1.2.2 提多项式公因式-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(湘教版2024)

课题 第1章 1.2 提公因式法 第2课时 提多项式公因式 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 进一步理解公因式的概念，并能熟练地找出多项式的公因式；进一步掌握用提公因式法把多项式因式分解. 2.过程与方法目标 经历探索公因式是多项式时的公因式的识别与提公因式法因式分解，依据数学化归思想方法进行因式分解. 3.情感、态度和价值观目标 增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的经验，体会其应用价值. 教学重难点 重点： 公因式是多项式的提公因式法因式分解. 难点： 适时添加括号或变形后找公因式. 教学准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入 1．因式分解：2ax－4a2y. 2．在多项式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替换，则可得到多项式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，还可以进行因式分解吗？如果可以，怎样进行因式分解？ 二、讲授新课 探究点一：确定多项式公因式 类型一 直接确定公因式 例1 把多项式x(x-2)-y(x-2)因式分解. 解析：把x-2看作一个整体，直接提出公因式x-2. 解 x(x-2)-y(x-2)=(x-2)(x-y). 方法总结：在确定多项式的公因式时，如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式．即：公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数，公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂． 类型二 通过变形确定公因式 例2 把多项式x(x-2)-y(2-x)因式分解. 解析：把2-x变形为-(x-2)，再提出公因式x-2. 解 x(x-2)-y(2-x)=x(x-2)-y[-(x-2)] =x(x-2)+y(x-2) =(x-2)(x+y). 方法总结：底数互为相反数时，可通过如下两个等式变形：(a-b)2n＝(b-a)2n，(a-b)2n＋1＝-(b-a)2n＋1(n为正整数)．因此，确定公因式时，原多项式中的部分项的因式可适当变形，在变形时要特别注意符号． 探究点二：提多项式公因式进行因式分解 类型一 提公因式进行因式分解 例1 把多项式12xy2(x-y)2-18x2y(y-x)2因式分解. 解：12xy2(x-y)2-18x2y(y-x)2 =12xy2(x-y)2-18x2y(x-y)2 =6xy(x-y)2·2y-6xy(x-y)2·3x =6xy(x-y)2(2y-3x). 例2 把多项式2x3y-10xy2因式分解. 分析 2=2×，10=10×，所以公因式的系数为2. 解：2x3y-10xy2 =2xy·x2-2xy·5y =2xy(x2-5y). 方法总结：提取公因式后，每个因式中都要合并同类项，化为最简形式．一般情况下，最后结果中最多只能含有小括号，而不能含有中括号或大括号等． 议一议：将多项式x3y2-x2y3因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？ 解：x3y2-x2y3=x2y2·x-x2y2·y=x2y2(x-y). 类型二 利用因式分解整体代换求值 例 已知2a+b＝7，ab＝4，求2a2b+ab2的值． 解析：原式提取公因式变形后，将2a+b与ab的值代入计算即可求出值． 解：因为2a+b＝7，ab＝4， 所以原式＝ab(2a+b)＝4×7＝28. 方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值． 类型三 因式分解化简多项式后，求代数式的值 例 先因式分解，再求值： (2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2-x(2x+1)(2-3x)，其中x＝. 解析：式中除含有公因式(2x+1)外，将第3项中的(2-3x)改写成-(3x-2)后，还有公因式(3x-2)，故可提公因式(2x+1)(3x-2)． 解：原式＝(2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2+x(2x+1)(3x-2) ＝(2x+1)(3x-2)[(2x+1)-(3x-2)+x] ＝(2x+1)(3x-2)(2x+1-3x+2+x) ＝3(2x+1)(3x-2)． 当x＝时，原式＝3×(2×+1)×(3×-2)＝3×4×＝30. 方法总结：当题中含有幂的底数是多项式时，就要观察是否要把某些项中的这类因式变形才能找出公因式；变形时则要注意根据幂的指数的奇偶性考虑其所在项是否要改变符号；在提取幂的底数是多项式这样的公因式时，要把底数的多项式看作一个整体． 三、课堂小结 教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： 1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？ 2.通过本节课的学习，你最深刻的体验是什么？ 3.在本节课的学习中，你还有什么问题不清楚？ 四、板书设计 1．提公因式时，如果多项式的首项符号为负，常提取一个带“－”号的公因式． 2．(a-b)2n＝(b-a)2n，(a-b)2n＋1＝-(b-a)2n＋1(n为正整数)． 教学设计反思 本节课通过提单项式公因式引导出提多项式公因式，学习时可类比提单项式公因式的方法进行．教学中注意底数是互为相反数时的多项式的变形，在式子前面是否要加上负号，并强调提取公因式后剩下的部分一定要化简，并注意不要混淆整式乘法与因式分解. 学科网（北京）股份有限公司 $$