1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(湘教版2024)

课题 第1章 1.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 ①能够正确识别符合公式法因式分解的多项式； ②会利用完全平方式进行因式分解； ③会用因式分解解决相关问题. 2.过程与方法目标 使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式. 3.情感、态度和价值观目标 培养学生的逆向思维能力. 教学重难点 重点： 会用完全平方公式分解因式. 难点： 识别一个多项式是否适合用完全平方公式分解因式. 教学准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入 1.什么是因式分解？ 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 2.请写出完全平方公式. 完全平方公式1：(a+b)2=a2+2ab+b2. 完全平方公式2：(a-b)2=a2-2ab+b2. 两数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍，这个公式叫做（乘法的）完全平方公式.形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫这完全平方式. 二、讲授新课 （一）用完全平方公式分解因式 例如，在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式(x+2)2=x2+4x+4. 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2+4x+4因式分解：x2+4x+4=(x+2)2. 1.直接用完全平方公式分解因式 例1 把9x2-6x+1因式分解. 分析 由于9x2=(3x)2，1=12，2·3x·1=6x，因此9x2-6x+1符合完全平方公式2右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式2，就可以把完全平方公式2因式分解. 解 9x2-6x+1=(3x)2-2·3x·1+12=(3x-1)2. 议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 小组讨论解答. 2.先提取公因式再用完全平方公式分解因式 例2 把下列多项式因式分解： (1)-4x2+12xy-9y2； (2)x5+2x3y+xy2. 解 (1)-4x2+12xy-9y2=-(4x2-12xy+9y2) =-[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2] =-(2x-3y)2. (2)x5+2x3y+xy2=x(x4+2x2y+y2) =x[(x2)2+2·x2·y+y2] =x(x2+y)2. 3.用平方差公式和完全平方公式分解因式 例7 把多项式x4-2x2+1因式分解. 解 x4-2x2+1=(x2)2-2·x2·1+12 =(x2-1)2 =[(x+1)(x-1)]2 =(x+1)2(x-1)2. 做一做：可以利用完全平方公式把多项式(x+y)2-4(x+y)+4因式分解吗？ 提示：将x+y看作一个整体. (x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+4=(x+y-2)2. （二）用完全平方公式分解因式的应用 1.由完全平方式求字母的值 例1 多项式x2+(2m-1)x+16是完全平方式，求m的值. 解：由完全平方式x2+(2m-1)x+16得 x2+(2m-1)x+16=x2±8x+16， 则2m-1=8， 解得m=或m=-. 2.探究：利用公式法因式分解的技巧 技巧1：巧提“负”号 技巧2：巧提公因式 技巧3：巧用整体 3.拓展与应用 例 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2=4a+6b+4c-17判断△ABC的形状，并证明你的结论. 解 a2+b2+c2=4a+6b+4c-17， a2+b2+c2-4a-6b-4c+17=0， (a2-4a+4)+(b2-6b+9)+(c2-4c+4)=0， (a-2)2+(b-3)2+(c-2)2=0. 因为(a-2)2≥0且(b-3)2≥0且(c-2)2≥0， 所以(a-2)2=0且(b-3)2=0且(c-2)2=0， 所以a=2，b=3，c=2， 所以△ABC为等腰三角形. 思考题：当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值. 三、课堂小结 1．完全平方公式有什么特点？ 2．用完全平方公式分解因式关键是先识别一个多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于a，什么相当于b. 四、板书设计 1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2．能用完全平方公式分解因式的多项式特点： (1)必须是三项式(或可以看成三项的)； (2)有两个同号的平方项； (3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 教学设计反思 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$