九上 2.5 第1课时 平均变化率和销售问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.5 　一元二次方程的应用 第1课时 平均变化率和销售问题 1 学习目标 1.能运用一元二次方程解决变化率问题. 2.能运用一元二次方程解决利润问题. 3.掌握运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤. 4.提高学生分析、解决实际问题的能力. 导入新课 某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(该省每年产生的秸秆总量不变). 一元二次方程模型在数学和实际生活中有着广泛的应用. 分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是： 今年的使用率×(1+年平均增长率)²=后年的使用率. 若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(该省每年产生的秸秆总量不变). 解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程： 若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率. 40%(1+x)²=90%. 整理，得 (1+x)²=2.25. 解得 x₁=0.5=50%， x₂=﹣2.5(不合题意，舍去). 因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%. 知识讲解 知识点1 平均变化率问题 例1： 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率. 分析：问题中涉及的等量关系是： 原价×(1-平均每次降价的百分率)²=现行售价. 例1： 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率. 解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得 100(1-x)²=81. 整理，得 (1-x)²=0.81. 解得 x₁=0.1=10%， x₂=1.9(不合题意，舍去). 答：平均每次降价的百分率为10%. 说一说： 在例1中，为什么x=1.9不合题意呢？ 因为药品降价的百分率x＞1时，药品销售就亏本了.亏本的买卖，不到万不得已是不能做的. 从上面的例子可以看出，运用一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的两个根是否符合实际情况. 例2： 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%.若该商店计划从这批商品中获取400元利润(不计其他成本)，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 分析 本问题中涉及的等量关系是： (售价-进价)×销售量=利润. 知识点2 销售利润问题 例2： 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%.若该商店计划从这批商品中获取400元利润(不计其他成本)，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 解: 根据题意得 (x-21) (350-10x) =400. 整理，得 x²-56x+775=0. 整理，得 x²-56x+775=0. 解得 x₁=25， x₂=31. 又因为21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元， 所以x=31不合题意，应当舍去. 故x=25，从而卖出350-10x =350-10×25=100(件). 答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价25元. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 分析数量关系 设未知数 一元二次方程的根 实际问题的解 课堂总结 1. 用一元二次方程解决变化率问题所涉及的等量关系是什么？ 若a为起始量，b为终止量，经过两次增长或降低，x为平均增长率(或降低率)，则有 经过两次增长：a(1+x)²=b; 经过两次降低：a(1-x)²=b. 2. 用一元二次方程解决利润问题涉及的等量关系有哪些？ ① 利润=售价-进价； ② 利润=进价×利润率； ③ 总利润=单件利润×销售量. 3. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 分析数量关系 设未知数 一元二次方程的根 实际问题的解 随 堂 小 测 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 B 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8万 元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 3. 某村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. 根据题意，得 7200(1 + x)2 = 8712. 解得 x1= -1.1(不符合题意，舍去)，x2 = 0.1 = 10%，答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%. 4. 某商场销售某种冰箱，每台进价为 2500 元.市场调研表明:当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当售价每降低 50 元时，平均每天能多售出 4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润×平均每天销售的数量 = 5000元. 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 整理，得 x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程，得x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为 2750 元. 5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫降价 x 元， 根据题意得(40 - x)(20 + 2x) = 1200. 整理得x2 - 30x + 200 = 0. 解方程得x1 = 10，x2 = 20. 因为要尽快减少库存，所以 x = 10 舍去. 答：每件衬衫应降价 20 元. 小结 增长率问题 二元一次方程的应用 销售利润问题 降低率问题 a(1+x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 a(1-x)2 = b,其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$