第10讲 等腰三角形（知识梳理+5课本习题典例+11题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第10讲 等腰三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 等腰三角形的概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角． 知识点2 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 证明：是等腰三角形，，作底边的高， 由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知， 对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 证明：是等腰三角形，，作底边的高， 由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知， 对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得，． 知识点3 等腰三角形的判定 判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 证明：在中，，作于，则 所以，则． 判定2：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形． 证明：是的外角，，，则， ，，得，则． 课本典例1（习题12.3第1题） 等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长。 课本典例2（习题12.3第2题） 等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数。 课本典例3（习题12.3第3题） 课本典例4（习题12.3第4题） 如图，在中，，D、E是边BC上的点，且。求证：。 课本典例5（习题12.3第5题） 如图，AB、CD相交于点E，，。求证：。 题型一 根据等边对等角证明 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点、在上，与交于点，，，． 求证：． 4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 题型二 三线合一 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，在等边中，是的中线，是上一个动点，则最小值的是（　　） A． B．5 C． D．10 7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图1，已知，是的中线，请你用无刻度的直尺作出边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边上中线． 9．（24-25八年级上·吉林·期中）在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 题型三 根据三线合一证明 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 题型四 等边三角形的性质 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知是等边三角形，点D在边的延长线上，则的度数为 ． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是 （填序号） 18．（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，与都是等边三角形，，若不动，将绕点C旋转，则在旋转过程中，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型五 等边三角形的判定 19．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形    ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形    ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，．    (1)求证：； (2)若，平分，求出的形状． 21．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 题型六 找出图中的等腰三角形 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 24．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 25．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 26．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    27．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如图，中，D为中点，．求证：为等腰三角形． 28．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 29．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 题型八 根据等角对等边证明边相等 30．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证． 31．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，已知，交于点，且．求证． 32．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，和中，点在上，．求证：． 题型九 根据等角对等边求边长 33．（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 34．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 35．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，高，交于点H．若，则 ． 36．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 题型十 求图中任意两点构成的等腰三角形的点 37．（24-25八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 38．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 40．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型十一 等腰三角形的性质和判定 41．（19-20八年级上·北京海淀·期中）在中，，平分交于在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 42．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图（1），中，，平分交于点，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 43．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，中，，平分，交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 44．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 45．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，，是的平分线，是的平分线．求证： (1) (2)． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）若等腰三角形的两边长分别是3和8、则它的第三边的长是（  ） A．3 B．6 C．8 D．3或8 5．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知．若，则∠的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，正三角形的三条边长都为1个单位长度，点P与表示的点重合，现将正三角形不断向右翻转，则数轴上表示2024的点与正三角形重合的点是（　　） A．点P B．点M C．点N D．无法确定 7．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，在上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，平分，交的延长线于F，E为垂足．则结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，，则等于 ． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是的高，，，，则大小为 ． 13．（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 14．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点P在正五边形的边上运动（不与点B，C重合），若，则x的值可以是 ．（写出一个符合要求的答案即可） 15．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，点D在上，且，则的度数为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 17．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，点在上，点在上，，求证：． 18．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知；如图，在中，，．为延长线上一点，点在上，，连接、和． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，，，求证：平分； 20．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，已知，在三角形的边上，且，．求证：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等腰三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 等腰三角形的概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角． 知识点2 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 证明：是等腰三角形，，作底边的高， 由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知， 对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 证明：是等腰三角形，，作底边的高， 由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知， 对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得，． 知识点3 等腰三角形的判定 判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 证明：在中，，作于，则 所以，则． 判定2：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形． 证明：是的外角，，，则， ，，得，则． 课本典例1（习题12.3第1题） 等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长。 【答案】当 6 为腰长时，底边长为，另两条边是 6 和 4。当 6 为底边长时，腰长为，另两条边是 5 和 5 。 【解析】等腰三角形两腰长度相等。分情况长度相等。分情况讨论，若已知边是腰，直接用周长减去两腰长得到底边；若已知边是底边，用周长减去底边后除以 2 得到腰长。 【点睛】对于等腰三角形已知一边求另两边问题，要分情况讨论已知边是腰还是底边，同时要注意三边需满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边 ），本题两种情况均满足。 课本典例2（习题12.3第2题） 等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数。 【答案】设顶角为x，则底角为。根据三角形内角和为，可得，即，，解得，底角为。所以三个角分别是，，。 【解析】利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解。 【点睛】涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解，注意等腰三角形角的性质应用。 课本典例3（习题12.3第3题） 有两个三角形，它们的三个角分别为：①，，；②，，。怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看。 【答案】对于，，的三角形：在角处作一个的角，把角分成和 ，得到两个等腰三角形，一个三角形内角为，，；另一个为，，。对于，，的三角形：在角处作一个的角，把角分成和 ，得到两个等腰三角形，一个三角形内角为，，；另一个为，，。（图形略，可根据描述自行绘制 ） 【解析】根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形。 【点睛】此类题关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形。 课本典例4（习题12.3第4题） 如图，在中，，D、E是边BC上的点，且。求证：。 【答案】因为，所以（等边对等角）。 在和中，所以。 则（全等三角形对应边相等），所以（等边对等角）。 【解析】先利用等腰三角形性质得到，再根据已知条件证明和全等，由全等得到，最后根据等腰三角形性质证得。 【点睛】证明等腰三角形中角相等，常通过证明边相等结合等边对等角来实现，而证明边相等可借助全等三角形，要善于挖掘等腰三角形本身的性质来创造全等条件。 课本典例5（习题12.3第5题） 如图，AB、CD相交于点E，，。求证：。 【答案】因为，所以，（两直线平行，内错角相等）。 又因为，所以（等边对等角）。 从而，所以（等角对等边）。 【解析】先由平行线性质得到角相等，再结合已知推出，最后根据等角对等边得到。 【点睛】本题综合运用了平行线性质和等腰三角形的判定，平行线能得到角的关系，等腰三角形中边与角相互转化的性质是解题关键，要熟练掌握等角对等边和等边对等角在证明中的应用。 题型一 根据等边对等角证明 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，即可根据“等角对等边”证明． 【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点、在上，与交于点，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角．由得出为等腰三角形，即，再利用判定，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴为等腰三角形， ∴ ∵在和中， ∵， ， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）首先证明，然后证明出，进而得到结论； （2）由全等三角形性质可得，进而证明即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 题型二 三线合一 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角得，由等腰三角形三线合一性质得是中边上的高，推出，最后由可得答案．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴是中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 6．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，在等边中，是的中线，是上一个动点，则最小值的是（　　） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形的性质得到，，点关于的对称点为点，如图所示，连接，当点三点共线时，取最小值，最小值为，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是的中线，， ∴，， ∴点关于的对称点为点， 如图所示，连接， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值，最小值为， ∴最小值的是， 故选：B ． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， 故A，C，D正确， 没有条件证明，故B错误， 故选：B． 8．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图1，已知，是的中线，请你用无刻度的直尺作出边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边上中线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，等腰三角形三角形的性质等知识，截图的关键是： （1）设，相交于O，连接并延长交于点F即可； （2）根据三线合一的性质知：M为中点，N为中点，连接、相交于O，连接并延长交于点G即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求， ； （2）如图，即为所求， ． 9．（24-25八年级上·吉林·期中）在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由角的和差关系可证明结论； （2）由三线合一定理得到，再由四边形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵，M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 根据三线合一证明 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； （2）解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明见解析 【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得，，即得，进而可得，即可求证； 小华的方法证：由等腰三角形的性质得，，即得，即可求证； 小聪的方法：过点作于，由等腰三角形的性质可得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】小明的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小华的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 小聪的方法证明： 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 即． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型． （1）根据证出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ，且， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ， 又由（1）知， ∴， ． 13．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ．    题型四 等边三角形的性质 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，平分， ∴M在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当时，最小，且为， ∵， ∴，即点M为中点， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， 故选：C． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知是等边三角形，点D在边的延长线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和邻补角，结合等边三角形的性质可得，再根据邻补角即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 点D在边的延长线上， ． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 17．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是 （填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④，根据等边三角形的定义判断⑤，即可求解． 【详解】①三角形的角平分线是线段，原说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． ⑤等边三角形是等腰三角形，说法正确． 说法正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，等边三角形的定义．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 18．（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，与都是等边三角形，，若不动，将绕点C旋转，则在旋转过程中，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明即可说理． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型五 等边三角形的判定 19．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形    ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形    ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判断即可． 【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确； 一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误； 有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确； 一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确； 有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确． 综上，正确的有，共个． 故选：C． 20．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，．    (1)求证：； (2)若，平分，求出的形状． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再得出，推出，根据平行线的性质即可得出结论； （2）先求出，再根据平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据三角形内角和定理得出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 21．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型六 找出图中的等腰三角形 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 24．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 25．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 26．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据，，平分，可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据等角对等边可证结论成立． 【详解】证明：， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 27．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如图，中，D为中点，．求证：为等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过D点作于点于点F，根据角平分线的性质可得与的关系，根据可得与的关系，根据全等三角形的性质，可得与的关系，根据等腰三角形的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：过D点作于点于点F， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 为等腰三角形． 28．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 29．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 题型八 根据等角对等边证明边相等 30．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握所学的知识． 证明，得出，根据等腰三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，已知，交于点，且．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，证明，得，再由等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． 32．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，和中，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到． 【详解】证明： 在与中， ． 题型九 根据等角对等边求边长 33．（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查等角对等边．根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 34．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 35．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，高，交于点H．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求解即可得． 【详解】解：∵，是的高， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 36．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 题型十 求图中任意两点构成的等腰三角形的点 37．（24-25八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题； 【详解】解：如图， 观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或． 故答案为：或或． 38．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 39．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 40．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 题型十一 等腰三角形的性质和判定 41．（19-20八年级上·北京海淀·期中）在中，，平分交于在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，得出，证出，得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图（1），中，，平分交于点，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】该题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设，得出，，，根据三角形内角和列方程求出x，再根据三角形外角的性质即可求解． （2）根据（1）证明，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 理由：根据（1）可得， ∴， 又点为线段的中点， ∴． 43．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，中，，平分，交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等； （1）由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形的性质得，即可求解． 熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， 在与中 ， （）， ； （2）解：， ， ， ， ． 44．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】△是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质推出，由平行线的性质推出，得到，推出△是等腰三角形． 【详解】解：△是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形． 45．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，，是的平分线，是的平分线．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质和三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可推出，则由三角形内角和定理可证明结论； （2）延长交于F，可证明，则，由三线合一定理得到，证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由三线合一可得，，进而即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）若等腰三角形的两边长分别是3和8、则它的第三边的长是（  ） A．3 B．6 C．8 D．3或8 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为3和腰长为8两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则三边长分别为3，3，8， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则三边长分别为3，8，8， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴第三边的长是8， 故选：C． 5．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，已知．若，则∠的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，先由等边对等角和三角形外角的性质求出的度数，再由平角的定义即可求出∠的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，正三角形的三条边长都为1个单位长度，点P与表示的点重合，现将正三角形不断向右翻转，则数轴上表示2024的点与正三角形重合的点是（　　） A．点P B．点M C．点N D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，以及数字规律探究，正三角形向右翻转的一个周期为3，由此规律进行解答即可． 【详解】解：由题意得，翻转1次，M落在0，翻转2次，P落在1，翻转3次，N落在2，周期为3， ∵，能够整除，即余数为0， ∴数轴上表示2024的点，与正三角形重合的点是N． 故选：C． 7．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 8．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，在上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是熟练进行逻辑推理．先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：． ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 10．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，平分，交的延长线于F，E为垂足．则结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，先证明可说明（1），（2），再说明是等腰三角形可判断（3）（5），进而说明（4）可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则（1）（2）正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则（3）（5）正确. 当时，， 而，所以（4）不正确， 所以正确的有4个， 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是的高，，，，则大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键；首先证明，得；再由得，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的高， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，先由三角形内角和定理求出的度数，再由等边对等角得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点P在正五边形的边上运动（不与点B，C重合），若，则x的值可以是 ．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正五边形的性质，等腰三角形的性质，根据点P在点B处时，可知；当点P在点C处时，求得，再根据题意即可求解． 【详解】解：当点P在点B处时， 则，即； 当点P在点C处时， ∵正五边形的内角度数为，且， ， 即， ∵点P在正五边形的边上运动（不与点B，C重合）， ， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】设，根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，根据可得，根据可得，最后利用三角形内角和定理可得，由此可解． 【详解】解：设， ， ， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握等腰三角形中“等边对等角”． 三、解答题 16．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解． 【详解】解：、、为等腰三角形的三边长，且周长为，， 分两种情况： 当为腰长时，底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时，腰长， 为底边，6为腰长符合三角形的三边关系， ， 综上所述，． 17．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，点在上，点在上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角的判定定理是解题的关键． 根据得出，利用证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 18．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知；如图，在中，，．为延长线上一点，点在上，，连接、和． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据已知利用判定，由全等三角形的对应边相等就可得到； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，，，求证：平分； 【答案】见详解 【分析】延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质得，再结合等边对等角以及角的等量代换得到，即可作答．本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ∴ ∴， 平分． 20．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，已知，在三角形的边上，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角可得，再利用证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$