12.3　等腰三角形同步练习 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

12.3　等腰三角形 1.等腰三角形的性质 等边对等角 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,则∠A的度数为 (　　) A.40° B.60° C.100° D.140° 2.如图,在△ABC中,∠A=36°,D在边AC上,AD=BD=BC,求∠DBC的度数. 等腰三角形的三线合一 3.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是 (　　) A.过顶点的直线 B.腰上的中线所在的直线 C.腰上的高所在的直线 D.顶角的平分线所在的直线 4.如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则∠DAC的大小为　　　　.  等边三角形的定义和性质 5.如图,在等边三角形ABC中,外角∠1= (　　) A.60° B.90° C.120° D.150° 6.如图,AB∥CD,点M、N分别在直线AB、EF上,连结MN,若△EMN为等边三角形,则∠CFE的度数为 (　　) A.120° B.110° C.108° D.106° 7.如图,BD是等边三角形ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连结DE.求∠CDE的度数. 1.(2025福州连江县期末)若等腰三角形的顶角是80°,则它的底角是 (　　) A.50° B.60° C.70° D.80° 2.如图,直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上,∠2=40°,则∠1的度数为 (　　) A.80° B.70° C.60° D.50° 3.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,CE是△ABC的角平分线.若∠BAC=40°,则∠BEC的度数为 (　　) A.70° B.75° C.105° D.125° 4.(传统文化)油纸伞在我国已有一千多年的历史,是中国古代劳动人民智慧的结晶.图1是油纸伞展开后的剖面图,图2是油纸伞收起后的剖面图.已知B、E分别为AC和AF的中点,△ABD和△AED都为边长为4的等边三角形,D为撑杆AM上可移动的点,当伞从展开状态到收起状态的过程中,D移动的距离是 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 5.(易错题)等腰三角形的一个角为70°,它的另外两个角为　　　　　　　.  6.如图,小聪和小明玩跷跷板游戏,支点O是跷跷板的中点(即OA=OB),支柱OH垂直于地面,两人分别坐在跷跷板A、B两端,当A端落地时,∠AOH=70°,则AB上下可转动的最大角度∠AOM=　　　　°.  7.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,点D在边AB上,且BD=BC,连结CD,则∠ACD的大小为　　　　°.  8.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作等边三角形ADE.请判断AC、DE的位置关系,并给出证明. 9.(几何直观)在△ABC中,∠BAC=90°. (1)如图1,若点D在CB的延长线上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE的度数为　　　　;  (2)如图2,若点D、E均在BC上,且BE=BA,CD=CA,求∠DAE的度数. 【详解答案】 基础达标 1.C 2.解:∵BD=AD, ∴∠A=∠ABD=36°. ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°. ∵BD=BC, ∴∠BDC=∠BCD=72°. ∴∠DBC=180°-72°-72°=36°. 3.D　4.60°　5.C　6.A 7.解:∵BD是等边三角形ABC的中线, ∴BD⊥AC,∠ACB=60°. ∴∠DBC=30°. ∵BD=DE, ∴∠E=∠DBC=30°. ∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°, ∴∠CDE=30°. 能力提升 1.A　解析:∵等腰三角形的顶角是80°, ∴底角的度数为=50°. 故选A. 2.A　解析:如图,∵△ABC为等边三角形, ∴∠A=60°. ∵∠A+∠3+∠2=180°, ∴∠3=180°-40°-60°=80°. ∵a∥b, ∴∠1=∠3=80°. 故选A. 3.B　解析:∵AB=AC,∠BAC=40°, ∴∠ACB=∠B==70°. ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠ACB=35°. ∵∠BEC是△ACE的一个外角, ∴∠BEC=∠BAC+∠ACE=75°. 故选B. 4.B　解析:∵△ABD和△AED都为边长为4的等边三角形, ∴AB=BD=AD=AE=DE=4. ∴当伞从展开状态到收起状态的过程中,D移动的距离是AB+BD-AD=4+4-4=4. 故选B. 5.70°,40°或55°,55°　解析:①当这个角是底角时,另外两个角是:70°,40°; ②当这个角是顶角时,另外两个角是:55°,55°. 6.40　解析:由题意,得AM∥OH, ∴∠AOH=∠OAM=70°. ∵OM=OA, ∴∠M=∠OAM=70°. ∴∠AOM=180°-∠M-∠OAM=40°. 7.15　解析:∵BD=BC, ∴△BCD为等腰三角形,∠BCD=∠BDC. ∵∠B=60°, ∴∠BCD=60°. ∵∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°, ∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=75°-60°=15°. 8.解:AC、DE的位置关系:AC⊥DE. 证明如下:∵△ABC和△ADE均是等边三角形, ∴∠C=60°,∠ADE=60°. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°. 在△CDF中,∵∠CDE=90°-∠ADE=30°, ∴∠CFD=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-30°=90°. ∴AC⊥DE. 9.解:(1)135° (2)∵BE=BA,CD=CA, ∴∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD. 设∠BEA=∠BAE=x,∠CDA=∠CAD=y,∠DAE=z. ∴在△AED中,x+y+z=180°①. ∵∠BAC=90°, ∴x+y-z=90°②. ①+②,得x+y=135°, ∴z=45°. ∴∠DAE的度数是45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 1.下列长度的三段钢条,能组成一个等腰三角形框架的是(单位:cm) (　　) A.2,3,4 B.3,7,7 C.2,2,6 D.5,6,7 2.在△ABC中,AD是中线,点D到AB、AC的距离相等,则△ABC一定是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是 (　　) 4.如图,已知△ABC,CD平分它的外角∠BCE,AB∥CD. 求证:△ABC为等腰三角形. 等边三角形的判定 5.(2025昆明五华区期末)下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是 (　　) A.∠A=∠B=∠C B.AB=BC,AC=BC C.AB=BC,∠B=60° D.AB=BC,∠A=∠C 6.如图,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC 于点D,∠ABD=30°. 求证:△ABC为等边三角形. 1.(易错题)下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,BD平分∠ABC,若∠2=∠3,则下列不正确的结论是 (　　) A.∠1=∠2 B.AD∥BC C.AB=AD D.△ABD≌△CBD 3.如图所示,将两个完全相同的直尺按照如图位置放置,则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.如图,已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画 (　　) A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 5.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=15 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,此时A、B两点之间的距离是　　　　cm.  6.(2025连云港赣榆区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD平分∠ACB,交AB于点D,E是AC的中点. (1)求证:△ACD是等腰三角形; (2)求∠EDC的度数. 7.如图,在△ABC中,∠B=60°,点B、C、D、E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,∠E=15°,判断△ABC的形状,并说明理由. 8.(推理能力)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点P为CA延长线上一点,过点P作PE∥AD分别交AB、BC于F、E两点. (1)求证:△APF是等腰三角形; (2)过点C作CH∥AB交AD的延长线于点H,CD=DH,请直接写出图形中所有的等腰三角形(△APF除外). 【详解答案】 基础达标 1.B　2.B　3.A 4.证明:∵CD平分∠BCE, ∴∠BCD=∠DCE. ∵AB∥CD, ∴∠B=∠BCD,∠A=∠DCE. ∴∠A=∠B. ∴CA=CB. ∴△ABC为等腰三角形. 5.D 6.证明:∵AB=BC,BD⊥AC于点D, ∴∠ABC=2∠ABD. ∵∠ABD=30°, ∴∠ABC=60°. 又∵AB=BC, ∴△ABC为等边三角形. 能力提升 1.D　解析:根据等边三角形的判定可知,有两个角等于60°的三角形是等边三角形,故①可以判定为等边三角形;根据等边三角形的判定可知,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,故②可以判定为等边三角形; ∵三角形的外角和等于360°, 又∵三角形的三个外角都相等, ∴这个三角形的三个外角都等于120°. ∴这个三角形的三个内角都等于60°. ∴这个三角形是等边三角形. ∴三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形是等边三角形,故③可以判定为等边三角形; ∵一腰上的中线也是这条腰上的高, ∴这条线是腰的垂直平分线. ∴腰与底相等. 又∵腰与底相等的等腰三角形是等边三角形, ∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形,故④可以判定为等边三角形. 综上所述,①②③④都能判定为等边三角形,共有4个. 故选D. 2.D　解析:∵BD平分∠ABC, ∴∠1=∠3. ∵∠2=∠3,∴∠1=∠2. 故选项A正确; ∵∠2=∠3,∴AD∥BC. 故选项B正确; ∵∠1=∠2,∴AB=AD. 故选项C正确; 根据已知条件无法判定△ABD和△CBD全等, 故选项D不正确. 故选D. 3.B　解析:如图,过点A作AP⊥BC,过点C作CQ⊥AB, 由条件可知AP=CQ,∠APC=∠CQA, 在Rt△APC和Rt△CQA中, ∴Rt△APC≌Rt△CQA(HL). ∴∠ACP=∠CAQ. ∴AB=BC. ∴△ABC是等腰三角形. 故选B. 4.B　解析:如图所示,当AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG时,都能得到符合题意的等腰三角形. 故选B. 5.15　解析:连结AB,如图所示. ∵OA=OB=15 cm,∠AOB=60°, ∴△OAB为等边三角形. ∴AB=OA=15 cm. 6.(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ACB=∠B=72°. ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠DCB=36°. ∴∠A=∠ACD. ∴△ACD是等腰三角形. (2)解:∵E是AC的中点, ∴AE=EC. ∵△ACD是等腰三角形, ∴∠DEC=90°. ∴∠EDC=90°-∠ACD=90°-36°=54°. 7.解:△ABC是等边三角形.理由如下: ∵DF=DE,∠E=15°, ∴∠EFD=∠E=15°. ∴∠GDC=∠EFD+∠E=30°. ∵CG=CD, ∴∠CGD=∠GDC=30°. ∴∠ACB=∠CGD+∠GDC=60°. ∵∠B=60°, ∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°. ∴∠A=∠B=∠ACB. ∴△ABC是等边三角形. 8.(1)证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵PE∥AD, ∴∠P=∠DAC,∠PFA=∠BAD. ∴∠P=∠PFA. ∴△APF是等腰三角形. (2)解:图形中的等腰三角形有△CDH、△ABD、△ACH、△BEF. 解法提示:∵CD=DH, ∴△CDH是等腰三角形. ∵CH∥AB, ∴∠B=∠BCH,∠BAH=∠H. ∵CD=DH, ∴∠H=∠BCH. ∴∠B=∠BAH. ∴△ABD是等腰三角形. ∵∠BAD=∠DAC,∠BAD=∠H. ∴∠DAC=∠H. ∴△ACH是等腰三角形. ∵PE∥AD, ∴∠BFE=∠BAD. ∴∠BFE=∠B. ∴△BEF是等腰三角形. 故图形中的等腰三角形有△CDH、△ABD、△ACH、△BEF. 学科网（北京）股份有限公司 $$