11.3　乘法公式 同步练习 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

2.两数和(差)的平方 两数和(差)的平方公式(完全平方公式)　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列多项式中,是完全平方式的为 (　　) A.x2-x+ B.x2+x+ C.x2+x- D.x2-x+ 2.计算(-x+2)2的结果是 (　　) A.x2-4x+4 B.-x2-4x+4 C.x2+4x+4 D.-x2+4x+4 3.下列算式中,可用完全平方公式计算的是 (　　) A.(1+x)(1-x) B.(-x-1)(-1+x) C.(x-1)(1+x) D.(-x+1)(1-x) 4.(2025昭通昭阳区期末)运用完全平方公式计算:(5x-3y)2=25x2+(　　　　)+9y2.  5.运用完全平方公式计算: (1)(3a+b)2; (2)(x-2y)2; (3)(-2x-y)2. 运用完全平方公式进行简便计算 6.用简便方法计算9992,应该是计算 (　　) A.(1 000-1)2 B.(1 000-1)(1 000+1) C.(999+1)(999-1) D.(999+1)2 7.运用完全平方公式进行简便计算: (1)2 0192; (2)1012+992. 1.计算(a-b)(-a+b)的结果等于 (　　) A.-a2-b2 B.-a2+2ab-b2 C.a2-b2　 D.a2-2ab+b2 2.对于下列整式:①a2-2a+1;②m2+m+1;③16b2-2b+;④4x2-xy+y2;⑤a2+4b2-4ab;⑥m2n2-mn+.其中完全平方式的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知x2-6x+a是完全平方式,则a的值为 (　　) A.-32 B.36 C.9 D.±9 4.(新考法)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理验证,观察下列图形,可以推出公式(a-b)2=a2-2ab+b2的是 (　　) 5.已知a2+b2=8,(a+b)2=20,则ab=　　　　　　.  6.计算:2 0252-4 050×2 024+2 0242+2 024×2 026=　　　　.  7.计算: (1)(2x+y-2)(2x+y+2); (2)(x+5)2-(x-2)(x-3). 8.张老师在黑板上布置了一道题:计算:2(x+1)2-(4x-5),求当x=和x=-时的值.小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁说的对?并说明理由. 小亮:我发现这个式子,当x=和x=-时,它的值始终是相等的. 小新:不可能,对于不同的值,应该有不同的结果. 9.已知(a-b)2=25,ab=-6,求下列各式的值. (1)a2+b2; (2)a4+b4. 10.(推理能力)阅读材料,解答下列问题: 【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“贾宪三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在贾宪三角中,第三行的三个数(1,2,1)恰好对应着两数和的平方(a+b)2的展开式a2+2ab+b2的系数.类似的,通过计算可以发现:第四行的四个数(1,3,3,1)恰好对应着两数和的立方(a+b)3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3的系数,等等.由此可见,贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广. 【问题解决】 (1)根据上面的规律,可得(a+b)5的展开式中共有　　　　项,其中a3b2项的系数为　　　　;  (2)请结合图2中的展开式计算下面的式子:(x+2)3=　　　　　　　;  (3)利用上面的规律计算:-4×+6×-4×+1. 【详解答案】 基础达标 1.A　2.A　3.D　4.-30xy 5.解:(1)(3a+b)2=9a2+6ab+b2. (2)(x-2y)2=x2-2xy+4y2. (3)(-2x-y)2=4x2+4xy+y2. 6.A 7.解:(1)原式=(2 020-1)2 =4 080 400-4 040+1 =4 076 361. (2)原式=(100+1)2+(100-1)2 =10 000+200+1+10 000-200+1 =20 002. 能力提升 1.B　解析:(a-b)(-a+b)=-(a-b)2=-a2+2ab-b2. 故选B. 2.A　解析:∵a2-2a+1=(a-1)2, ∴①是完全平方式; ∵m2+m+1≠(m+1)2, ∴②不是完全平方式; ∵16b2-2b+=(4b-)2, ∴③是完全平方式; ∵4x2-xy+y2≠(2x-y)2, ∴④不是完全平方式; ∵a2+4b2-4ab=(a-2b)2, ∴⑤是完全平方式; ∵m2n2-mn+=(mn-)2, ∴⑥是完全平方式. 综上可知,①③⑤⑥是完全平方式,共4个. 故选A. 3.C　解析:∵x2-6x+a是完全平方式, ∴x2-6x+a=x2-6x+32. ∴a=32=9. 故选C. 4.D　解析:A.由图形面积可得(a+b+c)d=ad+bd+cd,故本选项不符合题意;B.由图形面积可得(a+b)·(c+d)= ac+ad+bc+bd,故本选项不符合题意;C.由图形面积可得(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不符合题意;D.由图形面积可得(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项符合题意.故选D. 5.6　解析:由条件可知a2+2ab+b2=20, 又∵a2+b2=8, ∴2ab+8=20. ∴ab=6. 6.4 100 625　解析:2 0252-4 050×2 024+2 0242+2 024×2 026 =2 0252-2×2 025×2 024+2 0242+2 024×2 026 =(2 025-2 024)2+(2 025-1)×(2 025+1) =1+2 0252-1 =2 0252 =4 100 625. 7.解:(1)原式=(2x+y)2-4=4x2+4xy+y2-4. (2)原式=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19. 8.解:小亮说的对.理由如下: 2(x+1)2-(4x-5) =2x2+4x+2-4x+5 =2x2+7, ∵()2=(-)2, ∴小亮说的对. 9.解:(1)∵(a-b)2=25,ab=-6, ∴a2+b2=a2+b2-2ab+2ab=(a-b)2+2ab=25+2×(-6)=25-12=13. (2)∵a2+b2=13,ab=-6, ∴a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=132-2×(-6)2=169-72=97. 10.解:(1)6　10 (2)x3+6x2+12x+8 (3)∵(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4, ∴原式=+4××1+6××12+4×(-)×13+14 = = =. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3　乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 平方差公式 1.计算:(2a+b)(2a-b)= (　　) A.4a2+b2 B.4a2-b2 C.2a2-b2 D.2a2+b2 2.下列各式能用平方差公式计算的是 (　　) A.(a+b)(-a-b) B.(a+b)(b+a) C.(a-b)(b-a) D.(b-a)(-a-b) 3.已知a+b=3,a-b=2,则a2-b2等于 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.(易错题)(2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)=　　　　.  5.运用平方差公式计算: (1)(-1+5x)(-1-5x); (2); (3)(a-2)(a+2)+4(1-a2). 运用平方差公式进行简便计算 6.计算:1 0232-1 024×1 022=　　　　.  7.运用平方差公式计算: (1)69.8×70.2; (2)30.98×31.02. 1.下列等式中,正确的是 (　　) A.(a-2b)(b+2a)=2a2-2b2 B.(2a-b)(-2a-b)=4a2-b2 C.(2a+b)(-2a-b)=4a2-b2 D.(a-2b)(2b+a)=a2-4b2 2.(教材变式)四张相同的梯形硬纸板可拼成平行四边形(如图1),也可拼成正方形(如图2),根据两个图形中阴影部分面积的关系,可以得到一个关于x、y的等式为 (　　) A.(x+y)(x-y)=x2-y2 B.x2+2xy+y2=(x+y)2 C.(x-y)2=x2-2xy+y2 D.x2-xy=x(x-y) 3.已知x+y=6,x2-y2=-18,则x-y的值为 (　　) A.3 B.-3 C.6 D.-9 4.为了美化校园,学校把一个边长为a m(a>4)的正方形跳远沙池的一边增加1 m,相邻的一边减少1 m改造成长为(a+1)m、宽为(a-1)m的长方形跳远沙池.如果这样,那么沙池的面积会 (　　) A.变小 B.变大a m2 C.没有变化 D.变大1 m2 5.若(x+n)(x-1)=x2-1,则n的值为　　　　.  6.(2025北京门头沟区期末)当m2+2m-2=0时,代数式(m+1)(m-1)+2m的值为　　　　.  7.计算: (1)(m+n)(m-n)+n(2m+n); (2)3 0002-2 998×3 002; (3)(a-b)(a+b)(a2+b2). 8.先化简,再求值:(y+2)(y-2)-(y-1)·(y-3),其中y=4. 9.如图1是一张边长为a的正方形纸片,在它的一角剪去一个边长为b的小正方形,然后将图1剩余部分(阴影部分)剪拼成如图2的一个大长方形(阴影部分). (1)请分别用含a、b的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积:图1中阴影部分的面积为　　　　;图2中阴影部分的面积为　　　　;  (2)请探究并直接写出a2-b2、a+b、a-b这三个式子之间的等量关系为　 ;  (3)利用(2)中的结论,求542.72-457.32的值. 10.(推理能力)阅读解答: (1)填空: (a-b)(a+b)=　　　　;  (a-b)(a2+ab+b2)=　　　　;  (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=　　　　.  (2)类推:(a-b)(b+…+a)=　　　　(其中n为正整数,且n≥2).  (3)利用(2)的结论计算: ①221+220+219+…+23+22+2+1; ②716-715+714-713+712-711+…-73+72-7. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.D　3.D　4.b2-a2 5.解:(1)(-1+5x)(-1-5x)=(-1)2-(5x)2=1-25x2. (2)(5a+2b)(5a-2b)=(5a)2-(2b)2=25a2-4b2. (3)(a-2)(a+2)+4(1-a2)=a2-4+4-4a2=-3a2. 6.1 7.解:(1)69.8×70.2=(70-0.2)×(70+0.2)=702-0.22=4 899.96. (2)30.98×31.02=(31-0.02)×(31+0.02)=312-0.022=960.999 6. 能力提升 1.D　解析:A.(a-2b)(b+2a)=ab+2a2-2b2-4ab=2a2-3ab-2b2,故A选项错误,不符合题意;B.(2a-b)·(-2a-b)=(-b)2-(2a)2= b2-4a2,故B选项错误,不符合题意;C.(2a+b)(-2a-b)=-4a2-4ab-b2,故C选项错误,不符合题意;D.(a-2b)·(2b+a)=a2-(2b)2=a2-4b2,故D选项正确,符合题意. 故选D. 2.A　解析:题图1是底为x+y、高为x-y的平行四边形,因此面积为(x+y)(x-y),题图2阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即x2-y2, 所以有(x+y)(x-y)= x2-y2. 故选A. 3.B　解析:∵x2-y2=-18, ∴(x+y)(x-y)=-18. ∵x+y=6, ∴6(x-y)=-18. ∴x-y=-3. 故选B. 4.A　解析:原正方形的面积为a2 m2,变化后长方形的面积为(a+1)(a-1)=(a2-1)m2, 所以变化后与原来相比面积变小了, 故选A. 5.1　解析:∵(x+n)(x-1)=x2-1=(x+1)(x-1), ∴n=1. 6.1　解析:∵m2+2m-2=0, ∴m2+2m=2. ∴(m+1)(m-1)+2m =m2-1+2m =2-1 =1. 7.解:(1)原式=m2-n2+2mn+n2=m2+2mn. (2)原式=3 0002-(3 000-2)×(3 000+2) =3 0002-(3 0002-4) =4. (3)原式=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4. 8.解:(y+2)(y-2)-(y-1)(y-3) =y2-4-(y2-3y-y+3) =y2-4-y2+3y+y-3 =4y-7. 当y=4时,原式=16-7=9. 9.解:(1)a2-b2　(a+b)(a-b) (2)a2-b2=(a+b)(a-b) (3)由(2),得 542.72-457.32=(542.7+457.3)×(542.7-457.3) =1 000×85.4 =85 400. 10.解:(1)a2-b2　a3-b3　a4-b4 (2)an-bn (3)①原式=(2-1)(221+220+219+…+23+22+2+1)=222-1. ②716-715+714-713+712-711+…-73+72-7 =[7-(-1)][716+715×(-1)+714×(-1)2+713×(-1)3+712×(-1)4+711×(-1)5+…+73×(-1)13+72×(-1)14+7×(-1)15+(-1)16-(-1)16] = =. 学科网（北京）股份有限公司 $$