4.6 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(湘教版2024)

第4章 三角形 4.6 　线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的判定与性质 1 1. 理解线段垂直平分线的概念； 2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理； 3. 通过对线段垂直平分线性质定理的探索，进一步了解原命题与逆命题之间的关系. 学习目标 2 新课导入 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(或中垂线).如图，直线l就是线段PP'的垂直平分线. 成轴对称的两个图形中，对应点的连线有什么特征？ 被对称轴垂直平分 平面内点P与点P′关于一条直线对称，则线段PP′被这条直线垂直平分. 3 如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P(点P不在线段AB上)，连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？ 所以△PAD≌△PBD(边角边). 因此PA=PB. 设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP=∠BDP=90°. 在△PAD和△PBD中 当点P在线段AB上式，结论还成立吗？ 探 究 4 于是得到线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）. A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm 练一练 B 5 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么? 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 你能证明上述逆命题是真命题吗？ 说一说 如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB，由于MA=MB，则∠MAB是等腰三角形. 取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上. 当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上. 由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 7 【例1】如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA=OB（线段垂直平分线上的性质定理）. 同理可得OB=OC. 于是OA=OC. 所以点O在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线上的性质定理的逆定理). 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 8 练一练 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 将该购物中心应建于AB，BC，AC三条线段的垂直平分线的交点处，才能使得它到三个小区的距离相等. 9 1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（　　） A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分∠ACB A 2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD 的周长为8 cm，则线段AC 的长为 . 3 cm 随 堂 小 测 10 3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC. 证明：因为∠1=∠2，所以 EB=EC. 所以 点E在线段BC的垂直平分线上. 又因为∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB， 所以 点A也在线段BC的垂直平分线上. 所以 AD垂直平分BC. 11 4.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.求证：AO = BO. 证明：因为AC=BC，AD=BD， 所以点C和点D在线段AB的垂直平分线上. 所以CD垂直平分线段AB. 又因为AB与CD相交于点O， 所以AO=BO. 线段的垂直平分线 定义 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 性质定理 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 数学语言：若点P在线段AB的垂直平分线上(AC=BC，PC⊥AB)，则PA=PB 性质定理的逆定理 文字语言：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 数学语言：如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 课堂小结 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 绿卡图书—走向成功的通行证 15 $$