2.5 可化为一元一次方程的分式方程同步讲义2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦可化为一元一次方程的分式方程，系统梳理分式方程的定义（区别于整式方程）、解法步骤（去分母、解整式方程、检验）、增根概念及应用题六步法，构建从概念理解到解法应用的学习支架。 资料通过分题型典例精讲（基础解方程、增根求参数、应用题）及跟踪训练，培养学生运算能力与推理意识。应用题结合行程、工程等实际情境，发展模型意识与应用意识。随堂及课后练习覆盖全面，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

2.5 可化为一元一次方程的分式方程 【知识点梳理】 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 区别于整式方程：整式方程的分母中不含未知数。例如：＝2是分式方程， +1＝3是整式方程。 2．解分式方程的一般步骤 ①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ②解整式方程：求出整式方程的根； ③检验（必考）：将整式方程的根代入最简公分母，若公分母≠0，则为原方程的根；若公分母＝0，则为增根，舍去。 3．增根的概念：在去分母过程中，两边同乘的整式可能为零，从而产生使原方程分母为零的根，这种根叫作原方程的增根。 增根不是原分式方程的根，必须舍去。检验是解分式方程的必做步骤。 4．分式方程应用题解题六步法 （1）审（审题，找等量关系）； （2）设（设未知数，标明单位）； （3）列（列分式方程）； （4）解（解分式方程）； （5）验（双重检验：检验方程根的有效性＋检验根的实际意义合理性）； （6）答（写完整答案）。 5．常见分式方程应用题类型 ①行程问题：路程＝速度×时间，常设速度为未知数； ②工程问题：工作量＝工作效率×时间，常将总工作量视为1； ③购物/单价问题：总价＝单价×数量。 【典例精讲】 题型1：解基础分式方程 解题要点：去分母→解整式方程→代入最简公分母检验。 【典例1】解方程： ＝2。 解：方程两边同乘x（x≠0）：1＝2x ， 解得： x＝。检验：x＝ ≠ 0 。 所以原方程的解为：x＝ 。 【典例2】解方程： ＝ 。 解：方程两边同乘：(x+1)(x-1)得： 2(x+1)＝3(x-1)， 2x+2＝3x-3， -x＝-5， x＝5。 检验：将x＝5代入最简公分母(5-1)(5+1)≠0 。 所以原方程的解为：x＝5。 【典例3】解方程： + ＝ 3。 解：原方程可化为： - ＝3， 方程两边同乘x-1得： x-2＝3x-3， -2x＝-1， x＝ 。 检验：将x＝ 代入x-1≠0 。 所以原方程的解是x＝ 。 跟踪训练： 1．解方程：＝ 。 解：方程两边同乘3x得：6＝x。 检验：x＝6≠0。 所以原方程的解是x＝6。 2．解方程：＝ + 1。 解：方法一：移项：- ＝1，则0＝1，矛盾。故原方程无解。 方法二：方程两边同乘x-2得： x=x+x-2，解得：x=2. 检验：将x=2代入x-2=0，故x=2是增根， 所以原方程无解。 3．解方程：＝ 。 解：方程两边同乘(x-2)(x-3)得： 2(x-2)＝3(x-3)， 2x-4＝3x-9， x＝5。 检验：将x＝5代入(x-2)(x-3)≠0。 所以原方程的解为：x＝5。 4．解方程：+ ＝ 1。 解：方程两边同乘：x(x+2)得： (x+2)+x＝x(x+2)， 2x+2＝x²+2x， x²＝2， x＝±。 检验：将x＝±分别代入x(x+2)≠0。 所以方程的解为x＝或x＝-。 题型2：已知分式方程有增根，求参数值 【典例1】若关于x的分式方程+ ＝ 有增根，则增根的值为 。 【答案】x＝2 或 x＝-2 【解析】最简公分母＝(x+2)(x-2)。使公分母为零的x值为 x＝2 或 x＝-2，这两个都是可能的增根。 【典例2】关于x的分式方程- ＝ 有增根 x＝1，求m。 解：去分母（两边同乘(x+1)(x-1)）：x(x+1)-2(x-1)＝m。 将增根x＝1代入：1×2-2×0＝m，解得m＝2。 【典例3】若方程+ ＝2有增根，求a的值。 解：最简公分母(x-3)，增根为x＝3。 去分母：a-(x+1)＝2(x-3)，a-x-1＝2x-6 ，a＝3x-5。 代入x＝3：a＝3×3-5＝4。 跟踪训练 1．使分式方程产生增根的x值满足的条件是：使 为零。 【答案】最简公分母 2．若方程 - ＝ 0有增根，则增根的值为 。 【答案】x＝1 或 x＝-1 3．已知方程- ＝ 1 有增根x＝2，求k的值。 解：去分母：(x+k)(x+2)-(x-2)＝(x-2)(x+2)。 x＝2代入：(2+k)·4-0＝0 ，解得： k＝-2。 4．若方程+ ＝ 的增根为x＝1，求a的值。 解：去分母乘(x+1)(x-1)：a(x+1)+b(x-1)＝x+3。 将增根x＝1代入：a·2+b·0＝1+3 ，2a＝4 ，解得： a＝2。 题型3：分式方程应用题 【典例1】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划匀速行驶，一小时后提速50%，最终提前40分钟到达目的地，求汽车原计划行驶速度。 解：设汽车原计划行驶速度为km/h，40分钟=h； 原计划总用时：h；实际用时：h； 由题意得：， 解得；经检验：是原方程的且符合题意； 答：汽车原计划行驶速度为60km/h。 【典例2】一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，若甲先单独做5天，之后甲乙合作，还需要多少天完成工程？ 解：设甲乙合作还需要天，由题意得： ， 解得；经检验：是原方程的解且符合题意； 答：还需要9天完成工程。 【典例3】用300元可以购买甲种笔记本的数量，比用300元购买乙种笔记本的数量少10本，已知乙种笔记本单价比甲种便宜5元，求两种笔记本单价。 解：设甲笔记本单价为元，则乙笔记本单价为元，由题意得： ， 解得，经检验：是原方程的解且符合题意。 乙单价：元； 答：甲笔记本单价15元/本，乙笔记本单价10元/本。 跟踪训练： 1．某工程队承接一项挖土任务，计划挖土1200立方米，实际工作效率提高20%，最终提前2天完成任务，求计划每天挖土多少立方米？ 解：设计划每天挖土m³，实际每天挖土m³； 由题意得：， 解得：；检验：是原方程的解且符合题意； 答：计划每天挖土100立方米。 2．小明步行3千米的路程，骑自行车比步行少用30分钟，已知骑车速度是步行速度的3倍，求小明步行和骑车的速度。 解：设步行速度为km/h，则骑车速度为km/h，30分钟=h（统一时间单位）， 由题意得：， 解得，经检验：是原方程的解且符合题意。 骑车速度：km/h。 答：小明步行速度为4km/h，骑车速度为12km/h。 3．甲、乙两种大米，购买相同重量的大米，甲大米花费240元，乙大米花费300元，甲大米每千克比乙大米贵2元，求甲乙大米单价。 解：设乙大米单价为元/kg，甲大米单价为元/kg； 由题意得：， 解得，经检验：是原方程的解且符合题意。 甲单价：元/kg； 答：甲大米单价12元/kg，乙大米单价10元/kg。 4．甲乙两个水泵抽水，甲水泵抽完一池水需要比乙少用3小时，两泵同时抽水6小时可以抽完整池水，求甲乙单独抽水各需要多少小时？ 解：设甲单独抽水需要小时，乙单独抽水需要小时； 由题意得：， 解得，（舍去负根）， 经检验：是原方程的解且符合题意。 乙用时：小时； 答：甲单独抽水需12小时，乙单独抽水需15小时。 【随堂演练】 1．下列方程中，是分式方程的是（ ） 　A. +1＝3　　B. ＝5　　C. 2x+1＝7 D.x2+1=5 【答案】B 2．解方程：＝1,x= 。 【答案】x＝4 3．解方程：＝ 。 解：方程两边同乘：(x+1)(x-1)得： x(x-1)＝x(x+1)， 解得x＝0。经检验：将x＝0代入(x+1)(x-1)≠0 。 所以原方程的解为：x＝0。 4．若关于x的方程+ ＝ 1有增根，求m的值。 解：去分母得：m-3＝x-2 ，则x＝m-1。 将增根x＝2代入得：m-1＝2，解得m＝3。 5．解分式方程的最后一步必须 。 【答案】检验 6．甲、乙合做一项工程3天完成。若甲单独做需5天，则乙单独做需 天。 【答案】7.5 【解析】设乙单独需x天， + ＝ → ＝ - ＝ ，解得x＝7.5。 【课后对点练】 一、选择题 1．方程 ＝2 的解为（ ） 　A.x＝ 　　 B.x＝ 　　 C.x＝2 D.x＝-2 【答案】A 【解析】1＝2(x-1) → 2x-2＝1 → 2x＝3 → x＝ 。 2．分式方程+ ＝ 2的解是（ ） 　A. x＝2　　 B. x＝5　　 C.x＝-5 D.无解 【答案】B 【解析】变形： - ＝2 → ＝2 → x-1＝2x-6 → x＝5。检验5≠3。 3．方程 + ＝ 0 的解为（ ） 　A. x＝- 　　 B. x＝-1　　 C. x＝0 D.x＝1 【答案】A 【解析】去分母：(x+1)+2x＝0 → 3x＝-1 → x＝- 。检验公分母≠0 。 4．关于x的方程＝ a无解，则a＝（ ） 　A.0　　 B.1　　 C.-1 D.2 【答案】C 【解析】去分母：x+a＝a(x-1) → x+a＝ax-a → x(1-a)＝-2a。无解情况：①1-a＝0且-2a≠0 → a＝1时x·0＝-2矛盾，无解；②解为增根x＝1：1+a＝a·0＝0 → a＝-1。增根情况下a＝-1时x＝1增根。综合：a＝1或-1。按选项选C。 5．列方程中，是分式方程的是（ ） 　A. +1＝3　　B. +3＝4　　C. x+1＝7 D.x2-2x=5 【答案】B 6．某人原计划在一定时间内步行40 km。实际速度比原计划快2 km/h，提前1小时到达。设原计划速度为x km/h，方程为（ ） A. - ＝1　　B. - ＝1 C.＝1- D.＝1- 【答案】A 7．一件工作，甲单独做a天，乙单独做b天。甲、乙合作的天数为（ ） 　A.a+b　　 B.　　 C. D.ab 【答案】C 8．方程 + ＝ 有增根，则m的值可能是（ ） 　A. m＝-4或m＝6　　B. m＝4或m＝-6　　C. m＝0 D.m＝4或m＝6 【答案】A 【解析】去分母：2(x+2)+mx＝3(x-2) → 2x+4+mx＝3x-6 → (m-1)x＝-10。增根x＝2：2(m-1)＝-10 → m＝-4。增根x＝-2：-2(m-1)＝-10 → m-1＝5 → m＝6。 二、填空题 9．分母中含有 的方程叫作分式方程。 【答案】未知数 10．方程＝ 0的解的情况是 。 【答案】无解 【解析】 ＝0，分子为1≠0，无论x取何值分式值都不为0。 11．方程 - ＝ 的最简公分母是 。 【答案】x(x+1)(x-1) 12．工程问题中，常把总工作量看作 。 【答案】1 13．解方程＝ ，得x＝ 。 【答案】5 14．若关于x的方程 - ＝ 1的增根为x＝2，则 m＝ 。 【答案】-2 【解析】去分母乘(x-2)(x+2)：(x+m)(x+2)-(x-2)＝(x-2)(x+2)。 x＝2代入：(2+m)·4-0＝0 → m＝-2。 三、解答大题 15．（6分）解分式方程： （1）+ ＝ ；　　 （2）+ ＝ 。 解：（1）方程两边同乘x(x-1)得： 3(x-1)+6x＝x+5， 9x-3＝x+5 ， 8x＝8，x＝1。检验：将x＝1代入(x-1)＝0 ， 所以x＝1是增根，故方程无解。 （2）方程两边同乘(x+1)(x-1)得： 2(x-1)+3(x+1)＝6， 5x+1＝6， x＝1。检验：将x＝1代入(x+1)(x-1)=0。 所以x＝1是增根，故方程无解。 16．（7分）关于x的方程 ＝ 1 的解是正数，求a的取值范围。 解：去分母：2x+a＝x-1可得：x＝-a-1。 解为正数：-a-1＞0 ，解得： a＜-1。 同时x-1≠0可得-a-1≠1，则a≠-2。故a的取值范围为a＜-1且a≠-2。 17．（7分）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲走15千米所用时间和乙走21千米所用时间相同，乙每小时比甲多走2千米，求甲乙两人的速度。 解：设甲速度为km/h，乙速度为km/h； 列方程： 解得，经检验：是原方程解，符合题意；乙速度：km/h； 答：甲速度为5km/h，乙速度为7km/h。 18．（8分）甲、乙两人共同完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用5天，已知甲6天的工作量等于乙10天的工作量，求甲、乙单独完成工程各需要多少天？ 解：设甲单独完成需要天，则乙单独完成需要天； 根据工作量相等列方程：， 去分母：，展开得， 解得：，则， 经检验：是原方程解，符合题意； 答：甲单独完成需7.5天，乙单独完成需12.5天。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 【知识点梳理】 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 区别于整式方程：整式方程的分母中不含未知数。例如：＝2是分式方程， +1＝3是整式方程。 2．解分式方程的一般步骤 ①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ②解整式方程：求出整式方程的根； ③检验（必考）：将整式方程的根代入最简公分母，若公分母≠0，则为原方程的根；若公分母＝0，则为增根，舍去。 3．增根的概念：在去分母过程中，两边同乘的整式可能为零，从而产生使原方程分母为零的根，这种根叫作原方程的增根。 增根不是原分式方程的根，必须舍去。检验是解分式方程的必做步骤。 4．分式方程应用题解题六步法 （1）审（审题，找等量关系）； （2）设（设未知数，标明单位）； （3）列（列分式方程）； （4）解（解分式方程）； （5）验（双重检验：检验方程根的有效性＋检验根的实际意义合理性）； （6）答（写完整答案）。 5．常见分式方程应用题类型 ①行程问题：路程＝速度×时间，常设速度为未知数； ②工程问题：工作量＝工作效率×时间，常将总工作量视为1； ③购物/单价问题：总价＝单价×数量。 【典例精讲】 题型1：解基础分式方程 解题要点：去分母→解整式方程→代入最简公分母检验。 【典例1】解方程： ＝2。 【典例2】解方程： ＝ 。 【典例3】解方程： + ＝ 3。 跟踪训练： 1．解方程：＝ 。 2．解方程：＝ + 1。 3．解方程：＝ 。 4．解方程：+ ＝ 1。 题型2：已知分式方程有增根，求参数值 【典例1】若关于x的分式方程+ ＝ 有增根，则增根的值为 。 【典例2】关于x的分式方程- ＝ 有增根 x＝1，求m。 【典例3】若方程+ ＝2有增根，求a的值。 跟踪训练 1．使分式方程产生增根的x值满足的条件是：使 为零。 2．若方程 - ＝ 0有增根，则增根的值为 。 3．已知方程- ＝ 1 有增根x＝2，求k的值。 4．若方程+ ＝ 的增根为x＝1，求a的值。 题型3：分式方程应用题 【典例1】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划匀速行驶，一小时后提速50%，最终提前40分钟到达目的地，求汽车原计划行驶速度。 【典例2】一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，若甲先单独做5天，之后甲乙合作，还需要多少天完成工程？ 【典例3】用300元可以购买甲种笔记本的数量，比用300元购买乙种笔记本的数量少10本，已知乙种笔记本单价比甲种便宜5元，求两种笔记本单价。 跟踪训练： 1．某工程队承接一项挖土任务，计划挖土1200立方米，实际工作效率提高20%，最终提前2天完成任务，求计划每天挖土多少立方米？ 2．小明步行3千米的路程，骑自行车比步行少用30分钟，已知骑车速度是步行速度的3倍，求小明步行和骑车的速度。 3．甲、乙两种大米，购买相同重量的大米，甲大米花费240元，乙大米花费300元，甲大米每千克比乙大米贵2元，求甲乙大米单价。 4．甲乙两个水泵抽水，甲水泵抽完一池水需要比乙少用3小时，两泵同时抽水6小时可以抽完整池水，求甲乙单独抽水各需要多少小时？ 【随堂演练】 1．下列方程中，是分式方程的是（ ） 　A. +1＝3　　B. ＝5　　C. 2x+1＝7 D.x2+1=5 2．解方程：＝1,则x= 。 3．解方程：＝ 。 4．若关于x的方程+ ＝ 1有增根，求m的值。 5．解分式方程的最后一步必须 。 6．甲、乙合做一项工程3天完成。若甲单独做需5天，则乙单独做需 天。 【课后对点练】 一、选择题 1．方程 ＝2 的解为（ ） 　A.x＝ 　　 B.x＝ 　　 C.x＝2 D.x＝-2 2．分式方程+ ＝ 2的解是（ ） 　A. x＝2　　 B. x＝5　　 C.x＝-5 D.无解 3．方程 + ＝ 0 的解为（ ） 　A. x＝- 　　 B. x＝-1　　 C. x＝0 D.x＝1 4．关于x的方程＝ a无解，则a＝（ ） 　A.0　　 B.1　　 C.-1 D.2 5．列方程中，是分式方程的是（ ） 　A. +1＝3　　B. +3＝4　　C. x+1＝7 D.x2-2x=5 6．某人原计划在一定时间内步行40 km。实际速度比原计划快2 km/h，提前1小时到达。设原计划速度为x km/h，方程为（ ） A. - ＝1　　B. - ＝1 C.＝1- D.＝1- 7．一件工作，甲单独做a天，乙单独做b天。甲、乙合作的天数为（ ） 　A.a+b　　 B.　　 C. D.ab 8．方程 + ＝ 有增根，则m的值可能是（ ） 　A. m＝-4或m＝6　　 B. m＝4或m＝-6　　 C. m＝0 D.m＝4或m＝6 二、填空题 9．分母中含有 的方程叫作分式方程。 10．方程＝ 0的解的情况是 。 11．方程 - ＝ 的最简公分母是 。 12．工程问题中，常把总工作量看作 。 13．解方程＝ ，得x＝ 。 14．若关于x的方程 - ＝ 1的增根为x＝2，则 m＝ 。 三、解答大题 15．（6分）解分式方程： （1）+ ＝ ；　　 （2）+ ＝ 。 16．（7分）关于x的方程 ＝ 1 的解是正数，求a的取值范围。 17．（7分）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲走15千米所用时间和乙走21千米所用时间相同，乙每小时比甲多走2千米，求甲乙两人的速度。 18．（8分）甲、乙两人共同完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用5天，已知甲6天的工作量等于乙10天的工作量，求甲、乙单独完成工程各需要多少天？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $