函数图象的对称性复习讲义-2026届高三数学一轮复习

函数图象的对称性 课前学习任务 一、必备知识 1.奇函数、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. (2)若f(x+a)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称; 若f(x+a)是奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称. 2.一个函数图象的自身成轴对称 (1)函数f(x)的图象关于直线x=对称的充要条件是f(a+x)=f(b-x),其中x是f(x)定义域内的任意一个数. (2)函数f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x)⇔(2a+x)=f(-x),其中x是f(x)定义域内的任意一个数. 3.一个函数图象的自身成中心对称 (1)函数f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b,其中x是f(x)定义域内的任意一个数. (2)函数f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a-x)+f(x)=0⇔f(2a+x)+f(-x)=0,其中x是f(x)定义域内的任意一个数. 4.函数的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=f(x)的图象有两条对称轴,分别是直线x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a); (2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心,分别是点(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(b-a); (3)若函数y=f(x)的图象有一条对称轴直线x=a和一个对称中心点(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=4(b-a). 5.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称; (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称; (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. (4)若f(x)与g(x)关于直线x=a对称,则g(x)=f(2a-x); (5)若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称,则g(x)=2b-f(2a-x). 课堂核心考点 题型一 轴对称问题 1(1)(2024·湖南株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤0时,f(x)=x3,则f等于 (　　) 　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C. D.- (2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(x)在[2,+∞)内单调递减,则不等式f(-x2)>f(-1)的解集为　　　　.  [课堂笔记]      [对点训练1](1)(2024·陕西西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,若函数f(x+1)为偶函数,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为　　　　.  (2)已知函数f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在[-1,+∞)内单调递增,则关于x的不等式f(1-2x)<f(-7)的解集为(　　) A.(-∞,3) B.(3,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 题型二 中心对称问题 2.(1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.f(2x-1)为奇函数,则f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)的图象过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1的图象过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 (2)(2024·江苏南京模拟)已知函数y=f(x)满足f(-x)=f(2+x),其图象关于点(2,0)对称,f(2)=0,则f(18)=　　　　.  [对点训练2](1)已知定义域为R的函数f(x)在[1,+∞)内单调递减,且f(x+1)为奇函数,则使得不等式f(x2-x)<f(2-2x)成立的实数x的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且当x≥1时,f(x)=x2+mx+n,若f(-1)=-7,则3m+n等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.7 B.2 C.-2 D.- 题型三 两个函数图象的对称 3.已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称   [对点训练3]下列函数的图象与y=ex的图象关于直线x=1对称的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 答案解析 例1　(1)A　(2)(-1,1)　解析 (1)由函数f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2+x)=f(-x), 又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(-x)=f(x),可得函数f(x)的周期为4, 所以f=f-4=f=-f-=故选A. (2)∵f(x+2)是偶函数, ∴f(x)的图象关于直线x=2对称, 又f(x)在[2,+∞)内单调递减, ∴f(x)在(-∞,2]上单调递增. 又-x2,-1∈(-∞,2],f(-x2)>f(-1), ∴-x2>-1,即x2<1, ∴-1<x<1, ∴所求不等式的解集为(-1,1). 对点训练1　(1)(-1,3)　(2)A　解析 (1)因为f(x)定义域为R,且f(x+1)为偶函数,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(3)=0,则f(-1)=f(3)=0,因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,则f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,当x≤1时,由f(x)>0=f(-1)可得-1<x≤1;当x>1时,由f(x)>0=f(3)可得1<x<3.综上,不等式f(x)>0的解集为(-1,3). (2)因为f(x-1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称. 因为f(x)在[-1,+∞)内单调递增,所以f(x)在(-∞,-1]上单调递减. 因为f(1-2x)<f(-7)=f(5), 所以-7<1-2x<5, 解得x<3.故选A. 例2　(1)ABC　(2)0　解析 (1)对于A,f(x)==2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确; 对于B,因为f(2x-1)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(-2x-1), 所以f(x-1)=-f(-x-1),所以f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,B正确; 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)的图象过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1的图象过定点(1,2),C正确; 对于D,函数y==1+的图象关于点(3,c)中心对称,所以解得b=3,c=1,所以b+c=4,D错误. (2)因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(-x)=-f(4+x),又f(-x)=f(2+x),所以f(x+2)=-f(x+4),所以f(x)=-f(x+2)=-f(-x)=f(4+x),即f(x)=f(4+x),所以函数f(x)的一个周期为4,所以f(18)=f(2)=0. 对点训练2　(1)D　(2)C　解析 (1)因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称. 因为f(x)在[1,+∞)内单调递减,所以f(x)在R上单调递减. 因为f(x2-x)<f(2-2x),所以x2-x>2-2x,即x2+x-2>0,解得x<-2或x>1,所以x的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).故选D. (2)因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且当x≥1时,f(x)=x2+mx+n,若f(-1)=-7,则f(3)=-f(-1)=7;故f(3)=32+3m+n=7,即3m+n=-2.故选C. 例3　A　解析 设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上,而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.故选A. 对点训练3　C　解析 设P(x0,y0)是y=ex的图象上的任意一点,则y0=点P(x0,y0)关于直线x=1对称的点是Q(2-x0,y0).由y0=可得y0=,即点Q(2-x0,y0)在函数y=e2-x的图象上.由点P(x0,y0)的任意性知函数y=ex与y=e2-x的图象关于直线x=1对称. 学科网（北京）股份有限公司 $$