向上，∴a>0，∴b=-2a<0，∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c<0，∴abc>0，∴②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），∴③错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，-3），∴抛物线与直线y=-3只有一个交点，∴方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，∴④错误；∵x=-1时，y1<0，即a-b+c<0，而x=4时，y2=0，即4m+n=0，∴a-b+c<4m+n，∴⑤错误；∵当1<x<4时，y2>y1，∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为1<x<4，∴⑥正确.故正确的是①②⑥. 题型2 题型4 题型1 题型3 5 题型2　抛物线的对称性的应用 【方法指导】（1）若（a，m），（b，m）是抛物线上两个不同的点，则抛物线的对称轴为直线x=. （2）抛物线上关于对称轴对称的两个点的纵坐标相同.比较函数值大小时，若点不都在对称轴的同侧且不易计算相应函数值，可先利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用函数的增减性比较大小. 题型2 题型4 题型1 题型3 6 【针对训练】 3. （山东济宁任城期中）若点M（-1，y1），N（1，y2），P （,y3 ）都在抛物线y=-x2+4x+m2+1上，则y1，y2，y3的大小关系为 （　　） A. y3<y1<y2 B. y1<y3<y2 C. y2<y1<y3 D. y2<y3<y1 B 【解析】∵y=-x2+4x+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=-=2，∴P （,y3）关于对称轴的对称点为（,y3）.∵-1<<1<2，且当x<2时，y随x的增大而增大，∴y1<y3<y2.故选B. 题型2 题型4 题型1 题型3 7 4. 已知抛物线y1=ax2+bx-3（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过点A（-1，0），它与x轴的另一交点为B，与y轴的交点为C. （1）求这条抛物线对应的函数表达式； 解：（1）由抛物线的对称轴为直线x=1和A（-1，0），得点B的坐标为（3，0）.分别将（-1，0），（3，0）代入y1=ax2+bx-3，得解得∴这条抛物线对应的函数表达式为y1=x2-2x-3. 题型2 题型4 题型1 题型3 8 【解析】如图，在同一坐标系中作出直线与抛物线，由图象可知，不等式ax2+bx-3≤kx+b的解集为0≤x≤3. （2）已知直线y2=kx+b过点B，C，利用图象求不等式ax2+bx-3≤kx+b的解集. 题型2 题型4 题型1 题型3 9 题型3　二次函数图象的变换 【方法指导】二次函数图象常见的变换有两种： （1）平移变换：遵循“上加下减，左加右减”的规律，即上加下减常数项，左加右减自变量. （2）对称变换：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到抛物线y=-ax2-bx-c；关于y轴对称后，得到抛物线y=ax2-bx+c. 题型2 题型4 题型1 题型3 10 【针对训练】 5. （池州期末）如果将抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可得到新的抛物线y=x2-2x+1，那么 （　　） A. b=6，c=12 B. b=-6，c=6 C. b=2，c=-2 D. b=2，c=4 C 【解析】∵二次函数y=x2-2x+1可化为y=（x-1）2，∴将抛物线y=（x-1）2先向下平移3个单位，再向左平移2个单位所得抛物线对应的函数解析式为y=（x-1+2）2-3，即y=x2+2x-2，∴b=2，c=-2.故选C. 题型2 题型4 题型1 题型3 11 6. （新定义　新概念问题）定义：将抛物线l先沿x轴平移|t|个单位（t>0向左平移，t<0向右平移），再沿x轴翻折，得到新抛物线l′，则称抛物线l′是抛物线l的t值衍生抛物线.已知抛物线l：y=x2-2x-3. （1）当t=-2时，衍生抛物线l′对应的函数解析式为______________； 【解析】 （1）已知抛物线l：y=x2-2x-3=（x-1）2-4. 当t=-2时，t<0，即沿x轴向右平移2个单位，得抛物线y=（x-1-2）2-4=（x-3）2-4，即y=x2-6x+5.再沿x轴翻折，得衍生抛物线l'对应的函数解析式为y=-x2+6x-5. y=-x2+6x-5 题型2 题型4 题型1 题型3 12 【解析】抛物线l：y=x2-2x-3的t值衍生抛物线为l′：y=-（x-1+t）2+4，抛物线l′开口向下，且对称轴为直线x=1-t.∵当x1<x2<0时，总有y1<y2，∴可知当x<0时，y随x的增大而增大，∴1-t≥0，得t≤1. （2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线l的t值衍生抛物线l′上的两点，当x1<x2<0时，总有y1<y2，则实数t的取值范围为______________. t≤1 题型2 题型4 题型1 题型3 13 7. 已知抛物线y=a（x-2）2+3经过点A（-1，0）. （1）求此拋物线对应的函数表达式； 解：（1）把A（-1，0）代入y=a（x-2）2+3，得9a+3=0，解得a=-， ∴拋物线对应的函数表达式为y=-（x-2）2+3. 题型2 题型4 题型1 题型3 14 （2）求此抛物线关于y轴对称的抛物线对应的函数表达式，并指出新抛物线如何沿x轴平移才能过坐标原点. ∵抛物线y=-（x-2）2+3的顶点坐标为（2，3），∴新抛物线的顶点坐标为（-2，3）. ∵两条抛物线关于y轴对称，∴两条抛物线的开口方向与开口大小都相同， ∴新抛物线对应的函数表达式为y=-（x+2）2+3. 设抛物线y=-（x+2+t）2+3过坐标原点，则-（2+t）2+3=0，解得t=1或t=-5. ∴新抛物线沿x轴向左平移1个单位或向右平移5个单位才能过坐标原点.　　　　　　 题型2 题型4 题型1 题型3 15 题型4　二次函数与几何图形的综合 【方法指导】解决这类问题的关键是数形结合，一般灵活利用几何图形的性质或图形的变换得到关键点的坐标，结合二次函数图象和性质解决相关问题. 题型2 题型4 题型1 题型3 16 【针对训练】 8. （合肥校级期中）如图，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，AB⫽x轴交抛物线于另一点B，点C为该抛物线的顶点，若△ABC为等边三角形，则a的值为 （　　） A. B. C. D. 1 C 【解析】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵抛物线y=a（x-3）2+k的对称轴为直线x=3，△ABC为等边三角形，且AB⫽x轴，∴AD=3，CD=3.∵当x=0时，y=9a+k，∴A（0，9a+k）.又C（3，k），∴CD=9a+k-k=3，∴a=.故选C. 题型2 题型4 题型1 题型3 17 9. （新趋势　动点探究题）如图，直线CD：y=kx+与抛物线y=x2+bx-交于点A （-2，0）与点D，直线CD与y轴交于点C. （1）求k，b的值及点D的坐标. 解：（1）把A（-2，0）代入y=kx+，得0=-2k+，解得k=. 把A（-2，0）代入y=x2+bx-，得×（-2）2-2b-=0，解得b=-. ∴直线对应的函数表达式为y=x+，① 抛物线对应的函数表达式为y=x2-x-，② 联立①②，解得或即点D的坐标是（8, ）. 综上所述，k=，b=-，D （8, ）. 题型2 题型4 题型1 题型3 18 存在.理由如下： 设P（m, m2-m-），则M（m, m+）， ∵PM⫽CE且四边形PMEC为平行四边形， ∴PM=CE，∴yM-yP=yE-yC. 又∵C（0, ），D（8, ）， ∴m+-（m2-m-）=-， 即-m2+m+4=6，解得m1=2，m2=4. ∴点P的坐标为（2，-3）或（4,-）. （2）过点D作DE⊥y轴，点P是抛物线上A，D间的一个动点，过P点作PM⫽CE交线段AD于点M，则是否存在点P，使四边形PMEC为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 题型2 题型4 题型1 题型3 19 20 $$