12.1　命题、定义、定理与证明 同步练习 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

2.定义、定理与证明 定义、定理 1.能用推理的方法证明的真命题是 (　　) A.定义 B.基本事实 C.定理 D.以上都对 2.下列说法中,错误的是 (　　) A.所有的定义都是命题 B.所有的基本事实都是命题 C.所有的定理都是命题 D.所有的命题都是定理 3.“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是　　　　.(填“定义”或“定理”)  证明及证明的步骤 4.在证明过程中可以作为推理根据的是 (　　) A.命题、定义、基本事实 B.定理、定义、基本事实 C.命题　 D.真命题 5.如图,给出下列条件,其中不能判定a∥b的是 (　　) A.∠1=∠4 B.∠2=∠3 C.∠1+∠5=180° D.∠2+∠4=180° 6.推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误. 例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下: 设任意一个实数为x,令x=m. 等式两边都乘以x,得x2=mx.① 等式两边都减去m2,得x2-m2=mx-m2.② 等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③ 等式两边都除以x-m,得x+m=m.④ 等式两边都减去m,得x=0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是　　　　.  7.(2025西安新城区期末)如图,直线a、b、c被直线l所截,其中∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°. 求证:a∥c. 1.命题、定理、基本事实的关系如下:①定义是真命题;②定理是由定义和基本事实推理出来的真命题;③真命题是定义;④真命题一定是定理.其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,下列推理正确的个数是 (　　) ①∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°; ②∵∠1=∠2,∴AD∥BC; ③∵AD∥BC,∴∠3=∠4; ④∵∠A+∠ADC=180°,∴AD∥BC. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据: 如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,BE与DF平行吗?为什么? 解:BE∥DF.理由如下: ∵AB⊥BC(已知), ∴∠ABC=　　　　(　　　　),  即∠3+∠4=　　　　(　　　　).  又∵∠1+∠2=90°(　　　　),  且∠2=∠3(已知), ∴∠1=∠4(　　　　　　　　　　).  ∴BE∥DF(　).  4.(2025长春朝阳区期末)如图,点B、E、C在同一条直线上,请你从下面三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个真命题.①AB∥CD;②∠1=∠2,∠3=∠4;③AE⊥ED. (1)上述问题有哪几个真命题? (2)选择(1)中的一个真命题加以证明. 5.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,EF交DC于点F,∠3+∠2=180°,∠1=∠B. (1)求证:DE∥BC; (2)若DE平分∠ADC,∠3=3∠B,求∠2的度数. 6.(推理能力)如图,将△MNP的三边分别向两边延长,并在每两条延长线上任取两点连结起来,又得到了三个新的三角形. 求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 【详解答案】 基础达标 1.C　2.D　3.定义　4.B　5.B 6.④ 7.证明:∵∠1+∠2=180°(已知), ∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行). ∵∠2+∠3=180°(平角的定义),∠2+∠4=180°(已知), ∴∠3=∠4(等量代换). ∴b∥c(同位角相等,两直线平行). ∴a∥c(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行). 能力提升 1.B　解析:①定义是真命题,正确; ②定理是由定义和基本事实推理出来的真命题,正确;③真命题不一定是定义,错误;④真命题不一定是定理,错误,∴其中正确的有2个.故选B. 2.C　解析:∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°. 故①正确.符合题意; ∵∠1=∠2,∴AD∥BC. 故②正确.符合题意; ∵AB∥DC,∴∠3=∠4. 故③错误.不符合题意; ∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥DC. 故④错误.不符合题意. 故选C. 3.90°　垂直的定义　90°　等量代换 已知　等角的余角相等　同位角相等,两直线平行 4.解:(1)上述问题有两个真命题,分别是: 命题1:①②⇒③;命题2:②③⇒①. (2)选择命题1:①②⇒③. 证明:∵AB∥CD, ∴由平行线的性质可知∠B+∠C=180°. ∵∠B+∠1+∠2=180°, ∴∠C=∠1+∠2. ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°. ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90°. ∴AE⊥ED. 选择命题2:②③⇒①. 证明:∵AE⊥ED,∴∠AED=90°, ∴∠2+∠3=90°. ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°. 又∵∠B=180°-∠1-∠2,∠C=180°-∠3-∠4, ∴∠B+∠C=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°. ∴AB∥CD. 答案不唯一,任选其一即可. 5.(1)证明:∵∠DFE+∠2=180°,∠3+∠2=180°, ∴∠DFE=∠3. ∴BD∥EF. ∴∠1=∠ADE. ∵∠1=∠B,∴∠ADE=∠B. ∴DE∥BC. (2)解:由(1)知,∠ADE=∠B,BD∥EF, ∴∠2=∠ADC. ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADC=2∠ADE=2∠B. ∵∠3+∠ADC=180°,∠3=3∠B, ∴3∠B+2∠B=180°,解得∠B=36°. ∴∠ADC=72°. ∴∠2=72°. 6.证明:如图,∵∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,∠3=∠E+∠F, ∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F. 又∵∠1=∠4+∠5,∠2=∠4+∠6,∠3=∠5+∠6, ∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠4+∠6+∠5+∠6=2(∠4+∠5+∠6)=2×180°=360°. ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1　命题、定义、定理与证明 1.命题 命题 1.下列语言叙述是命题的是 (　　) A.画两条相等的线 B.等于同一个角的两个角相等吗? C.延长线段AO到C,使OC=OA D.两直线平行,内错角相等 2.下列四个选项中不是命题的是 (　　) A.对顶角相等 B.过直线外一点作已知直线的平行线 C.三角形任意两边之和大于第三边 D.如果a=b,a=c,那么b=c 命题的结构 3.命题“两条直线相交,只有一个交点”的条件是 (　　) A.两条直线 B.相交 C.只有一个交点 D.两条直线相交 4.把命题“互补的两个角不可能都是锐角”改写成“如果……,那么……”的形式:  　 .  命题的真假 5.假命题是指 (　　) A.题设成立,结论成立 B.题设不成立而结论成立 C.题设成立而结论不成立 D.题设不成立,结论不成立 6.下列命题中是假命题的是 (　　) A.两个锐角的和是钝角 B.同位角相等,两直线平行 C.如果ab=0,那么a=0或b=0 D.两点之间线段最短 7.(2025成都青羊区期末)下列命题中,为真命题的是 (　　) A.相等的角是对顶角 B.同旁内角互补 C.负数的立方根是负数 D.0没有平方根 8.命题:“如果a>b,那么a-b>0”是　　　　命题.(填“真”或“假”)  举反例 9.能说明命题“对于任意实数a,都有|a|>0”是假命题的反例是 (　　) A.a=-2 B.a=1 C.a=0 D.a= 10.能说明命题“如果a>b,那么a2>b2”是假命题的一个反例可以是 (　　) A.a=1,b=-2 B.a=2,b=-1 C.a=-2,b=1 D.a=-1,b=2 1.下列句子中不是命题的是 (　　) A.两直线平行,同位角相等 B.若|a|=|b|,则a2=b2 C.直线AB垂直于CD吗? D.同角的补角相等 2.(易错题)下列命题中,假命题是 (　　) A.-4的平方根是±2 B.-1的立方根是-1 C.平方根等于其本身的数只有0 D.是的平方根 3.下列四个命题中,真命题有 (　　) ①两条直线被第三条直线所截,内错角相等; ②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2; ③三角形的一个外角大于任何一个内角; ④如果x-y>0,那么x>y. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是 (　　) 5.把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……,那么……”的形式是  　 ,这个命题是　　　　(填“真”或“假”)命题.  6.(2025百色田阳区期中)给出下列4个命题:①垂线段最短;②两条直线被第三条直线所截,同位角相等;③互补的角是邻补角;④同旁内角相等,两直线平行.其中是真命题的是　　　　.(填序号)  7.下列命题是假命题的有　　　　 .(填序号)  ①如果a2=b2,那么a=b; ②一个角的余角大于这个角; ③如果a、b是有理数,那么|a+b|=|a|+|b|; ④平移后的图形与原来的图形的对应角相等. 8.如图,给出下列论断:①AB∥CD;②AD∥BC;③∠A+∠B=180°;④∠B+∠C=180°.其中一个作为条件,一个作为结论,写出一个真命题为　 .  9.判断下列语句是不是命题,如果是命题,指出是真命题还是假命题;如果是假命题,请举出一个 反例. (1)两直线相交有几个交点? (2)同角或等角的补角相等; (3)如果a+b=0,那么a=0,b=0. 10.(几何直观)阅读下面材料: 判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的条件,但不满足结论就可以了. 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题,可以举出如下反例: 如图,OC是∠AOB的平分线,∠1=∠2,但它们不是对顶角. 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等”是假命题.(要求:画出相应的图形,并用文字语言或符号语言表述所举反例) 【详解答案】 基础达标 1.D　2.B　3.D 4.如果两个角互补,那么这两个角不可能都是锐角 5.C　6.A　7.C　8.真　9.C　10.A 能力提升 1.C　解析:两直线平行,同位角相等,是命题,故A不符合题意;若|a|=|b|,则a2=b2,是命题,故B不符合题意;直线AB垂直于CD吗?不是命题,故C符合题意;同角的补角相等,是命题,故D不符合题意.故选C. 2.A　解析:A.-4没有平方根,故原说法不正确,是假命题;B.-1的立方根是-1,故原说法正确,是真命题;C.平方根等于其本身的数只有0,故原说法正确,是真命题;D.是的平方根,故原说法正确,是真命题. 故选A. 3.B　解析:①两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,原命题是假命题;②如果∠1和∠2是对顶角,那么 ∠1=∠2,原命题是真命题;③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,原命题是假命题;④如果x-y>0,那么x>y,原命题是真命题,∴真命题有2个.故选B. 4.C　解析:C选项图中,补全三角形,三角形三个内角都是锐角,则∠α+∠β>90°.故选C. 5.如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余　真 解析:改写成:如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余.这个命题是真命题. 6.①　解析:①垂线段最短,是真命题;②两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故原命题是假命题;③互补的角不一定是邻补角,故原命题是假命题;④同旁内角互补,两直线平行,故原命题是假命题. 7.①②③　解析:①是假命题,当a=2,b=-2时,结论不成立;②是假命题,70°的余角小于这个角;③是假命题,当a、b异号时,结论不成立;④是真命题. 8.如果AB∥CD,那么∠B+∠C=180°(答案不唯一) 解析:以一个作条件,一个作结论,写出一个真命题可以是:如果AB∥CD,那么∠B+∠C=180°. 9.解:(1)两直线相交有几个交点?它不是命题. (2)同角或等角的补角相等.它是命题,它为真命题. (3)如果a+b=0,那么a=0,b=0.它是命题,但它为假命题,例如:a=2,b=-2. 10.解:如图,∠1与∠2的两边分别平行,但它们不相等,而是∠1+∠2=180°,即互补. 学科网（北京）股份有限公司 $$