2.5 第1课时 分式方程的概念及解法-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(湘教版2024)

第2章 分 式 2.5 　可化为一元一次方程的分式方程 第1课时　分式方程的概念及解法 1 1. 了解分式方程的概念及分式方程产生增根的原因； 2. 理解分式方程必须转化为整式方程求解的思想，知道检验是解分式方程的重要且必要的步骤； 3. 能正确地解答可化为一元一次方程的分式方程. 学习目标 2 为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9 600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系. 等量关系： 原计划的天数-实际天数=4. 新课导入 原计划每天种x棵树， 则实际每天种x棵树. 含有未知数x的等式： 即 像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 练一练 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 分式方程 整式方程 解题关键点：看分母中是否含有未知数 π 不是未知数 5 如何求解分式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 思 考 到目前为止，我们能求解的方程其左右两边都是整式，因此，应考虑通过“去分母”先将上述分式方程转化为两边都是整式的方程，再求解. 6 最简公分母为x 将方程两边同乘x 9 600-7 200=4x 解得 x=600 x=600 4=4 因此，x=600是原分式方程的解. 检验 左边的值=右边的值 【例1】解方程： 解: 由于最简公分母为x(x-2)，于是将方程两边同乘x(x-2)，得 5x-3(x-2)=0， 解得 x=-3. 检验：将x=-3代入原方程，方程左边的值为 ， 右边的值也是0，从而左边的值=右边的值， 因此x=-3是原方程的解. 最简公分母x(x-2) 练一练 解方程: 解：由于最简公分母为(30 + x)(30- x)，于是将方程两边同乘 (30 + x)(30- x)，得 90(30 - x) = 60(30 + x)， 解得 x=6. 检验：将x=6代入原分式方程，方程左边的值为 ,右边的值为 ，左边的值=右边的值, 因此x=6是原方程的解. 9 归纳：解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 【例2】解方程： 解: 由于最简公分母为(x+2)(x-2),于是将方程两边同乘(x+2)(x-2),得 x+2=4， 解得 x=2. 检验：将x=2代入原分式方程，方程左边的值为= ，不存在这种数， 因此x=2不是原方程的解， 从而原分式方程无解. 当x=2时，最简公分母(x+2)(x-2)=0. 11 上面两个例题中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 分式两边同乘不为0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 分式两边同乘了等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 当x=-3时，方程两边同乘的最简公分母x(x-2)=-3(-3-2)=-15. 当x=2时，方程两边同乘的最简公分母(x+2)(x-2)=0. 最简公分母检验法：只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它一定不是原分式方程的解. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 【例3】解方程： 解: 由于最简公分母为3x-2,于是将方程两边同乘3x-2,得 x+(-2)=5(3x-2)， 解得 x=. 经检验：x=是原分式方程的解. 解可化为一元一次分式方程的基本步骤有哪些？ 可化为一元一次方程的分式方程 方程两边同乘各个分式的最简公分母 一元一次方程 求解 一元一次方程的解 检验 把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0，则原分式方程无解. 去括号，移项，合并同类项，系数化为1 练一练 解方程: 解：由于最简公分母为(x-1)(x+2),方程两边同乘最简公分母(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原方程的解, 所以原方程无解. 17 1.下列方程不是关于x的分式方程的是（ ) A. B. C. D. D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ） A. 6y-3 B. 3y C. 3(6y-3) D. 2y-1 A 随 堂 小 测 18 3.解方程: 解：方程两边同乘最简公分母(2x-3)，得 x-5=4(2x-3), 解得 x=1. 检验：当x=1时，2x-3≠0， 所以x=1是原方程的解. 解：方程两边同乘最简公分母(2x-1)(x+2)，得 2x(x+2)=(2x-1)(x+2)-2(2x-1), 解得 x=-2. 检验：当x=-2时，(2x-1)(x+2)=0， 所以原分式方程无解. 19 解：方程两边同乘(x-2)，得 2-x+m=2x-4. 所以x=. 因为该分式方程无解， 所以x-2=0，即=2. 所以m=0. 4. 若关于x的方程 无解，求m的值. 【方法指导】分式方程无解的两种情况：①去分母后化成的一元一次方程有解，但这个解使得最简公分母为0;②去分母后化成的一元一次方程本身无解，即ax=b中，a=0且b≠0. 1.在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2.解这个整式方程； 3.把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4.写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤 课堂小结 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$