第十三章 三角形 中考冲刺学案（考情分析+知识点梳理 + 解题技巧+真题汇编 ） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 一、 考情分析 2 1． 高频考点​ 2 (1) 多边形内角和与外角和：★★★★★ 2 (2) 三角形内角和定理与外角性质：★★★★★ 2 (3) 三角形的三边关系：★★★★ 2 (4) 三角形的高、中线与角平分线：★★★★ 2 (5) 三角形的稳定性：★★★ 2 2． 命题趋势 3 (1) 注重基础与实际应用结合 3 (2) 强调知识综合运用 3 (3) 渗透数学思想方法 3 3． 分值分析​ 3 4． 考生备考建议​ 4 二、 重要知识点​ 4 (1) 三角形 4 (2) 三角形的高、中线与角平分线 4 (3) 三角形的稳定性 5 (4) 三角形内角和与外角性质 5 (5) 多边形内外角和 5 三、 解题方法技巧 6 四、 金典习题 7 参考答案及解析 11 考情分析 高频考点​ 多边形内角和与外角和：★★★★★ 该知识点考查频次极高，北京市、云南省、江苏省扬州市、江西省等多个省市均有涉及，多以选择题或填空题形式出现，主要考查利用多边形内角和公式和外角和恒为360°进行计算，如求多边形的边数、内角的度数等。 三角形内角和定理与外角性质：★★★★★ 此知识点是中考必考内容，多地中考题中均有体现，题型涵盖选择题、填空题和解答题。常与平行线性质、角平分线性质等结合考查角度计算，如利用三角形内角和定理求未知角，或利用外角性质推导角度关系。 三角形的三边关系：★★★★ 部分省市对该知识点进行了考查，多以选择题形式出现，主要考查判断三条线段能否组成三角形，或已知三角形两边长求第三边的取值范围，部分题目还会结合等腰三角形进行考核。 三角形的高、中线与角平分线：★★★★ 部分省市涉及该知识点，题型包括选择题、填空题和解答题。考查内容包括三角形高、中线、角平分线的定义与识别，利用中线平分面积的性质解题，以及角平分线性质定理的应用等。 三角形的稳定性：★★★ 考查频次相对较低，多以选择题或填空题形式出现，部分省市考查了三角形稳定性在实际生活中的应用，主要考查对三角形稳定性概念的理解。 命题趋势 注重基础与实际应用结合 从 2025 年中考来看，三角形相关知识点的考查更加注重与实际生活的联系。例如，利用三角形的边角关系解决测量问题，借助三角形的稳定性解释建筑结构等，强调数学知识在实际生活中的应用能力。 强调知识综合运用 命题逐渐从单一知识点考查转向多知识点综合考查。三角形知识点常与全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识结合，要求考生具备较强的知识综合运用能力和逻辑推理能力。 渗透数学思想方法 中考命题中越来越注重数学思想方法的考查，如方程思想在三角形角度计算中的应用，分类讨论思想在等腰三角形边长计算中的应用，以及转化思想在三角形综合问题中的应用等，考查考生的数学思维能力。。 分值分析​ 选择题、填空题中，考查三角形相关知识点的题目每题分值多为 3 - 4 分；解答题中，涉及三角形知识点的题目分值多为 8 - 12 分；考查三角形与其他知识综合应用时，分值可达 10 - 12 分。整体来看，三角形章节在中考数学中的分值占比约为 15%-20%，是中考数学的重要内容之一。 考生备考建议​ 夯实基础：熟练掌握三角形的基本概念、性质和定理，如三角形的三边关系、内角和定理、外角性质，以及多边形内角和与外角和公式等，确保对基础知识的理解透彻。 强化题型训练：针对三角形相关的不同题型，如选择题、填空题、解答题，进行专项训练，熟悉各类题型的解题思路和方法，提高解题速度和准确率。 注重知识综合运用：加强三角形与全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识的综合练习，培养知识迁移和综合运用能力，应对综合性较强的题目。 总结数学思想方法：在解题过程中，注重总结方程思想、分类讨论思想、转化思想等数学思想方法的应用，提高数学思维能力，灵活应对各类问题。 关注实际应用：多关注三角形知识在实际生活中的应用，通过实际案例分析，提高运用数学知识解决实际问题的能力。 重要知识点​ 三角形 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（若两边为a、b，第三边c满足。 应用：判断线段能否构成三角形、求第三边取值范围、等腰三角形边长计算。 三角形的高、中线与角平分线 线段类型 定义 核心性质 高 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 三条高交于垂心；直角三角形两条高为直角边，钝角三角形两条高在外部 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于重心（重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍）；中线平分三角形面积 角平分线 平分内角且交对边的线段 三条角平分线交于内心（内心到三边距离相等）；角平分线上的点到角两边距离相等 三角形的稳定性 性质：三角形形状和大小固定，不易变形（与四边形的不稳定性对比）。应用：钢架结构、自行车车架、篮球架等实际场景。 三角形内角和与外角性质 内角和定理：三角形内角和为180°（直角三角形两锐角互余）。 外角性质：① 一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；② 一个外角大于任意一个不相邻的内角。 多边形内外角和 内角和公式：n边形内角和为(n - 2)×180°（n≥3，n为整数）。 外角和：任意多边形外角和恒为360°（与边数无关）。 正多边形：每个内角=，每个外角=。 解题方法技巧 1． 三边关系解题技巧判断线段能否构成三角形：只需验证 “两短边之和＞最长边”（无需验证所有三边组合，简化计算）。 2． 求第三边取值范围：先确定已知两边的 “差” 与 “和”，再结合 “大于差、小于和”，若为等腰三角形，需额外验证 “腰长 + 腰长＞底边”。 3． 角度计算技巧内角和定理应用：已知两角求第三角，直接用180°减去已知两角；多角计算可设未知数（如设最小角为x），列方程求解。 4． 外角性质应用：遇到 “角的传递” 问题（如图形中多个外角相连），优先用外角性质替代内角和，减少计算步骤（例：求五角星内角和，可通过外角转化简化）。 5． 重要线段应用技巧中线：涉及 “中线” 的证明或计算，常用 “倍长中线法”（延长中线至两倍，构造全等三角形），转移线段或角的关系。 6． 角平分线：遇角平分线问题，可向角两边作垂线（利用 “角平分线上点到两边距离相等”），或在角两边截取等长线段（构造全等三角形）。 7． 多边形计算技巧求边数：已知内角和用n =；已知外角（或内角）用n = （正多边形优先用外角和，计算更简便）。 8． 剪去内角后边数判断：分三种情况（剪线过 0 个、1 个、2 个顶点），对应边数 “+1”“不变”“-1”。 金典习题 1． 【2025年北京】若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 2． 【2025年云南】一个六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 3． 【2025年吉林】如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 4． 【2025年四川省眉山市】如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5． 【2025年四川省自贡市】如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 6． 【2025年四川省遂宁市】已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7． 【2025年广东】如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A B. C. D. 8． 【2025年江苏扬州市】若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 9． 【2025年江苏连云港市】下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 10． 【2025年江西】如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度． 11． 【2025年福建】某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 12． 【2025年甘肃省平凉市】如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 13． 【2025年陕西】如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14． 【2024年青海】正十边形一个外角的度数是 . 15． 【2024年重庆】如果一个多边形的每一个外角都是40°、那么这个多边形的边数为 16． 【2024年河北】 直线1与正六边形 ABCDEF 的边 AB,EF 分别相交于点M,N, 如图所示，则 a+ β=( ) A.115° B.120° C.136 D.144° 17． 【2024年新疆】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AB=8. 若点D 在直线AB上(不与点A,B重合), 且∠BCD=30°,则AD 的长为 18． 【2024年四川省凉山州】如图，△ ABC 中，∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边 AB 上的高，AE 是∠CAB 的平分线，则∠AEB的度数是。 19． 【2024年四川省乐山市】下列多边形中，内角和最小的是( ) A. B. C. D. 20． 【2024年内蒙古赤峰市】如图，是正n 边形纸片的一部分，其中1,m 是正n 边形两条边的一部分，若l,m 所在的直线相交形成 的锐角为60°,则n 的值是( ) A.5 B.6 C.8 D.10 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案及解析 1． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 2． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 3． 【答案】36 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 4． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 5． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键， 根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得： 解方程，得 因此，该多边形的边数为10， 故选：A． 7． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8． 【答案】9 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是． 【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：9． 9． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 10． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 11． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 12． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为，根据内角和可解得，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设原多边形的边数为， 则可得， 解得， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为， 故选：A． 13． 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 14． 【答案】36° 【分析】考核知识点：多边形外角和定理（任意多边形的外角和都为 360°）。根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和固定为 360°。对于正多边形，其每个外角的度数都相等，且外角的度数 = 多边形外角和 ÷ 边数。该正多边形为十边形，边数为 10，因此一个外角的度数 = 360°÷10=36°。 15． 【答案】9 【分析】考核知识点：多边形外角和定理的逆用（已知外角求边数）。由多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和为 360°。当多边形每个外角均相等时，边数 = 多边形外角和 ÷ 每个外角的度数。该多边形每一个外角都是 40°，所以边数 = 360°÷40°=9。 16． 【答案】B 【分析】考核知识点：正六边形的内角性质、三角形内角和定理。首先，正 n 边形内角和公式为 (n-2)×180°，正六边形边数 n=6，其内角和为 (6-2)×180°=720°，每个内角 = 720°÷6=120°。直线与正六边形两条边相交形成的角，可通过三角形内角和计算：先求出正六边形相关内角的邻补角（180°-120°=60°），再根据三角形内角和为 180°，用 180° 减去两个邻补角的和（60°+60°=120°），得到所求角的和为 60°，最终计算得 α+β=120°，对应选项 B。 17． 【答案】4 或 8 【分析】考核知识点：直角三角形的性质（30° 角所对直角边是斜边的一半）、三角形内角和与外角性质、分类讨论思想。在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，根据 30° 角直角三角形性质，BC=1/2AB=4，∠ABC=60°。点 D 在直线 AB 上（不与 A、B 重合），需分两种情况讨论：当 D 在 BA 延长线上时，利用∠BCD=30° 和∠ABC=60°，可得∠D=30°，进而推出 BD=BC=4，AD=AB-BD=4；当 D 在 AB 延长线上时，同理可推出 AD=AB+BD=8，因此 AD 的长为 4 或 8。 18． 【答案】100° 【分析】考核知识点：直角三角形两锐角互余、角平分线定义、三角形内角和性质。首先，CD 是 AB 上的高，故∠ADC=90°，已知∠BCD=30°，∠ACB=80°，可得∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°；在 Rt△ACD 中，∠CAB=90°-∠ACD=40°。AE 是∠CAB 的平分线，所以∠BAE=1/2∠CAB=20°；在△ABC 中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=60°。最后在△AEB 中，∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-60°-20°=100°。 19． 【答案】A 【分析】考核知识点：多边形内角和公式（n 边形内角和为 (n-2)×180°，n≥3 且为整数）。根据多边形内角和公式，内角和随边数 n 的增大而增大，边数最小的多边形是三角形（n=3），其内角和为 (3-2)×180°=180°，是所有多边形中内角和最小的。 20． 【答案】B 【分析】考核知识点：正多边形的外角性质、邻补角关系。正 n 边形的外角和为 360°，每个外角 = 360°/n。直线 l、m 是正 n 边形两条边的一部分，它们相交形成的锐角与正 n 边形的外角相等（因是锐角，故等于外角）。已知该锐角为 60°，即正 n 边形一个外角为 60°，所以 n=360°÷60°=6，对应选项 B。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$