13.1　勾股定理及其逆定理　同步练习　2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第2课时　勾股定理的简单应用 勾股定理的简单应用 1.(数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“秋千静止的时候,踏板离地1尺,将它往前推送两步(两步=10尺)时,此时踏板升高离地5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长?”若设秋千绳索长为x尺,则可列方程为 (　　) A.x2+102=(x+1)2 B.x2=102+(x+4)2 C.x2+102=(x-4)2 D.x2=102+(x-4)2 2.如图,小渡家在B地,他计划周末骑自行车去公园A地游玩,且AB=1 700 m,C地有一处凉亭,且AC⊥BC,若AC=800 m,则小渡家到凉亭的直线距离为多少米? 1.(新情境)某超市为了吸引顾客,在超市门口离地高4.5 m的墙上,装有一个由传感器控制的门铃A,如图1所示.人只要移至该门铃5 m及5 m以内时,即AC≤5 m,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”,如图2所示.一个身高1.5 m的学生走到D处,即CD=1.5 m,门铃恰好自动响起,则BD的长为 (　　) A.3 m B.4 m C.5 m D.7 m 2.如图是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯,水杯底面直径为10 cm,高度为12 cm,吸管长为25 cm(底端在杯子底上),露在水杯外面的吸管长度为a cm,则a的最小值为 (　　) A.11 B.12 C.13 D.14 3.(应用意识)为了积极宣传创建文明城市思想,某区政府采用了移动车进行广播,如图,小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处,小明家到公路MN的距离AB为600 m,假使广播车P周围1 000 m以内能听到广播宣传,广播车P以250 m/min的速度在公路MN上沿PN方向行驶时,假如小明此时在家,他是否能听到广播宣传?若能,请求出他共能听到多长时间的广播宣传;若不能,请说明理由. 【详解答案】 基础达标 1.D 2.解:在Rt△ABC中,AB=1 700 m,AC=800 m, ∴BC==1 500(m). 答:小渡家到凉亭的直线距离为1 500 m. 能力提升 1.B　解析:由题意可知,BD=CE,BE=CD=1.5 m,AC=5 m,则AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m). 在Rt△ACE中,由勾股定理,得CE==4(m), ∴BD=CE=4 m. 即门铃恰好自动响起,则BD的长为4 m. 故选B. 2.B　解析:由题意可知,当吸管如图所示放置时,露在水杯外面的吸管长度最短, ∵水杯底面直径为10 cm,高度为12 cm, ∴AC=5 cm,BC=12 cm. ∴AB==13 cm. ∴露在水杯外面的吸管长度=25-13=12(cm), 即a的最小值为12. 故选B. 3.解:小明能听到广播宣传. ∵小明家A到公路MN的距离为600 m<1 000 m, ∴小明能听到广播宣传. 如图,假设当广播车行驶到点P小明开始听到广播宣传,行驶到点Q小明听不到广播宣传, 则AP=AQ=1 000 m,AB=600 m, ∴BP=BQ==800(m). ∴PQ=1 600 m. ∴小明听到广播宣传的时间为1 600÷250=6.4(min), 故他共能听到6.4 min的广播宣传. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.直角三角形的判定 勾股定理的逆定理 1.(2025达州期末)下列条件中能判定△ABC为直角三角形的是 (　　) A.a=2,b=3,c=4 B.a=3,b=4,c=5 C.a=3,b=5,c=7 D.a=4,b=5,c=6 2.如图,在边长为1个单位长度的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 (　　) A.AB、CD、EF B.CD、EF、GH C.AB、EF、GH D.AB、CD、GH 3.下列条件中,不能够判断一个三角形是直角三角形的是 (　　) A.∠A=∠B+∠C B.a2∶b2∶c2=5∶12∶13 C.a∶b∶c=5∶12∶13 D.a=5,b=12,c=13 4.如图,△ABC内部有一点D,且∠ADC=90°,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3. (1)判断△ABC的形状; (2)求四边形ABCD的面积. 勾股数 5.(数学文化)我国是最早了解勾股定理的国家,它被记载于我国著名的《周髀算经》中,下列各组数中,是“勾股数”的是 (　　) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 6.如果m表示大于1的整数,设a=2m,b=m2-1,c=2m2+2m,d=m2+1,其中任选三个数能构成勾股数的为 (　　) A.a、b、c B.a、b、d C.a、c、d D.b、c、d 1.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将探究勾股数的过程列成表格,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为 (　　) a 3 8 15 24 … x b 4 6 8 10 … 16 c 5 10 17 26 … y A.67 B.98 C.128 D.73 2.如图,某海域有相距10 n mile的两个小岛A和C,甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8 n mile到达B岛,然后再从B岛走了6 n mile到达C岛,此时甲船位于B岛的 (　　) A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 3.若5,a,12是一组勾股数,则a的值为 (　　) A.13 B. C.或13 D.11 4.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,则△ABC的面积为　　　　.  5.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　　　　°(点A、B、P是网格线的交点).  6.(新定义试题)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.若正整数a、n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个整数a、n、n+1(如:3,4,5或5,12,13)我们称它们为一组“完美勾股数”,当n<115时,共有 　　　　组这样的“完美勾股数”.  7.如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,AD⊥AB交BC的延长线于点D. (1)求证:AC⊥BD; (2)求线段AD的长. 8.(五育文化)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八年级(1)班、八年级(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地. (1)当班主任测量出八年级(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,小明很快就给出这块试验基地的面积,请你写出求解过程; (2)如图所示,八年级(2)班的劳动实验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m,请帮助他们求出该实验基地的面积. 9.(推理能力)如图,M是等边三角形ABC内的一点,连结AM、BM、CM,以BM为边作∠MBN=60°,且BN=BM,连结CN. (1)猜想AM与CN之间的数量关系,并说明理由. (2)若AM∶BM∶CM=3∶4∶5,连结MN,试判断△MNC的形状,并说明理由. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.C　3.B 4.解:(1)∵∠ADC=90°,AD=4,CD=3,∴根据勾股定理,得AC2=AD2+CD2=42+32=25, ∵AB=13,BC=12, AC2+BC2=25+122=169,AB2=132=169, ∴AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形. (2)四边形ABCD的面积为 S△ABC-S△ACD=×5×12-×3×4=24. 5.C　6.B　 能力提升 1.C　解析:由表格可知c=a+2, ∴y=x+2. ∵x、16、y是勾股数, ∴x2+162=y2,即x2+162=(x+2)2. 解得x=63. ∴y=63+2=65. ∴x+y=63+65=128. 故选C. 2.B　解析:如图,由题意,得∠DAB=70°,AB=8 n mile,BC=6 n mile,AC=10 n mile,∵AB2+BC2=82+62=100,AC2=102= 100,∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形.∴∠ABC=90°.∵AD∥BE,∴∠ABE=180°-∠DAB=110°.∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=20°. ∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上.故选B. 3.A　解析:分两种情况讨论: ①a为最长边,a==13,13是正整数,符合题意; ②12为最长边,a=,不是整数,不能构成勾股数,不符合题意. 故选A. 4.30　解析:∵AB2=BC2+AC2, ∴△ABC是直角三角形. ∴∠C=90°. ∴S△ABC=×12×5=30. 5.45　解析:如图,延长AP交格点于D,连结BD, 则PD2=BD2=12+22=5, PB2=12+32=10, ∴PD2+BD2=5+5=10=PB2. ∴∠PDB=90°. ∵PD=BD, ∴∠DPB=∠DBP=(180°-90°) ÷2=45°. ∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°. 6.7　解析:∵n<115,a2=(n+1)2-n2=2n+1, ∴a2<2×115+1=231. 大于3且小于231的非偶数完全平方数有9,25,49,81,121,169,225,一共7个. ∴共有7组这样的“完美勾股数”. 7.(1)证明:在△ABC中, ∵BC2+AC2=82+62=100=102=AB2, ∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°. ∴AC⊥BD. (2)解:设CD=x,在△ABD中, ∵AB⊥AD, ∴∠BAD=90°. ∴AD2=BD2-AB2=(8+x)2-102. ∵在△ADC中,∠ACD=90°, ∴AD2=AC2+CD2=62+x2. ∴(8+x)2-102=62+x2,即64+16x-100=36.解得x=. ∴AD==. 8.解:(1)∵52+122=25+144=169,132=169, ∴52+122=132. ∴这个三角形是直角三角形. ∴三角形的面积为×5×12=30(m2). (2)如图,过点A作AD⊥BC于点D, 设BD=x m,则CD=(14-x)m, 在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2, 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2, ∴AB2-BD2=AC2-CD2,即152-x2=132-(14-x)2. 解得x=9, 在Rt△ABD中,由勾股定理,得 AD==12(m), ∴S△ABC=×14×12=84(m2). ∴该实验基地的面积为84 m2. 9.解:(1)猜想:AM=CN.理由如下: ∵∠ABC=∠MBN=60°, ∴∠ABM=∠ABC-∠MBC=∠MBN-∠MBC=∠CBN. 在△ABM和△CBN中, ∴△ABM≌△CBN(SAS). ∴AM=CN. (2)△MNC是直角三角形.理由如下: ∵AM∶BM∶CM=3∶4∶5, ∴设AM=3k=CN,BM=4k,CM=5k(k>0). ∵BM=BN,∠MBN=60°, ∴△MBN是等边三角形. ∴MN=BM=4k. ∵MN2+CN2=16k2+9k2=25k2=CM2, ∴△MNC是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1　勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 第1课时　勾股定理及其证明 勾股定理 1.(2025白银期中)在△ABC中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是 (　　) A.BC2=AB2+AC2 B.AB2=AC2+BC2 C.AB2=BC2-AC2 D.AC2=BC2-AB2 2.(2025无锡期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=4,则AB2-BC2等于 (　　) A.4 B.16 C.20 D.25 3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,AD=4,AD平分∠BAC,BC的长为　　　　　.  4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.在边BC上有一点P,连结AP,且PA=PB,若AC=2,CB=5,求PA的长. 勾股定理的验证 5.(数学文化)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1,图2中空白部分的面积为S2,则下列等式成立的是 (　　) A.S2=c2 B.S2=c2+ab C.S1=a2+b2+ab D.S1=a2+b2+2ab 6.如图1的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形. (1)请在图2中用图1的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形ABCD; (2)如果图1中的直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,请你利用图2拼成的图形证明勾股定理. 1.如图,把一块含45°角的三角板放入2×4的小正方形网格中,三角板三个顶点均在格点上,直角顶点与数轴上表示-1的点重合,则数轴上点A所表示的数为 (　　) A. B.1.8 C.-1+ D. 2.如图,分别以Rt△ABC的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为S1、S2、S3.若S3+S2-S1=20,则图中阴影部分的面积为 (　　) A.5 B.10 C.15 D.20 3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连结CD.若△ABC的周长为12,BC=3,则△BCD的周长为 (　　) A.12 B.10 C.8 D.6 4.(易错题)有一个直角三角形两边长为4和5,则第三边长为 (　　) A.3 B. C.3或 D.3或 5.如图,正方形ABCD由4个全等的直角三角形构成,正方形ABCD的面积为49 cm2,若AF=4 cm,则正方形EFGH的面积是　　　　cm2.  6.(数学文化)【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为b,较短直角边长为a,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为　　　　.  【探究】同学们在探索过程中发现,当把“赵爽弦图”里的4个全等的直角三角形适当拼合,可以得到如图2的图形,设直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,利用这个图形验证勾股定理. 【拓展】图1“赵爽弦图”中,若b=6,a=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3所示的“数学风车”,直接写出这个风车的外围(实线)周长. 7.(几何直观)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以 1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当△ABP为直角三角形时,求t的值. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.B　3.6 4.解:设PA=x=PB,可得CP=5-x, 根据勾股定理,可得AC2+CP2=PA2, ∴22+(5-x)2=x2. ∴x=. ∴PA的长为. 5.C 6.(1)解:如图. (2)证明:∵S正方形ABCD=(a+b)2,S正方形ABCD=4×ab+c2, ∴(a+b)2=4×ab+c2. ∴a2+b2=c2. 能力提升 1.C　解析:如图, 由题意可知,BA=BC,∠BDC=90°,BD=CD=2, ∴BC=. ∴BA=. ∴DA=BA-BD=-2. ∴数轴上点A所表示的数为-2+1=-1+. 故选C. 2.A　解析:∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形, ∴AC2-AB2=BC2. ∴S3-S1=S2. ∵S3+S2-S1=20, ∴S2=10. ∴阴影部分的面积为S2=5. 故选A. 3.C　解析:设AB=x, ∵△ABC的周长为12, ∴AB+AC+BC=12. ∵BC=3,∴AB+AC=9. ∴AC=9-x. 由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,即x2=(9-x)2+32, 解得x=5,即AB=5. ∵DE是AC的垂直平分线, ∴AD=CD. ∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=3+5=8. 故选C. 4.D　解析:当5是直角边时,则第三边=; 当5是斜边时,则第三边==3. 综上所述,第三边的长是或3. 故选D. 5.25　解析:∵正方形ABCD的面积为49 cm2,∴AB=7 cm.∵AF=4 cm,∴BF=3 cm.由勾股定理可知,FG=5 cm,则正方形EFGH的面积是25 cm2. 6.解:【感知】 5 【探究】 c2+2×ab=c2+ab, a2+b2+2×ab=a2+b2+ab, ∴c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2. 【拓展】 这个风车的外围周长是76. 解法提示:如图,由题意知,外延的4部分全等,且AD=AC=6, ∴CD=12. ∴BD==13. ∴这个风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76. 7.解:在Rt△ABC中, 由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=52-32=16, ∴BC=4 cm. 根据题意,得BP=t cm. ①如图1,当∠BAP为直角时, BP=t cm.CP=(t-4) cm,AC=3 cm, 在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2, 在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2, ∴52+32+(t-4)2=t2. 解得t=; ②如图2,当∠APB为直角时, 图2 此时点P与点C重合, BP=BC=4 cm,∴t=4. ∴当△ABP为直角三角形时,t=4或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.反证法 反证法及步骤 1.命题“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,用反证法证明时,最终推出与 　　　　矛盾 (　　)  A.两点确定一条直线 B.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.垂直的定义 2.请阅读以下关于解答“在△ABC中,AB=AC,求证:∠ABC<90°”的过程: 证明:假设∠ABC≥90°. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB≥90°. ∴∠ABC+∠ACB≥180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾. ∴假设不成立. ∴∠ABC<90°. 这种证明方法是 (　　) A.综合法 B.反证法 C.枚举法 D.归纳法 3.如图,已知直线a∥c,b∥c. 求证:a∥b. 1.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角(∠A、∠B、∠C)中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号为 (　　) A.③②① B.①③② C.②③①　 D.③①② 2.牛顿曾说:“反证法是数学家最精良的武器之一”.用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设 (　　) A.∠A=60° B.∠A<60° C.∠A≠60° D.∠A≤60° 3.某个命题的结论为“x、y、z三个数中至少有一个数为正数”,现用反证法证明,假设正确的是 (　　) A.假设三个数都是正数 B.假设三个数都为非正数 C.假设三个数至多有一个为负数 D.假设三个数中至多有两个为非正数 4.(推理能力)用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角. 求证:∠ACD=∠A+∠B. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.B 3.证明:如图,假设直线a与b相交于点M, 则过点M有两条直线平行于直线c, 这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾, ∴a∥b. 能力提升 1.D　解析:反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: 假设三角形的三个内角(∠A、∠B、∠C)中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°; 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,∠A=∠B=90°不成立; 所以一个三角形中不能有两个直角.故选D. 2.D　解析:∠A与60°的大小关系有∠A>60°,∠A=60°,∠A<60°三种情况, ∴∠A>60°的反面是∠A≤60°. ∴用反证法证明“∠A>60°”时,应先假设∠A≤60°. 故选D. 3.B　解析:反证法证明“x、y、z三个数中至少有一个数为正数”,先假设三个数都为非正数. 故选B. 4.证明:假设∠ACD≠∠A+∠B. ∴∠ACD≠180°-∠ACB. 又∵∠ACD+∠ACB=180°, 即∠ACD=180°-∠ACB, ∴假设不成立. ∴原命题成立,即∠ACD=∠A+∠B. 学科网（北京）股份有限公司 $$