精品解析：四川省成都市新教育联盟三校2026届高三上学期开学摸底考试数学试题

高2026届高三开学摸底考试 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 2. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式得集合，求函数定义域得集合，然后根据交集的定义求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 3. 已知虚数数列，则其前4n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列通项得到、、，观察法有，最后应用等比数列的前n项和即可得. 【详解】由题设，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ， 依次类推，， 所以其前4n项和为. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数图象得到，即，利用余弦二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：D. 5. 一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积. 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为； 设圆台的高为，由体积可得， 解得，所以可得圆台母线长为， 根据侧面展开图可得圆台侧面积为. 故选：C 6. 设O是平面上一定点，动点P满足，，且A，B，C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：D 7. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，在上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 8. 已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，即有同号或，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】两边取对得，则且，即同号或， 所以，当时，不成立，A错； 由，B对； 由，若时，，C错； 由，且， 当时，，此时，D错. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行，则下列说法正确的是（ ） A. 不同排列方式的种数不超过60亿种 B. 五张字母牌互不相邻的概率为 C. 在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为 D. 对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，发生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，利用排列数公式计算13张牌的全排列数，再与60亿比较大小；对于选项B，利用插空法计算五张字母牌互补相邻的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率；对于选项C，利用定序问题的排列方法计算标有8的卡牌左侧没有数字牌的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率；对于选项D，分析“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”这一事件的含义，进而判断其概率. 【详解】对于选项A，13张大小质地完全相同的卡牌进行全排列，根据排列数公式可得，不同排列方式的种数为亿，所以选项A错误； 对于选项B，先排8张数字牌，有种排法，8张数字牌排好后形成9个空，从这9个空中选5个空排5张字母牌，有种排法.根据分步乘法计数原理，五张字母牌互补相邻的排法共有种. 而13张牌的全排列数为种，所以五张字母牌互不相邻的概率为，所以选项B正确； 对于选项C，先排8张数字牌，由于在标有8的卡牌左侧没有数字牌，所以标有8的数字牌只能在所有数字牌的最左侧，其余标有1-7的数字牌有种排列方式，再将剩余的五张字母牌依次插入，有种排列方式. 根据分步乘法计数原理，在标有8的卡牌左侧没有数字牌的方法共有种. 而13张牌的全排列数为种，在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为，所以选项C正确； 对于选项D，对于给定的整数，事件 为“在标有的数字牌左侧，没有标号比小的数字牌”，不妨将标有1到这个数字的牌进行全排列，这个数字牌的全排列方式有种，而满足事件的情况，等价于在这个数字牌的排列中，这个数字牌排在最左侧，此时其余个数字牌可以任意排列，其排列方式有种. 根据古典概型概率公式，事件的概率为，所以选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）． A. 的面积的最大值为12 B. 的平分线必过椭圆的中心 C. 若，则 D. 设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误. 【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 11. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，有以下四个命题中正确的是（ ） A. 满足条件的不可能是直角三角形 B. 面积的最大值为 C. 当A=2C时，的周长为 D. 当A=2C时，若O为的内心，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用勾股定理的逆定理判断； 对于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案 对于D，由已知条件可得为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得的面积 【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误； 对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设， 因为，所以， 化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动， 所以面积的最大值为，所以B正确； 对于C，由A=2C，可得，由得， 由正弦定理得，，即， 所以，化简得， 因为，所以化简得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，，， 因为，所以， 所以的周长为，所以C正确； 对于D，由C可知，为直角三角形，且，，，， 所以的内切圆半径为， 所以的面积为 所以D正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以切线方程为，即． 故答案为： 13. 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】设内切球O的半径为，球的半径为.由题意可得三棱锥的体积和表面积.由等积法得.用一平行于底面且与球O上部相切的平面去截此三棱锥得到一个小棱锥, 求此小棱锥的高，再根据相似关系求得小棱锥的体积和表面积，进而由等积法求得球的半径. 【详解】设内切球O的半径为，球的半径为.设此棱锥的高为,底面的中心为，三棱锥的表面积为. 因为底面边长为，底面的高，， 所以， 棱锥的高, 侧面的高， 三棱锥的体积 所以， 所以三棱锥的表面积为. 由等积法知，得. 用一平行于底面且与球上部相切的平面截此三棱锥， 棱锥的内切球半径即为球的半径，设棱锥的高为， 三棱锥的表面积为. 因为棱台的高为， 所以， 根据相似关系，， 棱锥的表面积为， 根据等体积法，得，解得. 故答案为：. 14. 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为______． 【答案】10120 【解析】 【分析】已知，，，得出为以为首项，6为公比的等比数列，从而得出，，证明当时，，利用该不等式可得，从而得出，结合，得出，所以，，从而解出. 【详解】已知，，， 则， 因为，所以，，即为以为首项，6为公比的等比数列. 则. 所以，即. 当时，. 因为当时，由,可得， 所以当时，. 故当时， 又，则， 故对于任意，， 所以. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 【答案】（1）；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间． （2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程． 【小问1详解】 ， ． 由，，求得，， 函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由时，，， ， 解得． 16. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长交于点，则为平面与平面的夹角，然后利用直角三角形知识求解，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法及同角三角函数关系求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 17. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个不同零点，证明． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分，，三种情况，同时考虑通过讨论去绝对值，再结合导数法研究函数的单调性即可， （2）由条件结合（1）分四种情况依次确定的关系，利用放缩法证明结论. 【小问1详解】 由题意，的定义域为R， 若时，则，，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 若， 当时，，， 令，则，所以或， 若，，函数在上单调递增， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增， 若， 当时，，， 函数在上单调递增， 当时，，， 令，则，所以或， 若，，函数在上单调递增， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上所述，若时，函数在上单调递增， 若， 若，函数在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 若，若，函数在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 【小问2详解】 由（1）可得，当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， 故， ， 所以，，又，所以， 所以， 所以， 当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， 故， ， 所以，又，矛盾， 当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， 故， ， 所以，，又，所以， 所以， 所以， 当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， ， ， 所以，又，矛盾， 综上所述， 18. 设集合，A为M的非空子集，随机变量X，Y分别表示取到子集A中的最大元素和最小元素的数值. （1）若，求且的概率； （2）若的概率为，求n； （3）求随机变量的均值． 【答案】（1） （2）4 （3）． 【解析】 【分析】（1）当时，集合的非空子集个数为个，结合题意，得到集合中一定含有和，将和绑定，得到满足且的集合得个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用集合子集的运算，得到，列出方程，即可求解； （3）根据题意，利用集合子集的计算，求得和，结合，即可求解. 【小问1详解】 由题意，集合A中的最大元素和最小元素分别为4，2， 符合条件的集合A只有与，共2个， 当时，集合M的非空子集个数为个； 所以． 【小问2详解】 M的非空子集的个数为， 所以， 解得，即． 【小问3详解】 集合M的非空子集共有个， 其中，最大值X为n的子集可视为的子集与集合的并集，共有个； 同上可知，X为的子集共有个，X为的子集共有个，…，X为1的子集共有个，所以． 最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个； 同理，Y为2的子集共有个，Y为3的子集共有个，………，Y为n的子集共有个， 所以． 所以 ． 即随机变量的均值为． 19. 抛物线E：的焦点为F，M为E上一点，M的纵坐标为，点N在y轴上，轴，线段MN的中点为P，且轴． （1）求E的方程； （2）已知A，B，C为E上三个不同的点，点A在第一象限． （ⅰ）若点B在原点，，，点A的横坐标满足，求n． （ⅱ）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，的重心G在x轴上，求点G的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标，由轴，可得，进而可求出，即可得解； （2）（ⅰ）设，，由，可得，即可求出的关系，设的中点为，由，可得，即可求出的关系，再求出的范围即可得解； （ⅱ）先根据判断得出，设重心，，，，的中点为，求出点的坐标，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用弦长公式求出，进而可求出，即可得解. 【小问1详解】 将代入E的方程，得，所以， 所以，解得，故E的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设，，则， 因为，所以，即，① 又BC的中点为，所以，， 由，得，与①联立可得． 又，则， 令，则， 设方程的两根分别为， 得，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 又，，即，所以； （ⅱ）有为等腰三角形， 设重心，，，，BC的中点为， 则由，得，， 直线BC的斜率， 由得，即，可知， 所以，即，即，所以， 则， 所以直线BC的方程为，即，， 联立，整理得， 则，， 所以， 由，得，解得，所以， 故点G的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高三开学摸底考试 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 2. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 3. 已知虚数数列，则其前4n项和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设O是平面上一定点，动点P满足，，且A，B，C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 7. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行，则下列说法正确的是（ ） A. 不同排列方式的种数不超过60亿种 B. 五张字母牌互不相邻的概率为 C. 在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为 D. 对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，发生的概率为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）． A. 的面积的最大值为12 B. 的平分线必过椭圆的中心 C. 若，则 D. 设，椭圆C上存在点P，使得 11. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，有以下四个命题中正确的是（ ） A. 满足条件的不可能是直角三角形 B. 面积的最大值为 C. 当A=2C时，的周长为 D. 当A=2C时，若O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为______． 14. 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 16. 如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个不同零点，证明． 18. 设集合，A为M的非空子集，随机变量X，Y分别表示取到子集A中的最大元素和最小元素的数值. （1）若，求且的概率； （2）若的概率为，求n； （3）求随机变量的均值． 19. 抛物线E：的焦点为F，M为E上一点，M的纵坐标为，点N在y轴上，轴，线段MN的中点为P，且轴． （1）求E的方程； （2）已知A，B，C为E上三个不同的点，点A在第一象限． （ⅰ）若点B在原点，，，点A的横坐标满足，求n． （ⅱ）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，的重心G在x轴上，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $