4.3.5 全等三角形的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的判定与应用，通过测量河宽的实际问题导入，引导学生从具体情境出发，连接已学的ASA等判定定理，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点是以河宽测量、玻璃瓶内径计算等实例为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过严谨的推理过程发展数学思维中的推理意识，课堂小结系统梳理判定思路帮助学生用数学语言表达逻辑关系。学生能提升应用能力，教师可借助实例优化教学。

新湘教版八年级上册数学 第4章 三角形 4.3.5 全等三角形的应用 学习目标 1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件 2.能正确地利用相关条件判定三角形全等； 3.运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题. 任务导入 如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，B 恰好在一条直线上. 于是小楠说："CD 的长就是河的宽度."你认为小楠说得对吗？为什么? 探索展示 如图，在△AEB 和△CED 中 ∠A =∠C = 90° AE = CE ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， ∴△AEB≌△CED (角边角) 从而 AB = CD 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 应用提升 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？ 解：如图，连接 AB，CD， 由题意可知，OA = OB = OC = OD 在△AOB 和△COD 中 OA = OC ∠AOB =∠COD (对顶角相等) OB = OD ∴△AOB≌△COD (SAS) 从而 AB = CD 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 应用提升 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? C B A E 应用提升 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? C B A E 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F， 则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∵∠CFB =∠CAE = 90° ∴ FB∥AE 从而∠ABF =∠BAE ∵两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等 ∴∠CBF =∠BAE 从而∠CBF =∠ABF 在△CBF 和△ABF 中 ∠CBF =∠ABF BF = BF ∠CFB =∠AFB ∴△CBF≌△ABF(ASA) 从而 CF = AF 又 ∵FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB ∴ AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍 还有其他方法证明AF = EB吗？ 应用提升 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? C B A E 证：在△AFB和△BEA中 ∠ABF =∠BAF BF = AE ∠AFB =∠BEA=90O ∴△AFB≌△BEA(ASA) 从而 AF = BE 还有其他方法证明AF = EB吗？ 应用提升 1.如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻两根竖立的木杆在太阳光照射下的影子一样长. 由此能判断这两根木杆一样长吗？为什么？ A A' B C B' C' 解：∵ AC∥A'C' ∴∠ACB =∠A'C'B' 由题意，BC=B'C',AB⊥BC,A'B'⊥B'C' 在△ABC 和△A'B'C' 中 ∠ACB =∠A'C'B' BC = B'C' ∠ABC =∠A'B'C' ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA) 从而 AB = A'B' ∴这两根木杆一样长. 课堂小结 导图复盘 判定三角形全等的思路 ├─已知两边 │ ├─找夹角 (SAS) │ └─找另一边 (SSS) ├─已知一边一角 │ ├─边为角的对边 │ │ └─找任一角 (AAS) │ └─边为角的一边 │ ├─找夹角的另一边 (SAS) │ ├─找边的对角 (AAS) │ └─找夹边的另一角 (ASA) └─已知两角 ├─找夹边 (ASA) └─找除夹边外的任意一边 (AAS) 1.点到河对面的目标A之间的距离,他们在B点同侧选择了一点C,测得∠ABC=70°,∠ACB=40°然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们为了能测得A,B之间的距离，还需要( ) 当堂检测 已知条件 补充条件 判定方法 AC=DC，∠A=∠D SAS ∠A=∠D，AB=DE ASA ∠A=∠D，AB=DE AAS AC=DC，AB=DE SSS 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC. 当堂检测 例1 已知：如图，AB = CD，BC = DA，E，F 是 AC上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠BCF =∠DAE. AB = CD， BC = DA， AC = CA (公共边)， 在△BCF 和△DAE 中， ∴△BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE. BC = DA， ∠BCF = ∠DAE， CF = AE， 全等三角形的判定与性质的综合运用 2 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC (SSS)， ∴∠DAE＝∠BAE. 在△ADE 和△ABE 中， AB＝AD， ∠DAE＝∠BAE， AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE (SAS). ∴ BE＝DE. 本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为三角形全等的证明依据使用． 方法总结 例3 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN. 在△ACD 与△BCD 中， 证明： CA = CB (已知)， AD = BD (已知)， CD = CD (公共边)， ∴△ACD≌△BCD (SSS). 连接 CD，如图所示. ∴∠A =∠B. 又∵M，N 分别是 CA，CB 的中点， ∴ AM = BN. N A B D C M 在△AMD 与△BND 中， AM = BN (已证)， ∠A =∠B (已证)， AD = BD (已知)， ∴△AMD≌△BND (SAS). ∴ DM = DN. N A B D C M 课堂小结 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找其中一角的对边(AAS) 下 课 $