九下 2.5.4 三角形的内切圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.4 三角形的内切圆 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1.理解三角形内切圆的定义，会求三角形的内切圆的半径． 2.能用尺规作三角形的内切圆. 二、过程与方法  经历作一个三角形的内切圆的过程，培养学生的作图能力． 三、情感、态度与价值观  通过学生自己动手操作，培养学生学习的积极性和主动性. 教学重点、难点 教学重点：三角形内切圆的定义及有关计算. 教学难点：作三角形的内切圆及有关计算. 教学方法 通过实际问题，使学生认识学习三角形的内切圆的意义，可让学生动手操作，并围绕问题展开讨论，并适时引导求三角形内面积最大的圆的问题转化到这个圆与三角形的三边均相切的情况。 教学准备 多媒体课件 教学过程 1.新课导入 如图，已知△ABC，请作出△ABC的三条角平分线． 问：所作的三条角平分线是否相交于一点，这一点到三角形三边的距离是否相等，为什么？ 归纳：三角形三条角平分线交点到三边距离相等． 2.讲授新课 1.三角形内切圆的作法 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ 教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等． 学生思考下列问题： 圆心如何确定？ 学生回答： 【说明】分别作出∠B，∠C平分线BM和CN．设它们相交于点I，那么点I到三边的距离相等．以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则☉I与△ABC的三条边都相切． 2.三角形内切圆的相关概念 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 【说明】要将三角形的外心与内心区别开来，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上，而三角形的内心只能在三角形内部． 3.例题讲解 例1：如图，☉O是△ABC的内切圆，已知∠A=70°，求∠BOC的度数. 解：∵☉O是△ABC的内切圆， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB. ∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°， ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°. 例2：如图所示，已知☉O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则☉O的半径为________. 【解析】作OD⊥BC，OE⊥AB，连接OB，OC．由点O为内切圆的圆心，得∠ABO=∠CBO=∠BCO= 30°，所以OB=OC，点D为BC的中点，即BD=1．设OD=r，则OB=2r.根据勾股定理，得12+r2=(2r)2，解得r=（舍去负值）． 【说明】本题还可以利用Rt△BOD中的条件，用三角函数或解直角三角形来解决比较容易． 3.课堂小结 （1）知识内容小结：要点由学生共同来总结。 （2）学习方法小结： 等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质. 4.板书设计 教学设计反思 教学过程中，注重引导学生理解和掌握三角形的内切圆和内心的概念和性质， 并能进行灵活的运用．明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。 学科网（北京）股份有限公司 $$