第二章 分式与分式方程（复习课件）数学鲁教版五四制八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及分式方程的解法与应用，通过单元知识图谱将分式定义、约分通分、四则运算、分式方程及实际应用等核心内容串联，结合考点串讲构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”三阶复习策略，如分式方程应用中设计“核桃种植产量问题”“手机壳进货单价问题”等实例，培养学生数学思维与模型意识。题型含例题与变式训练，分层设计满足不同学情，助力学生巩固知识，教师精准教学。

单元复习课件 第二章 分式与分式方程 鲁教版五四制·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能用分式表示生活中的一些量，理解分式的概念，掌握分式有意义、无意义及值为 0 的条件；掌握分式的基本性质，能熟练进行分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除运算；了解分式方程的概念，能熟练解可化为一元一次方程的分式方程，理解产生增根的原因并会检验根；能列分式方程解决一些实际问题，建立现实情境中的数学模型，初步形成建模思想。 3.理解增根产生原因，并正确进行验根操作，避免在解题过程中遗漏或错误；能够从实际问题中分析数量关系，找出等量关系，设出合适的未知数，列出分式方程并求解，体会“建模”思想。 2.准确掌握分式的乘除、加减运算法则，能够正确进行分式的四则运算，并且能将结果化简；掌握解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤，知道解分式方程必须验根，理解验根的重要性，培养思维的严谨性。 单元学习目标 分式 分式：如果A，B是两个整式，且B中含有字母，则 叫做分式 基本性质 相关概念 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分 B=0，分式无意义；B≠0，分式有意义 对于分式 而言 有无意义 值为0 A=0且B≠0 通分 把几个异分母分式化成同分母的分式，叫做通分 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 最简公分母 取各分母系数的最小公倍数与所有字母（或多项式）因式的最高次幂的积，叫做最简公分母 基本性质 （其中 A，B，C 是整式，且C≠0 ） 符号法则 单元知识图谱 分式 解分式方程 分式的运算 分母中含未知数的方程叫做分式方程 去分母，将分式方程化为整式方程，再求解 先乘除，再加减，有括号先算括号里的 用分式方程解决实际问题的步骤：审，设，列，解，验，答 分式方程的概念 基本思路 分式的乘除法 分式方程的应用 分式的加减法 分式的混合运算 单元知识图谱 考点一、分式的概念 3.分式值为零的条件： 当___________时，分式 的值为零。 1.分式的概念: 一般地，如果A，B都表示_______，且B中_______ ，那么称_______为分式。其中A叫做分式的分子，B为分式的分母。 2.分式有意义的条件: 对于分式 ,当_______时，分式有意义;当_______时，分式无意义。 整式 含有字母 B≠0 B=0 A=0且B≠0 考点串讲 考点二 、分式的基本性质 用字母表示为:________________________________________。 2.约分：根据________________，把一个分式的分子与分母的_______约去，叫做分式的约分。 3.最简分式：分子与分母没有_________的式子，叫做最简分式。 1.分式的基本性质:_______________________________。 分式的分子，分母同乘（或除）同一个不为0的数 （或式），分式的值不变 （其中 A，B，C 是整式，且C≠0 ） 分式的基本性质 公因式 公因式 考点串讲 考点二 、分式的基本性质 4.约分的基本步骤: （1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的__________，并约去相同字母的_____________。 （2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式__________，然后约去分子、分母所有的__________。 最大公约数 最低次幂 因式分解 公因式 考点串讲 考点二、分式的基本性质 5.分式的通分：根据分式的____________，把几个________的分式化成_________的分式的过程，叫做分式的通分. 6.最简公分母：通分时，一般取各分母系数的___________与各分母所有因式的_________的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 基本性质 异分母 同分母 最小公倍数 最高次幂 考点串讲 考点二、分式的基本性质 7.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的____________； ②各分母所有相同字母的__________； ③各分母所有不同字母及其指数保留，这三部分的乘积叫做最简公分母。 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的__________，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从__________、__________、 __________三个方面去确定. 最小公倍数 因式分解 最高次幂 系数 相同因式 不同因式 考点串讲 考点三、分式的乘除 1.分式的乘法法则：_________________________;即： 2.法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用____________运算后再_____； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母___________，约分后，再进行乘法运算 3.分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的_______，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带_______； 第三步：约分，将结果化成______________。 分子乘分子，分母乘分母 分式乘法法则 约分 因式分解 符号 括号 最简分式 考点串讲 考点三、分式的乘除 4.分式的除法法则：__________________________________________; 即。 5.分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行___________，能约分的先约分； 第二步：将除法转化成__________； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 因式分解 乘法 考点串讲 考点四、分式的加减 1.同分母的分式加、减法运算法则：_________________________；即____________。 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母________，把分子__________； （2）分子相加减时，若有多项式，应先加_____，再___________； （3）结果应化为__________________。 分母不变，分子相加减 不变 相加减 括号 合并同类项 最简分式 考点串讲 考点四、分式的加减 3.异分母的分式的加、减法运算法则：___________________________， 即___________________. 4.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为___________的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 先通分，化为同分母分式，再用同分母加减法法则计算 同分母 考点串讲 考点五、分式方程 1.分式方程：分母中_______________的方程叫作分式方程. 2.解分式方程的基本思路：_________，把分式方程化为_____________。 3.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘___________________; (2)解整式方程：_______，_______ ， _____, __________，__________。 (3)检验 ①最简公分母________，是分式方程的解； ②最简公分母________，不是分式方程的解. 含未知数 去分母 整式方程 最简公分母 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 不等于0 等于0 考点串讲 考点五、分式方程 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中， 若整式方程的解使_________________，则这个解叫作原分式方程的增根。 5.检验方程根的两种方法： （1）将整式方程的解代入__________，若______________，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入_____________，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 最简公分母=0 最简公分母 最简公分母≠0 原方程 考点串讲 1.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）____：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系； （2）____ ：即设未知数; （3）____ ：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）____ ：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）____ ：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）____ ：即写出答案，注意单位和答案要完整. 考点五、分式方程的应用 设 审 列 解 验 答 考点串讲 考点五、分式方程的应用 2.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：______________________； （2）工程问题：__________________________ ； 工作总量= _________________。 （3）利润问题：利润= _____________________； 利润率= __________________________。 速度×时间=路程 工作量=工作时间×工作效率 利润率=利润÷进价×100% 利润=售价-进价 各个分工作量之和 考点串讲 题型一、分式的定义 【例1】下列式子中，是分式的是（   ） A. B. C. D. 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握形如 (其中 为整式， 分母 中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键。 根据分式的定义，只有D符合，故选：D D 题型剖析 题型一、分式的定义 判断分式的关键：分母中含有字母． 题型剖析 题型一、分式的定义 变式：下面的式子哪些是分式？ （1） （2） （3） （4） （5） 解：（3），（4）的分母中含有未知数； 故答案：（3），（4） 题型剖析 题型二、分式是否有意义 【例2】当 取_______时，分式 有意义。 【分析】本题考查了分式的有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义。 根据上述原则，当分母 ，分式有意义。 故答案： 题型剖析 分式是否有意义的条件： （1）分母的值=0，分式没有意义； （2）分母的值≠0，分式有意义。 题型二、分式是否有意义 题型剖析 变式：若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）？ A. B. C. D. 解：当分母 时，分式有意义； 故选： A 题型二、分式是否有意义 A 题型剖析 题型三、分式的值为0的条件 【例3】若分式 的值为0，则 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D.±2 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 解：∵分式 的值为0，∴ 解得 ，故选：C C 题型剖析 题型三、分式的值为0的条件 分式的值为0的条件： 分子为0，且分母不为0. 题型剖析 题型三、分式的值为0的条件 变式：若分式 的值为0，则 的值为（ ）？ A. -3 B. 3 C. ±3 D. 0 解：当 时，分式的值为0； 解得： 故选： A A 题型剖析 题型四、分式的基本性质 【例2】下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A. B. C. D. 【分析】本题考查了分式的基本性质的应用，根据分式的约分化简以及分式的基本性质，对照选项逐一验证即可。 【详解】D、 和 都是最简分式 ，不能化简，故 ，D错误。 故选：D D 题型剖析 题型四、分式的基本性质 分式的基本性质： 分式的分子分母同乘（或除）同一个不为0的 数（或式），分式的值不变。 题型剖析 题型四、分式的基本性质 变式：把分式 中的 均扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A.为原分式的 B. 为原分式的 C. 为原分式的10倍 D.不变 解：x、y均扩大为原来的10倍后，有 故选：A A 题型剖析 题型五、最简分式 【例5】下列分式中，最简分式是（    ） A. B. C. D. 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】A. ; C. D. A 、C、D均可约分，故选B B 题型剖析 题型五、最简分式 判断一个分式是否为最简分式： （1）分子、分母中没有公因式； （2）当分子、分母中出现多项式时，要先将多项式进行因式分解，再判断是否存在公因式。 题型剖析 题型五、最简分式 变式：将下列分式化为最简分式 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 题型剖析 题型六、分式的乘除运算 【例6】计算： （1） （2） 解：（1） （2） 题型剖析 题型六、分式的乘除运算 分式的乘除法时要注意： （1）有负号参与时，先确定符号； （2）当分子、分母中出现多项式时，要先将多项式进行因式分解，再作乘除运算，除法统一变成乘法； （3）几个因式间若可以约分，应先约分，再进行乘法运算； （4）当两个因式互为相反数时，应提负号，再约分，即 题型剖析 题型六、分式的乘除运算 变式：计算 （1） （2） 解：（1） （2） 题型剖析 题型七、分式的加减运算 【例7】计算： （1） （2） 解：（1） （2） 题型剖析 题型七、分式的加减运算 分式的加减运算时要注意： （1）当分母不同时，应先通分，化为同分母； （2）当分子是多项式时，参与计算要加上括号； （3）最后的结果要化为最简分式或者整式。 （4）整式参与运算时，牢记分母为“1” 题型剖析 变式：计算 （1） （2） 解：（1） 题型七、分式的加减运算 （2） 题型剖析 题型八、分式的混合运算 【例8】计算： 解： 题型剖析 题型八、分式的混合运算 分式的混合运算时要注意： （1）严格遵循运算顺序计算，当某一项是整式时，可将此项看成分 母为1的式子； （2）运算过程中及时约分化简，可使计算过程简单； （3）注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （4）计算结果必须化为最简分式或整式。 题型剖析 题型八、分式的混合运算 变式：计算 （1） （2） 解：（1） （2） 题型剖析 题型九、分式方程的定义 【例9】下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程 叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误。故选：C． C 题型剖析 题型九、分式方程的定义 分式方程要满足以下三点： （1）必须是一个方程； （2）有分母； （3）分母中含有未知数。 题型剖析 题型九、分式方程的定义 变式：下列方程不是分式方程的为（　　） A. B. C. D. 解：C中的分母都是数字，分母中不含未知数，∴C不是分式方程。故选：C C 题型剖析 题型十、解分式方程 【例10】解下列分式方程： （1） （2） 解：（1） 两边同乘 ，得 解得： 检验：将 代入： ∴ 是原方程的解。 （2） 两边同乘 ，得 解得： 检验：将 代入： ∴ 原方程无解。 题型剖析 题型十、解分式方程 解分式方程要注意： （1）分式方程的每一项都要乘最简公分母，不要漏乘； （2）分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； （3）分子是多项式时，去分母后要带上括号 （4）最后一定要验根。 题型剖析 题型十、解分式方程 变式：解下列分式方程： （1） （2） 解：（1） 两边同乘 ，得： 解得： 检验：将 代入： ∴ 原方程无解。 （2） 两边同乘 ，得： 解得： 检验：将 代入： ∴ 是原方程的解。 题型剖析 题型十一、分式方程的增根 【例11】若关于 的分式方程 有增根，则 的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D.0或3 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． A 题型剖析 题型十一、分式方程的增根 【详解】分式方程 去分母，得： 由分式方程有增根，得到： ，即 将 代入整式方程，得： 解得： 故选：A 题型剖析 题型十一、分式方程的增根 解决增根问题的步骤： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 题型剖析 题型十一、分式方程的增根 变式：若关于x的分式方程 无解，则 的值是________。 解：将方程去分母，得： 整理，得： ∵原方程无解 ∴原方程有增根或者化简后的整式方程无解 ① ∵最简公分母 ， 将 代入 得： ②当 时，整式方程无解 得： 综上所述， 题型剖析 题型十二、分式方程的应用 【例14】某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，请问原计划每亩平均产量为多少万千克？ 【分析】 本题考查了分式方程的实际应用 根据种植亩数=总产量÷平均亩产量， 可列出表格如右图所示： 原计划 实际 总产量 平均亩产量 种植亩数 36 45 再结合改良后的种植亩数比原计划 少20亩，可列出方程。 题型剖析 题型十二、分式方程的应用 【详解】设原计划每亩平均产量为 万千克，根据题意，得： 解得： 经检验 是原方程的解，且符合题意。 答：原计划每亩平均产量为0.3万千克。 题型剖析 题型十二、分式方程的应用 利用式方程解决实际问题的关键： ①找出题目中的等量关系； ②可借助表格理顺各项之间的联系； ③ 解完方程一定要检验。 题型剖析 题型十二、分式方程的应用 变式：某商家预测“华为Mate70”机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳，” 面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购买手机壳的数量 是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．求第一批手机壳的进货单价是多少元？ 解：设第一批手机壳的进货单价是 元，则第二批手机壳的进货 单价是 元，由题意，得： 解得： 经检验， 是原方程的解，且符合题意。 答：第一批手机壳的进货单价是8元。 题型剖析 1.使得等式 成立的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【分析】本题考查了分式的基本性质。 根据分式的基本性质：分子、分母同乘（或除）同一个不为0的数（或式），分式的值不变。 故选：D D 针对训练 2.下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【分析】本题考查了分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义。 ∵不论 为何值时，总有 。 ∴ 恒成立。 ∴ 故选：B B 针对训练 3.不改变分式 的值，使分式的分子、分母中 的最高次项的系数都是正数，应该是 （ ） A. B. C. D. 解：由题意可知将分式的分子分母同时乘-1，得： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． C 针对训练 4.在分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【分析】本题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义判断即可。 解： 而其余三个都不能再约分，故选：C C 针对训练 5.计算： （1） （2） 解：（1） 解：（2） 针对训练 6.先化简，再求代数式 的值，其中 ． 解： 当 时，原式 针对训练 7.已知关于 的方程 ， （1）若此方程的解 ，求 的值； （2）若此方程有增根，求 的值； （3）若此方程的解是正数，求 的值。 【分析】本题考查含参数的分式方程，熟练掌握解分式方程以及根据分式方程解的情况确定分式方程中的参数的方法是解题的关键． 针对训练 解：将此方程去分母，整理得： （1）∵方程的解为 ∴ 解得： （2）∵方程有增根 ∴ ∴ ∴ 解得： （3）∵方程的解是正数 ∴ 且 解得： 且 针对训练 8.解下列分式方程： （1） （2） 解：（1） 两边同乘 ，得： 解得： 检验：将 代入： ∴ 是原方程的解。 （2） 两边同乘 ，得： 解得： 检验：将 代入： ∴ 是原方程的解。 针对训练 9.甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务。以下是施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为 千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按 千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工 千米完成，剩下的18千米按每天施工 千米完成，预计完成生产任务所需的时间为 天； B方案：设完成施工任务所需的时间为 天，其中一半时间每天完成施工 千米，另一半时间每天完成施工 千米； 特别说明：两种方案中的 地为正整数，且 ． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 针对训练 （1）解：根据题意得： 解得： 经检验， 是原方程的解，且符合题意。 ∴ 答：甲工程队完成施工任务需要5天。 针对训练 （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得： ； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即 ∴ ∴乙工程队应采取B方案 针对训练 本章小结： （2）条件：分式是否有意义、分式的值为0； （4）运算：分式的加减乘除、解分式方程； （3）性质：约分、通分； （5）思想：抽象与建模思想、化归思想、分类思想； （1）概念：分式、最简分式、最简公分母、分式方程、增根； 课堂总结 感谢聆听! $$