专题10 圆中辅助线的添加方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦圆中辅助线添加方法，通过求弦长、半径等问题导入，衔接勾股定理、圆周角定理等知识，以“方法指导+例题解析+针对训练”为支架，引导学生逐步掌握辅助线构造策略。 其亮点在于融入“圆材埋壁”等数学文化及中考真题，借助几何直观呈现辅助线构造，通过推理意识培养逻辑思维，采用“方法归类+分层训练”模式，帮助学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，优化教学效果。

第24章　圆 专题10　圆中辅助线的添加方法 1 方法1　遇弦，连半径或作垂直 【方法指导】在圆中，求半径、弦长或弦心距时，常用的作辅助线的方法是连接圆心和弦的端点或过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解题. 如图，AC=BC，OC2+AC2=OA2. 方法1 方法2 方法4 方法3 2 【针对训练】 1. （马鞍山和县二模）如图，点C是⊙O的弦AB上一点. 若AC=6，BC=2，AB的弦心距为3，则OC的长为 （　　） A. 3 B. 4 C. D. D 方法1 方法2 方法4 方法3 3 2. （新情境　数学文化）（山东东营中考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度为________寸. 26 【解析】如图，连接OA，设⊙O的半径是r寸.∵直径CD⊥AB，∴AE=AB=×10=5（寸）.∵CE=1寸，∴OE=（r-1）寸.∵OA2=OE2+AE2，∴r2=（r-1）2+52，∴r=13，2r=26，∴直径CD的长度为26寸. 方法1 方法2 方法4 方法3 4 方法2　遇直径，作直角（或遇直角，作直径） 【方法指导】在圆中，出现直径或90°的圆周角时，常用的作辅助线的方法是连接两条相交弦的端点，构造直角三角形进行解题. 如图，AB是直径，∠ACB=90°. 方法1 方法2 方法4 方法3 5 【针对训练】 3. （辽宁鞍山中考）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD=54°，则∠C的度数为 （　　） A. 34° B. 36° C. 46° D. 54° B 方法1 方法2 方法4 方法3 6 4. （芜湖无为模拟）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A=22°，∠ACE=16°，则∠BCE的度数是 （　　） A. 34° B. 36° C. 38° D. 42° 【解析】如图，连接BD.∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD=90°.∵∠BEC=∠A+∠ACE=22°+16°=38°，∴∠BDC=∠BEC=38°，∴∠BCD=90°-∠BDC=90°-38°=52°，∴∠BCE=∠BCD-∠ACE=52°-16°=36°. B 方法1 方法2 方法4 方法3 7 5. （新趋势　多模块综合）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C. 已知B（24，0），C（0，10），求⊙A的半径. 解：如图，连接BC.∵∠COB=90°，且O，C，B三点都在⊙A上，∴BC是⊙A的直径. 又B（24，0），C（0，10），∴OB=24，OC=10，∴BC==26，∴⊙A的半径为 13. 方法1 方法2 方法4 方法3 8 方法3　遇切线，连半径构造直角 【方法指导】在圆中，出现切线时，常用的作辅助线的方法是连接圆心和切点，构造直角，再利用直角三角形的相关性质解决问题. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OB⊥AB. 方法1 方法2 方法4 方法3 9 【针对训练】 6. （池州东至一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D 是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于 （　　） A. 70° B. 50° C. 40° D. 20° B 方法1 方法2 方法4 方法3 10 7. （四川乐山夹江模拟）如图，AB与⊙O相切于点B，连接并延长AO交⊙O于点C，连接BC，若OC=OA，则∠C等于 （　　） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° C 【解析】如图，连接OB.∵AB与⊙O相切于点B，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°.∵OB和OC是圆的半径，OC=OA，∴OB=OA，∴在Rt△ABO中，∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°.故选C. 方法1 方法2 方法4 方法3 11 8. （山东济南中考）如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F. （1）求证：AC=CD； 解：（1）证明：连接OC，如图所示. ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD=90°. ∵∠D=30°， ∴∠COD=90°-∠D=60°. ∴∠A= ∠COD=30°. ∴∠A=∠D=30°.∴AC=CD. 方法1 方法2 方法4 方法3 12 （2）若AB=12，求线段BF的长. 解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∵∠A=30°，AB=12，∴BC= AB=6. ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE= ∠ACB=45°. ∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴△BFC是等腰直角三角形， ∴2BF2=BC2=62，∴BF=3. 方法1 方法2 方法4 方法3 13 方法4　证切线，连半径或作垂直 【方法指导】（1）当确定所证切线的切点在圆上时，连接圆心与切点，证明垂直就可以证得切线；（2）当不确定所证切线的切点是否在圆上时，先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可证得切线. 方法1 方法2 方法4 方法3 14 【针对训练】 9. 如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB，则AB________（填“是”或“不是”）⊙O的切线. 是 【解析】如图，连接OA.∵OC=BC，AC=OB，∴OA=OC=BC=AC，∴∠OAC=∠OCA=60°.∵CA=CB，∴∠OCA=2∠CAB=60°，∴∠CAB=30°，∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=60°+30°=90°，∴AB是⊙O的切线. 方法1 方法2 方法4 方法3 15 10. 如图，在梯形ABCD中，AD⫽BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心、OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F. （1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由； 解：（1）直线DC与⊙O相切.理由如下： 如图，过点O作OG⊥DC，垂足为G. ∵AD⫽BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD. ∵OD为∠ADC的平分线，∴∠ADO=∠GDO. 在△ADO和△GDO中，∴△ADO≌△GDO，∴OA=OG. ∵OA是⊙O的半径，∴OG也是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线，即直线DC与⊙O相切. 方法1 方法2 方法4 方法3 16 （2）若tan∠ABC=，BF=24，求⊙O的半径. ∵BF=24，OE⊥BF，∴BE=EF=12. ∵tan∠ABC==，∴AE=18. 设⊙O的半径为r，则OE=18-r.如图，连接OF， 在Rt△OEF中，由勾股定理，得（18-r）2+122=r2，解得r=13. ∴⊙O的半径为13. 方法1 方法2 方法4 方法3 17 18 $$