九上 2.4 一元二次方程根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第2章 一元二次方程 2.4 　一元二次方程根与系数的关系 1 学习目标 1.了解一元二次方程根与系数的关系. （重点） 2.通过探究、推导掌握一元二次方程根与系数的关系. 3.能运用根与系数的关系求两根之和或积的相关问题. 新知导入 1. 当b²-4ac＞0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根是什么？ 2. 当b²-4ac＝0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根是什么？ x1=x2=- . 3. 若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，那么多项式ax²+bx+c可以因式分解为ax²+bx+c= . a(x-x₁)(x-x₂) 4.在b²-4ac≥0的条件下，你发现一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根与系数有什么关系？ 一元二次方程ax²+bx+c=0的根由它的系数a，b，c决定. 一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数还有什么关系呢？ (1)先解方程，再填表： 方 程 x₁ x₂ x₁ +x₂ x₁ ·x₂ 0 2 由上表猜测：若方程x²+bx+c=0的两个根为x₁，x₂，则 x₁+x₂= ， x₁·x₂= . -b c 2 0 -4 1 -3 -4 -1 6 5 -6 知识讲解 知识点 一元二次方程根与系数的关系 (2)方程x²-5x+6=0的两个根为x₁ = ， x₂= . 根据“温故知新”的第3题或2.2节例8下面的一段话，得 x²-5x+6=(x- )(x- ). (3)设方程x²-11x+30=0的两个根为x₁ ， x₂，根据(1)的猜测，可得x₁+x₂= ， x₁·x₂= .而将x²-11x+30=0的左边因式分解，可得x²-11x+30=(x- )(x- ). -1 6 (-1) 6 11 30 11 30 对于方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，当∆≥0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 当∆≥0时，设ax²+bx+c=0 (a≠0)的两个根为x₁，x₂，则 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) =a[(x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂]. ax²+bx+c=. 又 所以 =a[(x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂]. 根据多项式相等的规定：两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数相等，那么称这两个多项式相等.可得 =a[(x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂]. =-(x₁+x₂)， =x₁x₂. 由此，我们得到下面的结论： x₁+x₂=- x₁x₂=. 这个关系通常被称为韦达定理. 这表明，当∆≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. x₁+x₂=- x₁x₂=. 例1：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x₁，x₂的和与积: (1)2x²-3x+1=0； (2)x²-3x+2=10； (3)7x²-5=x+8. 解: (1)x₁+x₂ x₁x₂= (2)x²-3x+2=10. 整理，得x²-3x-8=0.则 先将方程化成一般形式，再求两根的和与积. x₁+x₂= . x₁x₂= . (-3)=3 -8 (3)7x²-5=x+8. 整理，得 . 7x²-x-13=0 x₁+x₂= ， x₁x₂= . 所以 例2： 已知关于x的方程x²+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值. 分析：由“两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数”，可知方程x²+3x+q=0两根之和是-3，又已知x²+3x+q=0的一个根为-3，则可求出另一根；根据“两根之积等于常数项与二次项系数的比”，即可求出q的值. 解 ：设x²+3x+q=0的一个根为x₂，则 (-3)+ x₂=-3. 解得 x₂=0. 由根与系数的关系得 q=(-3) ×0=0. 因此，另一个方程的根是0，q的值为0. 还可用其他方法求出q的值吗？ 我们还可以把方程的一个根-3代入方程x²+3x+q=0，也能求出q的值. 随 堂 小 测 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 = 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值. 解：(1)根据根与系数的关系，得 ∴(x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. (2)∵ k = -7，∴ 则 5.设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 解：由根与系数的关系，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = （2） 6.已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0. （1）若x=-1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根； （2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由. 小结 内容 一元二次方程根与系数的关系 应用 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1，x2，那么 …… 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$