第二章 分式与分式方程 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

本章综合提升（答案P13) 本章知识归纳 一般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式 概念 如果B中含有 ,那么称}的分式 分母 分式有意义的条件 分式 分母 分式无意义的条件 分式值为零的条件 分子为零，分母 基本性质 会器，会祭(m0 公式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 分式的性质 分式的通分 根据分式的基本性质，将异分母分式化成同分母分式 分式与分式方程 最简分式 分子和分丹没有公因式的分式 分式的 分式的乘法法则 乘除法 分式的滁法法则 会--急 分式的运算 分式的 同分丹的分式加减法法则 6±C=b±c 加减法 异分母的分式加减法法则 2±名-品±c生则 概念 分母中含有 的方程叫做分式方程 去分母，化分式方程为 方程 分式方程 解分式方程的步骤 解整式方程 验根 列分式方程解决实际问题的步躁审、设、列、解、验、答 息想方法纳 【例1】(2023·四川遂宁中考)先化简，再 1.类比思想 求值十.1+p=(3 x2-1 类比思想是以对象之间某些属性的相同点 为依据，从而推断它们的其他属性也可能相同， 它是我们获取新知识的重要思想， 雪链授本章… 分式的性质、分式的运算都是类比分数 的性质、分数的运算得到的。 .... 52 优社学奉·课时通 【变式训练1】(2023·威海中考)先化简(a- 3.转化思想 2a。÷0.1,再从-3<a<3的龙围内选择 【链接本章 a 把除法转化为乘法，把异分母分式相加 一个合适的数代入求值， 减转化为同分母分式相加减，把分式方程转 化为整式方程来解等. - 【例3】(2024·东营期中)已知代数式 x+4-4-x2 x2一4与2x十5的值互为倒数，则x= 【变式训练3】(2023·泰安宁阳期中)解分式 5 防程产会产生增根，则 1m= 2.整体思想 4.建模思想 《链接亦章…… 数学模型是用数学语言概括地或近似地描 在分式的化简求值题中，在化简后，代 述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的 值时往往需要整体代入求值. 种数学结构，通过建立数学模型解决实际问题 y 的思想就是建模思想 【例2】(2023·菏泽中考)先化简，再求值： 红省链接本章……… 构建分式模型、或分式方程模型解决实 际问题。 y-3=0. 【例4】为配合学校贯彻落实“双减”政策， 搞好课后辅导服务活动.某文化用品商店用 1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又 用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原 来上涨了25%，结果第二次所购进圆规的数量比 【变式训练2】(2023·湖南娄底中考)先化第一次少40件 简，再求值：（千2小÷其小x满足 (1)求两批圆规购进的单价分别是多少， (2)若商店将第一批圆规以每件7元，第二 x2-3.x-4=0. 批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利 多少元？ 一八年级·上册·数学，色教版 53 【变式训练4】小刚家到学校的距离是 4.(2024·泰安宁阳期中)下列分式中，最简分式 1800米.某天早上，小刚到学校后发现作业本忘 是( 在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按 A ry BQ2+6 原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返 422 a+b 回学校.已知小刚骑自行车的时间比跑步的时间 2一x 3一x 少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步 4-x2 D.x2-6x+9 的平均速度的1.6倍. 5.(2024·泰安肥城期中)将分式2y+ (1)求小刚跑步的平均速度. 22+y的x,y (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用 均扩大到原来的2倍，则分式的值( 了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明 A.不变 B.扩大到原来的4倍 理由. C缩小到原来的号 D.不能确定 6.(2024·烟台蓬莱区期中)在复习分式的化简 运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示 如下.你对两位同学解答过程的评价为() 2 1 甲同学：一1号 通预拟899p99999游999 2 x+1 (x+1)(x-1)(x-1)(x+1) 2 1.(2024·烟台蓬菜区期中)下列各式m2- 2-x+1 3-x (x+1)(x-1)x2-1 导，中3安，喝于分式的 元’2x, 2 1 有() 乙同学：-1x-1(a+D-Dx A.4个B.3个C.2个 D.1个 2 x+1 2.(2024·青岛莱西期中)甲、乙两地相距m千 x+1)(x-1)(x-1D(x+1)=2-x+1 =3-x 米，高速列车原计划每小时行驶x千米，受天 气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从 A.甲对乙错 B.乙对甲错 甲地到乙地所需时间比原来增加( C.两人都对 D.两人都错 A需小时 B(器空)小时 7.(2024·烟台芝罘区期中)若关于x的分式方 6x+3k C(2”0四)小时D.(Z”0小时 程-1-7 无解，则k的取值 x 是( ) 3.(2024·烟台芝罘区期中)下列等式成立的 A.-3 B.-3或-5 是() A.11=1 C.1 D.1或-5 B.-z+y--1 a b a-b x+y x十1= 8.(2024·烟台蓬菜区期中)若分式2-1 正十3有意 C.x-y=-1 D y一x y+1 y 义，则x的取值范围是 54 优计学奉·课时通 9.(2024·烟台莱州期中)解方程： 通中考特沙游 (1)x=2x +13x+3+1: 1.(2023·济宁中考)若代数式，2有意义，则 实数x的取值范围是( A.x≠2 B.x≥0 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 12.(2022·威海中考)试卷上一个正确的式子 (2)1-212 x+33-xx2-91 。6.6)中★。子越小颜同学不小 心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式 为() 4. a-b B.ab a 10.(2024·烟台蓬莱区期中)(1)先化简，再求 4a 食14其中 D.a-b x2-1 13.(2023·聊城中考)若关于x的分式方程 x=-2. 二十1-”的解为非负数，则m的取值 范围是() A.m≤1且m≠-1B.m≥-1且m≠1 C.m<1且m≠-1D.m>-1且m≠1 14(2023·泰安中考)化简：(2一日)÷ x2+10x+25 x2-4 (2)先化简，再求值：（22+a) a2+2a+1,从-2≤a≤1中选出合适的最大 a+2 整数a代人求值. 15.(2023·东营中考)先化简，再求值： 品》化消后，从 x<3的范围内选择一个你喜欢的整数作为 x的值代入求值. 一八年级·上册·数学，色教版 552m-2 3≥0，解得m≥1， .实数m的取值范围为m≥1且m≠4. 14.解：去分母，得2-x-m=2x-4. 移项、合并同类项，得3.x=6一m, 解得x= 6-1m 31 (1)由分式方程有增根，得x一2=0，x=2, .6"m=2,解得m三0 (2)分式方程的解为正数g”>0,且m 解得m<6且m≠0. 15.B 4x-1 16.D解析：解不等式组 x-1≥3 5x-1a, |x≤-2， e+1 得 5 :不等式组r一1≥4红。1 3的解集为x≤一2， 5.x-1<a a+1、 >-2,.a>-11. 5 解分式方程y一1。 y+1y+12,得y=01 3 y是负整数，且y十1≠0， “写是负整教且“ 3≠-1. .a=-8或-5. ∴.所有满足条件的整数a的值之和是一8 =-13. 17.解：83-1， x-1 x 方程两边同时乘x(.x一1)， 得x(.x-a)-3(x-1)=x(x-1), x2-ax-3.x+3=x2-x. 移项、合并同类项，得(2十a)x=3. 3 解得x=2十a :解为负数心2十a 3 <0,解得a<一2. ,3为负整数， :解为负整数2十a ∴.a=-5或a=-3. 阶段检测二(4) 1.A2.C3.A4.D5.A6.C7.B8.A 9.610.x=411.4 12.解：××正确步骤如下： xx-3=1, x-22-x 两边同乘(x一2)，去分母，得x十x一3=x一2. 移项、合并同类项得x=1. 检验：当x=1时，x一2≠0， 所以原分式方程的解是x=1. 13.解：3-x 1 x-44-x -2 方程两边同乘最简公分母(x一4)，得 3-x=-1-2(x-4). 解方程，得x=4. 检验：当x=4时，x一4=0. ,'.x=4是原方程的增根，原分式方程无解 14.解：去分母，得(x-1)(x+1)-x(x+2)=a.x+2,即 (a+2)x+3=0. 0, “关于x的方程+1一x a.x+2 x+2 -x-1=(x-1)(x+2) 无解， ∴.a十2=0或x=1或x=-2. 当x=1时，-3=a十2，即a=-5; 当x=-2时，-2(a+2)=-3, 即a=一2 当a十2=0时，a=-2. 综上，a=-5或-2或- 2时原分式方程无解. 15.解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个 B型扫地机器人的进价为(2x一400)元， 依题意，得9600-168000 2x-400 解得x=1600. 经检验，x=1600是所列方程的解，且符合题意。 2x-400=2×1600-400=2800. 答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个 B型扫地机器人的进价为2800元. 5 16.解：(1)设大巴车的平均速度为xkmh,则小轿车 的平均速度为1.5.xkm/h, 根据题意，得90-90 ,30,15 =1.5x+60+601 解得x=40. 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意。 1.5×40=60(km/h). 答：大巴车的平均速度为40km.h,小轿车的平均 速度为60kmh. (2)设苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有 y km. 根据题意，得，+0y=90一y 60 40 解得y=30. 经检验，y=30是原方程的解且符合题意. 答：苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有 30km. 本章综合提升 【本章知识归纳】 字母不为零为零不为零未知数整式 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：根据分式的加法法则，乘法法则把原 式化简，根据负整指数幂把x化简求值，代入计算 即可. 13 解：21·(1+）=D (.x-1)2 x2-1 x+1_x-1 【变式训练1】解：(。-2a)÷a,1_-2a+1÷ (a+1)(a-1) (a-1)2 a a-1 a(a+1)(a-1)a+1 .a≠0且a-1≠0且a+1≠0， ∴.a不能为0,1，-1. 2-11 当a=2时，原式=2+1-3· 或当。=一2时原式=号 【例2】思路分析：利用分式的相应的法则对式子进行 化简，再代入相应的值运算即可. 朗方然-(+片 3x+3ryty ()(ty) (x一y)(x十y) 2x(2.x+y).(x-y)(x+y) (x-y)(x+y) =2(2x十y). .2x+y-3=0,∴.2x+y=3, .原式=2×3=6. 方法二：运用乘法分配律 (3t)÷ a-y x+yl'a2-y =（3x+x）.x-y)(x+y) x-y'x+y =3(x+y)+(x-y)=2(2x+y). 2x+y-3=0,∴.2x+y=3, .原式=2×3=6. 【变式调练2牌：（名名）小片 [”t”] x2-3.x-2 =+x-(x+1)(x-1D =x2-3x-2. x2-3x-4=0, x2-3x=4, .原式=4-2=2. 【例3】思路分析：根据题意得到工十4.4x x2-4‘2r十5=1，然 后解方程即可，最后要检验 -3 【变式训练3】-10或-4 【例4】思路分析：(1)设第一批购进圆规的单价为 x元/件，由题意：某文化用品商店用1000元购进了 批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二 批该种圆规，但进价比原来上涨了25%，结果第二次 所购进圆规的数量比第一次少40件.列出分式方程， 解方程即可. (2)求出购进两批圆规的数量，列式计算即可. 解：(1)设第一批购进圆规的单价为x元：件，则第二批 购进圆规的单价为(1十25%)x元件，依题意，得 10001000 1.25.x 40. 解得x=5. 经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意. 则1.25.x=1.25×5=6.25. 答：第一批购进圆规的单价为5元：件，第二批单价为 6.25元/件. (2)第一批购进圆规的数量为1000÷5=200（件）， 第二批购进圆规的数量为200一40=160（件）， 共盈利(200×7一1000)+(160×8一1000)=400+ 280=680(元). 答：共盈利680元. 【变式训练4】解：(1)设小刚跑步的平均速度为x米，分， 则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分. 根提题意，相0+4.510 x 解得x=150. 经检验，x=150是所列方程的根，且符合题意. 所以小刚跑步的平均速度为150米/分. (2)由(1)得小刚跑步的平均速度为150米分， 则小刚跑步所用时间为1800÷150=12（分）， 骑自行车所用时间为12一4.5=7.5（分）， 在家取作业本和取自行车共用了3分， .小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+ 3=22.5(分). 又，22.5>20，所以小刚不能在上课前赶回学校. 【通模拟】 1.C2.C3.C4.B5.D6.D7.B 8.x≠-3 9.解：(1)方程两边同时乘(3x+3), 得3x=2十3x十3.解得x=-3 Γ2 检验：当x=2时，3+3=2≠0， 3 原方程的解为x=一2· (2)方程两边同时乘(x十3)(x一3)， 得x-3+2(x+3)=12. 解得x=3. 检验：当x=3时，(x十3)(x-3)=0, ∴原方程无解. 10.解：(1)1 1x2-4.x+4.x2-2x 0x-1Tx2-1 x+1 1 (x-2)2 x+1 x-1千(x+1)(x-1)x(x-2) 1 +x-2=x十x-22x-2 x-1x(.x-1)x(.x-1)x(x-1) =2(x-1)2 Γx(x-1)x 当x=-2时，原式-号2-1. 2)1 a+2 三。千2十(a2 a+2 (a+1)2 =3+(a-2)(a+2),a+2 a+2 (a+1)2 3十a2-4，a+2_a2-1,a+2 a+2(a+1)2-a+2∴(a+1) (a+1)(a-1).a+2a-1 a+2 (a+1)2a+1' ,a+2≠0，a+1≠0， ∴.a≠-2，a≠-1. .-2≤a≤1，且a取最大整数， .取a=1. 当a=1时，原式-号0 【通中考】 11.D12.A13.A 14解：(2-》÷10+25 x2-4 2(x+2)-(x-1)(x-2)(x+2) x+2 (.x+5)9 =2x+4-x+1.(x-2)(x+2) x+2 (.x+5)2 =x+5.（x-2)(x+2)_x-2 x+2·(x+5)2 x十5 1解：，1÷2年1》- - (.x+1)2 2x-(x+1D-x(x-1.c(x+1)-x x(x+1)(x+1)2 x-1x+1 .x≠-1，x≠0，x≠1， .取x=2 当x=2时，原式= 第三章数据的分析 1平均数 第1课时算术平均数与加权平均数 1.C2.C3.44.B5.C6.D 7.解：1)乙的平均成绩：73+80+82+83=79.5. 4 因为80.25>79.5，所以应选择甲. (2)甲的平均成绩：85×2+78×1+85×3+73X4 10 79.5(分)， 乙的平均成绩： 73×2+80×1+82×3+83×4 10 80.4(分). 因为79.580.4，所以应选择乙. 8.D9.D10.B11.A12.58 13.解：(1)洋洋该学期平时的数学平均成绩为× (106+102+115+109)=108(分). (2)洋洋该学期的数学总评成绩为108×10%十112× 30%+110×60%=10.8+33.6+66=110.4(分). 14,解：1)z=×[19+17+15+17)×5+(2+2+ 1)×(-2)]=82.5(分). 答：A,B,C,D四位同学成绩的平均分是82.5分 (2)①设E同学答对x题，答错y题.由题意，得 5x-258·解得7=12， x+y=13, y=1. 所以E同学答对12题，答错1题. ②C同学记错了，他实际答对14题，答错3题，未 答3题. 第2课时加权平均数的应用 1.D2.B3.884.3 5.解：(1)x甲= 83+79+90 3 =84(分)， x2=85+80+75=80(分). 3 80+90+73=81(分)， 3 ∴.从高到低确定三名应聘者的排名顺序为甲、 丙、乙. (2),该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低 于80分，80分，70分， .甲淘汰 .:xz′=85×60%+80×30%+75×10%= 82.5(分)， x丙′=80×60%+90×30%+73×10%= 82.3(分). 82.5>82.3, .乙将被录用 6.B7.B8.甲 9.解：(1)70×10%+80×40%+88×50%=83（分）. 所以李文同学的总成绩是83分， (2)80×10%+75×40%+50%·x>83,解得 x>90. 若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普 通话成绩应超过90分. 10.解：(1)民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度 数为(1一10%-70%)×360°=72°. (2)演讲答辩得分：(95+94+92+90+94)÷5= 93(分)， 民主测评得分：50×70%×2+50×20%×1=80（分）， 所以，小明的综合得分：93×0.4+80×0.6=85.2（分）， (3)设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意，得 82×0.6+0.4x≥85.2，解得x≥90. 答：小亮的演讲答辩得分至少要是90分. 11,解：(1)甲的最后成绩：86×5+93×3+73×2 10 85.5(分)， 乙的最后成绩： 81×5+95×3+79×2 10 =84.8(分). 因为85.5>84.8，所以甲将被录用. 15