第二十二章 二次函数 章末复习训练 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章　二次函数 1．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（－1，2），连接AB，若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（　　） 图1 A．<a<2 B．≤a≤2 C．<a≤2 D．≤a<2 3．如图2，一个正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　） 图2 A．≤a≤3 B．≤a≤1 C．≤a≤3 D．≤a≤1 4．已知A（m，y1），B（－m－1，y2）是抛物线y＝x2－1上的两点，其中|m|>1，下列判断正确的是（　　） A．m（y1－y2）>0 B．m（y1－y2）<0 C．y1－y2>0 D．y1－y2<0 5．如图3，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（　　） 图3 A．m＋n＝2 B．2m－n＝1 C．m＋2n＝2 D．m－n＝1 6．抛物线y＝mx2＋ 交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B. （1）点B的坐标为________；（用含m的式子表示） （2）已知C，D（4，0），且线段CD与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范围是____________． 7．设函数y1＝－（x－m）2，y2＝－（x－n）2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），下列判断正确的是（　　） A．若1<m<n，则a1<a2 B．若m<1<n，则a1<a2 C．若m<n<1，则a1<a2 D．若m<1<n，则a1>a2 8．已知关于x的二次函数y＝－（x－k）2＋11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为________． 9．如图4，点A，B的坐标分别为（2，－3）和（5，－3），抛物线y＝a（x－m）2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C横坐标的最小值为－1，则点D横坐标的最大值为（　　） 图4 A．3 B．5 C．8 D．10 10．若A（－5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝x2＋2x＋m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________（用“＜”连接）． 11．如图5，函数y＝|ax2＋bx＋c|的图象是由函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0，b2－4ac＞0）的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论正确的是（　　） 图5 ①2a＋b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移2个单位后与直线y＝5有3个交点． A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 12．在平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都为整数，则把这个点叫做“整点”．例如：A（1，0），B（2，－2）都是“整点”．已知关于x的抛物线y＝tx2－4tx＋4t－2（t>0）与x轴交于M，N两点，若该抛物线在点M，N之间的部分与线段MN所围成的区域（包括边界）中恰有7个“整点”，则t的取值范围是__________． 13．如图6，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与二次函数y＝（x＋2）2－2的图象相交于点A（1，m），B（－2，n）. 图6 （1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式kx＋b<（x＋2）2－2的解集； （3）方程 （x＋2）2－2－n＝0在－3≤x≤1的范围内只有一个解，求n的取值范围． 14．某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙AB＝5 m， AC＝10 m. ① 　　② 图7 （1）如图7①，若矩形花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，花圃使用的篱笆总长为13 m，围成的花圃面积为30 m2，求这个花圃较短边的长度． （2）如图7②，若矩形花圃的一边AD由墙AB和篱笆BD构成，另一边AF由墙AC和篱笆CF构成，其余两边DE，EF由剩下的篱笆围成，花圃使用的篱笆总长为29 m．当篱笆CF的长为多少时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，并说明理由． 15．某宾馆有80个房间，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得40元的利润．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出30元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间，且全部用于出租储存货物． （1）该宾馆每天的总利润w是__________________________________元．（用含x的式子表示） （2）若游客居住每天带来的利润为12 600元，求空闲房间每天储存货物获得的利润是多少元？ （3）该宾馆计划接受100吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨货物，当每个房间的定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 16．项目式学习 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 图8 【项目背景】如图8，校园后的菜地装有1个自动旋转式洒水喷头来灌溉蔬菜，喷头可顺、逆时针旋转喷洒．某班分为3个小组，就此开展数学项目式实践活动，对蔬菜喷水管建立数学模型． 【项目素材】 素材一：喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．如 图9，甲小组以喷水口中心O为原点，水平方向为x轴，喷水管OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得负责菜地的农民伯伯的身高为1.75 m. 图9 【项目任务】 （1）任务一：丙小组测量得喷头的高OA＝ m，喷水口中心O到水柱的最外落水点D的水平距离OD＝8 m，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝3 m，到喷水口中心O的距离OE＝4 m，求出水柱所在抛物线的函数解析式． （2）任务二：乙小组发现这位农民伯伯常常往返于菜地之间．设农民伯伯在与喷水口中心O的水平距离是p m时，不会被水淋到，求p的取值范围． 本章重点压轴题 17．【问题背景】 已知抛物线y＝a（x－1）2＋k（a，k为常数，a>0）的顶点为P，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在该抛物线上，m>1，O为坐标原点． ①　　 　②　 　　③ 图10 【构建联系】 （1）如图10①，当a＝1，该抛物线与y轴交于点（0，－1）时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）如图10②，当OM＝OP＝ 时，求a的值； 【深入探究】 （3）如图10③，若N是该抛物线上的点，且点N在第四象限内，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE＋NF＝DM，当DE＋MF取得最小值 时，求a，k的值． 中考新题型　全国视野——综合实践与探究 18．（2024山西）综合与实践 问题情境：如图11①，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图11②，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图11②中以AB所在直线为 x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图11②中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长． （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图11②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 图11 第二十二章　二次函数 1．C　2.D　3.A　4.B　5.D 6.　－≤m<0（或－0.25≤m<0） 7．C　8.1或　9.C　10.y2<y3<y1　11.B 12.<t≤1 13．解：（1）将A（1，m），B（－2，n）分别代入y＝（x＋2）2－2， 得m＝（1＋2）2－2＝，n＝（－2＋2）2－2＝－2. ∴A，B（－2，－2）. ∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过A，B两点， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋1. 一次函数图象如答图1所示． 答图1 （2）由答图1可知，不等式kx＋b<（x＋2）2－2的解集为x<－2或x>1. （3）方程 （x＋2）2－2－n＝0可化为（x＋2）2－2＝n，此方程在－3≤x≤1的范围内只有一个解，即抛物线y＝（x＋2）2－2与直线y＝n只有一个交点． 把x＝－3代入y＝（x＋2）2－2，得y＝－. 由（1）可知，A，B（－2，－2）. 由图象可知，当－<n≤或n＝－2时，抛物线y＝（x＋2）2－2（－3≤x≤1）与直线y＝n只有一个交点． ∴n的取值范围是－<n≤或n＝－2. 14．解：（1）设这个花圃较短边的长为x（0<x≤5）m，则较长边的长为（13－x） m. 根据题意，得x（13－x）＝30. 解得x1＝3，x2＝10（不合题意，舍去）． ∴这个花圃较短边的长为3 m. （2）解法一： 设CF＝p m，BD＝q m. ∵墙AB＝5 m，AC＝10 m， ∴DE＝AF＝（10＋p） m，EF＝AD＝（5＋q） m. ∵使用的篱笆总长为29 m，即CF＋EF＋ED＋DB＝29. ∴p＋（5＋q）＋（10＋p）＋q＝29. ∴q＝7－p. 设围成的矩形花圃的面积为S. 则S＝（10＋p）（5＋q）＝（10＋p）（12－p）＝－（p－1）2＋121. ∵－1<0，∴当p＝1时，S最大＝121. ∴当篱笆CF的长为1 m时，围成的矩形花圃面积最大，最大面积为121 m2. 解法二： ∵墙AB＝5 m，AC＝10 m，使用的篱笆总长为29 m， ∴围成的矩形花圃周长为5＋10＋29＝44（m）. ∴AF＋AD＝22 m. 设AF＝t m，则AD＝（22－t） m. 设围成的矩形花圃面积为S. 则S＝t（22－t）＝－（t－11）2＋121. ∵－1<0，∴当t＝11时，S最大＝121. ∴CF＝AF－AC＝11－10＝1（m）. ∴当篱笆CF的长为1 m时，围成的矩形花圃面积最大，最大面积为121 m2. 15．解：（1）（－5x2＋270x＋13 600）. （2）由题意，得（80－x）（200＋5x－30）＝12 600. 解得x1＝50，x2＝－4（不符合题意，舍去）． 40×50＝2 000（元）. ∴空闲房间每天储存货物获得的利润是2 000元． （3）∵该宾馆计划接受100吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨货物，且宾馆有80个房间， ∴3x≥100，且x≤80. ∴x的取值范围为 ≤x≤80，且x为整数． 由（1），得w＝－5x2＋270x＋13 600＝－5（x－27）2＋17 245. ∵－5<0，且抛物线的对称轴为直线x＝27， ∴当 ≤x≤80时，w随x的增大而减小． ∵x为整数，∴当x＝34时，w最大， w最大＝－5×（34－27）2＋17 245＝17 000. 200＋5×34＝370（元）. ∴当每个房间的定价为370元时，宾馆每天的总利润最大，最大利润是17 000元． 16．解：（1）由题意，得A，D（8，0），E（4，0），F（4，3）. 设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋. 将F（4，3），D（8，0）代入y＝ax2＋bx＋， 得解得 ∴水柱所在抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋. （2）由题可知，在平面直角坐标系中，农民伯伯最高点的坐标可以表示为（p，1.75）. 将（p，1.75）代入y＝－x2＋x＋， 得1.75＝－p2＋p＋.解得p1＝，p2＝1. 要农民伯伯不会被水淋到，则1<p<. 综上，p的取值范围为1<p<. 17．解：（1）∵a＝1，抛物线与y轴交于点（0，－1）， ∴－1＝（0－1）2＋k.解得k＝－2. ∴该抛物线的解析式为y＝（x－1）2－2. ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，－2）. （2）如答图2，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H， 答图2 则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m. 在Rt△MOH中，OM＝， ∴HM2＋OH2＝OM2，即1＋m2＝. 解得m1＝，m2＝－（不符合题意，舍去）． ∴点M的坐标为. ∵y＝a（x－1）2＋k，∴抛物线的对称轴为x＝1. ∴OD＝1，∠ODP＝90°. 在Rt△OPD中，OP＝， ∴OD2＋PD2＝OP2，即1＋PD2＝. 解得PD＝或PD＝－（不符合题意，舍去）． 由a>0，得该抛物线顶点P的坐标为. ∴该抛物线的解析式为y＝a（x－1）2－. 将代入，得1＝a－.解得a＝10. （3）如答图3，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m. ∴DH＝OH－OD＝m－1. ∴DM2＝DH2＋HM2＝（m－1）2＋1. 答图3 如答图3，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN＝90°. ∵∠MDN＝90°，DM＝DN， ∴∠DNK＝90°－∠NDK＝∠MDH，∠DMN＝∠DNM＝45°. ∴△NDK≌△DMH（AAS）. ∴DK＝MH＝1，NK＝DH＝m－1. ∴点N的坐标为（2，1－m）. 在Rt△DMN中，DM＝DN， ∴MN2＝DM2＋DN2＝2DM2，即MN＝DM. ∵NE＋NF＝DM，∴ME＝NF. 如答图3，在DN左侧作∠DNG＝∠DME＝45°，NG＝DM，连接GF，GM. ∴△GNF≌△DME（SAS）.∴GF＝DE. ∴DE＋MF＝GF＋MF≥GM. 当点F落在线段GM上时，DE＋MF取得最小值，即GM＝. 在△GMN中，∠MNG＝∠DNM＋∠DNG＝90°， ∴GM2＝NG2＋MN2＝3DM2. ∴（）2＝3DM2.∴DM2＝5. 在Rt△DHM中，∠DHM＝90°， ∴DH2＋MH2＝DM2，即（m－1）2＋1＝5. 解得m1＝3，m2＝－1（不符合题意，舍去）． ∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，－2）. ∵点M（3，1），N（2，－2）都在抛物线y＝a（x－1）2＋k上， ∴解得 18．解：（1）画出平面直角坐标系如答图4所示． 答图4 ∵直线OP是AB的垂直平分线，且AB＝6， ∴OA＝OB＝AB＝×6＝3. ∴点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（3，0）. ∵OP＝9，∴点P的坐标为（0，9）. ∵点P是抛物线的顶点，且在y轴上， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋9. 将B（3，0）代入y＝ax2＋9，得9a＋9＝0.解得a＝－1. ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋9（－3≤x≤3）. （2）∵点D，E在抛物线y＝－x2＋9上， ∴设点E的坐标为（n，－n2＋9）. ∵DE∥AB，∴EF＝DF＝n，OF＝－n2＋9.∴DE＝2n. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，AB＝6， ∴OC＝AB＝×6＝3. ∴CF＝OF－OC＝－n2＋9－3＝－n2＋6. 根据题意，得DE＋CF＝6，即2n＋（－n2＋6）＝6. 解得n1＝2，n2＝0（不符合题意，舍去）． ∴n＝2. ∴DE＝2n＝4，CF＝－n2＋6＝2. 即DE的长为4米，CF的长为2米． 答图5 （3） 米． 【提示】如答图5，四边形GHTS为矩形灯带． 由题易知，直线AC的函数表达式为y＝x＋3. 设G（b，－b2＋9），则H（－b，－b2＋9），S（b，b＋3）. ∴GH＝－2b，GS＝－b2－b＋6. ∴矩形GHTS的周长为2（GH＋GS）＝2[－2b＋（－b2－b＋6）]＝－2＋. ∵－2＜0， ∴当b＝－时，矩形周长取到最大值，最大值为 米． 学科网（北京）股份有限公司 $$