4.3.5 全等三角形的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(湘教版2024)

第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.5 全等三角形的应用 1 1. 可以灵活构造全等三角形，将不可测距离化为可测距离； 2. 能利用三角形的全等解决实际问题；（重难点） 3. 在解决问题过程中进行有条理的思考与表达. 学习目标 2 为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点 E 处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？ 如图4.3-19，在△AEB 和△CED 中， 所以△AEB≌△CED (角边角)， 从而AB = CD . 即CD 的长就是河的宽度.因此，小楠说得对. ∠A =∠C = 90°， AE = CE， ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， 课时导入 思考 图4.3-19 3 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动（如图4.3-20所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？ 例8 图4.3-20 解：如图4.3-20，连接AB，CD， 由题意可知，OA=OB=OC=OD. 在△AOB和△COD中， 所以△AOB≌△COD(边角边），从而AB=CD， 即AB的长等于玻璃瓶的内径. 分析 只需要说明AB和CD相等即可. OA =OC， ∠AOB =∠COD (对顶角相等)， OB =OD， 4 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图4.3-21所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么? 解：如图4.3-21，过点B作BF⊥AC，交AC于点F， 则∠CFB=∠AFB=90°. 例9 图4.3-21 又∠CFB=∠CAE=90°，所以FB//AE，从而∠ABF=∠BAE. 因为两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等， 所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF=∠ABF. F 5 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图4.3-21所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么? 在△CBF与△ABF中， ∠CBF =∠ABF， BF=BF， ∠CFB =∠AFB， 所以△CBF≌△ABF (角边角)， 从而CF=AF. 例9 图4.3-21 所以AF，EB是平行线AE与FB的公垂线段， 又FA⊥AE，BE⊥AE，且AE//FB, 故AF=EB，从而AC=2AF=2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的2倍. 6 1.如图，AB=AC，BD=CD，E为AD上一点.试说明：BE=CE. 所以∠BAD=∠CAD. 解：在△ABD 和△ACD中， 因为AB=AC，BD=CD，AD=AD， 所以BE=CE. 在△ABE和△ACE中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AE=AE(公共边)， 所以△ABD≌△ACD (边边边). 所以△ABE≌△ACE (边角边). 随 堂 小 测 7 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， BC＝DC， 所以△ABC≌△ADC (边边边)， 所以∠DAE＝∠BAE. AB＝AD， ∠DAE＝∠BAE， AE＝AE， 所以△ADE≌△ABE (边角边). 所以 BE＝DE. 在△ADE 和△ABE 中， 8 解：在△ABC与△DEC中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE ， 所以△ABC≌△EDC (边角边), 所以AB=DE. 3.如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD＝CA；连接BC 并延长到E，使CE＝CB，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离.你能说明其中的道理吗? 你还有其他测量AB间距离的方法吗？ 9 方案二：过点B作AB的垂线BF，在BF上分别取点C，E，使得BC=EC，过点E作BE的垂线EG，在EG上找一点D，使得点A，C，D在一条直线上，测得DE的长度就是A，B间的距离. B A D C E G F 解：在△ABC和△DEC中， ∠ABC＝∠DEC=90°， BC＝EC， ∠ACB＝∠DCE, 所以△ABC≌△DEC（角边角）， 所以AB＝DE. 方案三：先构造△ABC，再确定点D，使得AD∥BC，AD＝BC，连接CD并测量出它的长度，CD的长度就是A，B间的距离. 解：在△ABC和△CDA中， BC＝AD， ∠BCA＝∠DAC， AC＝CA, 所以△ABC≌△CDA（角边角）， 所以AB＝CD. B A D C 还有其他测量方案吗？ 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(边角边) 找第三边(边边边) 找任一角(角角边) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(边角边) 找边的对角(角角边) 找夹边的另一角(角边角) 找夹边(角边角) 找其中一角的对边(角角边) 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 14 $$