专题5 全等三角形的基本模型&专题6 构造全等三角形的常用辅助线-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（华东师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P19]专题5 全等三角形的基本模型 类型③平移模型 模型展示 A D A D A D B E C F B CE) F B CE F 证明三角形全等的关键： (1)加(减)共线部分得到相等线段； (2)利用平行线性质找对应角相等. 1 如图，点E、C在BF上，BE=CF,AB=DE,∠B= ∠DEF.写出AC与DF的关系并证明. A D B E C F 1题图 类型②对称模型 模型展示 D D B A< 0 C D A C D/ EE 0 B A C A B B C 证明三角形全等的关键： (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角 相等； (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等 条件得对应边相等. 2 如图，已知∠AEF=∠DEC,AE=DE,∠C=∠F. 求证：△AEC≌△DEF. A F E C D 2题图 50 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩成 类型③旋转模型 模 型展示) 4 A A B >E C D C B F E F B C E ? ? 证明明三角形全等的关键： (1)共顶点：加(减)共顶点的角的共角部分得一组) 对应角相等； (2)不共顶点：①加(减)共线部分CF得BC=EF; ②利用平行线性质找对应角相等. 3 如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB= AE,∠E=∠B,EF=BC,∠EAC=100°,∠BAF= 10°,则∠EAB的度数为 ( ) A E D/ BF C 3题图 A.60° B.40° C.45° D.30° 4 如图，在□ABCD的边AB、CD上截取线段AF、 CE,使AF=CE,连结EF,M、N是线段EF上的 两点，且EM=FN,连结AN、CM.求证：AN//CM. D E C W M A F B 4题图 第12章 全等三角形 类型④手拉手模型 类型⑤ 一线三等角模型 模型展示) D 0 o C C D A- B A B 双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等 (1)AC=BD; (2)△AOC≌△BOD(SAS). 5如图，已知AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,AE, 连结DC、BE. (1)求证：△BAE≌△DAC; (2)若∠CAD=125°,∠D=20°,求∠E的度数.数. D A E B C 5题图 6 如图，∠BAE = ∠CAF=90°,EC、BF相交于点 M,AE=AB,AC=AF. (1)求证：EC=BF,EC⊥BF; (2)若∠BAE=∠CAF=m(m≠90),其他条件不件不 变，则(1)中的结论还成立吗?请说明理由. F E A M B C 6题图 模型展示) 通过“三等角”信息得到一组相等的角，另找一条边 相等，即可证全等. 7如图，在△ABC中，AB=AC=9,∠B=∠C,点E 在边AC上，点D在边BC上，且AD=DE,若 ∠ADE=∠B,CD=3BD,求CE的长. A E B D C 7题图 8(1)如图①,在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC, 直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m, 垂足分别为点D、E.求证：DE=BD+CE; (2)如图②,将(1)中的条件改为在△ABC中， AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意 钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若 成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. C C B B □ D A E m D A E m 8题图① 8题图② 见此 图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 51 同步练测·八年级数学·上册·华师版 [答案 P20]专题6 构造全等三角形的常用辅助线 类型①“倍长中线法”构造全等三角形 ① 如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线， AB=5,AC=3,求AD的取值范围. A B← D C 1题图 2如图，在△ABC中，点E、D在BC边上，CD=AB, ∠BAD=∠BDA,E是BD的中点.求证：∠C= ∠BAE. A B E D C 2题图 3 如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD上一点， 且BE=AC.求证：∠BED=∠DAC. A E B4 D C 3题图 52 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩成绩 类型②“截长补短法”构造全等三角形 4 如图，已知四边形ABCD中，AD//BC,若∠DAB 的平分线AE交CD于点E,连结BE,且BE恰好 平分∠ABC,则AB的长与AD+BC长度的大小 关系是 ( ) B A C E D 4题图 A.AB>AD+BC B.AB<AD+BC C.AB=AD+BC D.无法确定 5 如图，在△ABC中，∠A=60°,BD、CE分别平分 ∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点0,试判断BE、 CD、BC的数量关系，并加以证明. A E 0 D B C 5题图 6 如图，已知在△ABC中，∠B=60°,△ABC的角 平分线AD、CE相交于点0.求证：AE+CD=AC. A E 0 B D C 6题图 参考答案及解析 ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴CF=EB. (2)∵Rt△CDF≌Rt△EDB,∴∠CBA=∠CFD. ∵∠AFD+∠CFD=180°, ∴∠CBA+∠AFD=180°. 7.(1)证明：∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, ∴AD=AE,∠DAE=60°. ∵∠BAC=60°,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS),.. BD=CE. (2)解：小颖的结论正确.证明如下： 由(1)得∠ABD=∠ACE. 又∵∠AGB=∠CGF,∴∠BFC=∠BAC=60°, ∴∠BFE=120°. 如答图，过点A作BD、CF的垂线段分别交于点M、N. ∵△ABD≌△ACE,BD=CE, ∴由面积相等可得AM=AN. 在Rt△AFM和Rt△AFN中，AM=AN ∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL). ∴∠AFM=∠AFN, ∴∠BFC=∠AFB=∠AFE=60°. A N G E M B D c 7题答图 专题5 全等三角形的基本模型 1.解：AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. 证明：∵BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中，0-2 ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC//DF, ∴AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. 2.证明：∵∠AEF=∠DEC, ∴∠AEF+∠FEC=∠DEC+∠FEC,即∠AEC=∠DEF. 在△AEC和△DEF中， ∴△AEC≌△DEF(AAS). 3.C [解析]在△AEF和△ABC中，n,∴△AEF≌ △ABC(SAS),∴ ∠EAF= ∠BAC,∴ ∠EAF-∠BAF= ∠BAC-∠BAF,即∠EAB=∠CAF.∵∠EAC=100°,∠BAF =10°,: ∠EAB=∠EAC-∠BAF=45°..故选C. 4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD,∴. ∠AFN=∠CEM. 在△AFN和△CEM中，sc ∴△AFN≌△CEM(SAS),∴∠ANF=∠CME,∴AN//CM. 5.(1)证明：因为∠DAB= ∠CAE,所以∠DAB+∠BAC= ∠CAE+∠BAC,所以∠DAC=∠BAE. 又因为AD=AB,AC=AE,所以△BAE≌△DAC(SAS). (2)解：因为△BAE≌△DAC,所以∠E=∠C. 因为∠CAD=125°,∠D=20°,所以∠C=180°-(∠CAD+ ∠D)=180°-(125°+20°)=35°,所以∠E=∠C=35°. 6.(1)证明：∵∠BAE=∠CAF=90°,∴∠EAC=∠BAF. 在△CAE和△FAB中，e, z ∴△CAE≌△FAB(SAS),∴EC=BF. 设AC与BF交于点0, ∵△CAE≌△FAB,∴. ∠AFO=∠OCM, 又∵∠A0F=∠COM,∠CAF=90°, ∴∠OMC=∠CAF=90°,∴EC⊥BF. (2)解：(1)中的结论EC=BF成立，结论EC⊥BF不成立. 理由如下： ∵∠BAE=∠CAF=m°,∴∠EAC=∠BAF. 在△CAE和△FAB中，2, zu ∴△CAE≌△FAB(SAS),∴EC=BF, ∴结论EC=BF成立. 设AC与BF交于点N. 由△CAE≌△FAB,得∠AFN=∠MCN. 又∵∠ANF=∠CNM,∠CAF=m°, ∴∠CMN=∠CAF=m≠90°,∴结论EC⊥BF不成立. 7.解：∵∠ADE=∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB, ∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB, ∴∠BAD=∠CDE. 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(AAS),∴CD=AB=9,BD=CE. ∵CD=3BD,∴.CE=BD=3. 8.(1)证明：∵ BD⊥直线m,CE⊥直线m, ∴∠BDA=∠CEA=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°. ∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中，12 ∴△ADB≌△CEA(AAS),∴ BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：成立.证明如下： ∵∠BDA=∠BAC=α, ·19· 同步练测·八年级数学·上册·华师版 ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α, ∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中，m; 2 ∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. 专题6 构造全等三角形的常用辅助线 1.解：如答图，延长AD到点E,使DE=AD,连结CE. ∵AD为BC边上的中线， ∴BD=CD. 在△ABD和△ECD中， , be ∴△ABD≌△ECD(SAS), ∴AB=EC=5. A B D C E 1题答图 在△ACE中，由三边关系定理可知EC-AC<AE<EC+AC. ∵AE=2AD,∴5-3<2AD<5+3,∴1<AD<4. X点拨⋯-⋯ 把中线AD加倍延长至点E,可以构造△ABD≌△ECD, 可得AB=EC.在△ACE中，利用三边关系定理便可确定 AE的取值范围，从而确定AD的取值范围. 2.证明：如答图，延长AE至点F,使EF=AE,连结DF. ∵E为BD的中点，∴BE=DE. A 又∵∠BEA=∠DEF,AE=FE, ∴△ABE≌△FDE, ∴AB=FD,∠B=∠BDF, B? E D C ∠BAE=∠F. ∵CD=AB,∴DF=DC. ∵∠ADC=∠B+∠BAD, F 2题答图 ∠ADF=∠BDA+∠BDF,∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF, ∴∠ADC=∠ADF. 又∵DF=DC,AD=AD, ∴△ADF≌△ADC,∴ ∠C=∠F. 又∵∠BAE=∠F,∴∠C=∠BAE. 3.证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BG1 AD,交AD的延长线于点G, ∴∠G=∠CFD=90°. A ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD. E 又∵∠BDG=∠CDF, F ∴△BDG≌△CDF, B D C∴BG=CF. G 在Rt△BGE和 Rt△CFA中， 3题答图 LBE=c∴Rt△BGE≌Rt△CFA(HL). ∴∠BED=∠DAC. 4.C [解析]补短法：如答图①,延长AE交BC延长线于点 F.因为AD//CB,所以∠CBA+∠BAD=180°.因为BE平分 ∠CBA,AE平分∠BAD,所以∠EBA+∠BAE=90°,所以 ∠BEA=180°-90°=90°,所以BE⊥AF. 在△ABE和△FBE中， 所以△ABE≌△FBE(ASA),所以BA=BF,AE=FE.因为 AD//CB,所以∠EAD=∠F. 在△ADE和△FCE中， 所以△ADE≌△FCE(ASA),所以AD=CF,所以AB=BC+ CF=BC+AD.故选C. B A C E D F 4题答图① B F A 321 C E D 4题答图② 截长法：如答图②,在AB上截取AF=AD,连结EF.因为 AD//BC,所以∠ABC+∠DAB=180°.又因为BE平分 ∠ABC,AE平分∠DAB,所以∠ABE+∠EAB=2(∠ABC+ ∠DAB)=90°,所以∠AEB=90°,即∠2+∠4=90°. 在△ADE和△AFE中，E,所以△ADE≌ △AFE(SAS),所以∠1=∠2. 又因为∠2+∠4=90°,所以∠1+∠3=90°, 所以∠3=∠4. 在△BCE和△BFE中， 所以△BCE≌△BFE(ASA),所以BC=BF,所以AB=AF+ BF=AD+BC.故选C. 5.解：BC=BE+CD. 证明：在BC上取一点G,使CG=CD,连结OG. A ∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE. E 0 D ∵∠A=60°, ∴∠ABC+∠ACB=120°, B G C ∴∠OBC+∠OCB=60°, 5题答图 ∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°. 在△CDO和△CGO中， ∴△CDO≌△CGO(SAS),∴∠COD=∠COG=60°, ∴∠BOG=180°-∠BOE-∠COG=60°, ∴∠EOB=∠GOB. 在△BOE和△BOG中，- ∴△BOE≌△BOG(ASA),∴ BE=BG, ∴BC=BG+CG=BE+CD. ·20· 参考答案及解析 6.证明：如答图，在AC上取点F,使AF=AE,连结OF. ∴△AEO≌△AFO(SAS), ∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO. A FE 0 B D C 在△AEO和△AFO中， 5- ∴∠AOE=∠AOF. 6题答图 ∵CE平分∠ACB,∴∠ECA=∠ECB, ∠OAC+∠OCA=—(∠BAC+∠ACB) =—(180°=∠B)=60°. ∵∠AOE是△AOC的外角， ∴∠AOE=∠OAC+∠OCA, ∴∠AOE=∠AOF=60°. ∵∠AOE=∠COD,∴∠COF=∠COD=60°. 在△CFO和△CDO中，- ∴△CFO≌△CDO(ASA),∴CF=CD. ∵AF+CF=AC,∴.AE+CD=AC. 《点拨--------------------- 解题的关键是采用截长的方法构造全等三角形. 利用“SAS”直接证明两个三角形全等，由∠B=60°和 两条内角平分线的条件可以得到∠AOE =∠AOF= ∠COF=∠COD=60°,再证明△CFO≌△CDO,然后等 量代换可得结论. 12.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 课时1 等腰三角形的性质 【基础巩固练】 1.C 2.5 3.B 4.B 5.解：设∠B=x.∵AB=AC,∴∠C=x. ∵AC=CD,∴ ∠CAD=∠CDA. ∵AD=BD,∴ ∠BAD=∠B=x. 由三角形的外角性质，得∠CDA=∠B+∠BAD=2x, ∴∠CAD=2x. 在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=180°, ∴x+2x+2x=180°,解得x=36°, ∴∠B=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°, ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°. 6.C 7.B 8.(1)证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF. (2)解：连结AD.由(1)可知AD平分∠BAC. 由“AAS”可证△ABD≌△ACD,∴ AB=AC, ∴AD⊥BC,∴ ∠BAD+∠B=∠BDE+∠B=90°, ∴∠BAD=∠BDE=38°, ∴∠BAC=2∠BAD=76°. 9.C [解析]∵AB=AC,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.∵分别以点A和点B为 圆心,大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点， 作直线MN交BC于点D,连结AD,∴DM是线段AB的垂直 平分线，∴DA= DB,∴∠BAD= ∠B=50°,∴∠DAC= ∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°.故选C. 10.解：如答图，第一步：分别以点A和点B为圆心，大于-AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于D、E两点. 第二步：过D、E两点作直线PQ交AB于点Q. PQ就是所要求作的斜边AB的垂直平分线. P| C DX A Q B E个 10题答图 11.分别以点A、B为圆心，以大于2ABI的长为半径所画两弧 12.解：如答图，线段CD即所求. C A D B 12题答图 【能力提升练】 1.D 2.C [解析]∵ BD=BA,BP是∠ABC的平分线，∴ AP=PD, ∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP 是等底同高的三角形，∴S△ABP=S△DBP,S△ACp=S△DCP· ∵S△ABC=S△ABP+S△DBP+S△AcP+S△DcP,S△BPC=S△DBP+ S△Dcp,∴S△BPC=2S△ABC=2×9=4.5..故选C. 3.D [解析]由作图可知∠DAE=∠DAB,∠DEA=∠B= 90°.∵AD=AD,△ADE≌△ADB,∴DB= DE,AB=AE. ∵∠AED+ ∠B = 180°,∴ ∠BAC+ ∠BDE = 180°. ∵∠EDC+∠BDE=180°,∴∠EDC=∠BAC,故A、B、C正 确，故选D. 4.180°-2a 5.10 [解析]∵∠BAC=80°,A?B=AB,∠BA?A=∠BAC= 80°.:A,A2=A?B?,∠A?A?B?=∠A?B?A?=—∠BA?A =2×80°=40°: AzAs=A?B?,∠A?4?B?= ∠A?B?A? =∠A?A2B?=2×40°= 20°.AA=A?B?, ∠4?4?B?=∠4?B?4=2∠A24?B?=2×20°=10° 故答案为10. ·21·