1.3 第1课时 用平方差公式因式分解-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(湘教版2024)

第1章 因式分解 1.3 公式法 第1课时 用平方差公式因式分解 学习目标 1.掌握平方差公式的特点，能熟练地用平方差公式对多项式进行因式分解；（重、难点） 2.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识和能力. 新课导入 说一说 平方差公式 像上面那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 公式中的x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入. x2-25 = x2-52 = ( x+5 )( x-5 ). (x+y)(x-y)=x2-y2 例如，在平方差公式中，将y用5代入得到： (x+5)(x-5)=x2-52=x2-25. 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2-25因式分解： 【例1】把多项式25x2-4y2因式分解. 分析 由25x2=(5x)2，4y2=(2y)2可知，25x2-4y2=(5x)2-(2y)2，于是从右到左使用平方差公式，就可以把25x2-4y2因式分解. 解 25x2-4y2=(5x)2-(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y). 把多项式(x+y)2-(x-y)2因式分解. 由平方差公式得 做一做 与同学交流，具有什么特征的多项式可用平方差公式因式分解. 议一议 ①必须是二项式 ②两项的符号相反 ③每一项都可以写成平方的形式 [(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=(x+y)2-(x-y)2， 于是(x+y)2-(x-y)2=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x·2y=4xy. 【例2】把多项式x4-y4因式分解. 解 x4-y4=( x2 )2-( y2 )2 =( x2+y2 ) ( x2-y2 ) =( x2+y2 ) ( x+y )( x-y ). 【例3】把多项式x5-x3y2因式分解. 分析 多项式x5-x3y2的各项有公因式x3，故应先提出公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解 x5-x3y2=x3(x2-y2 )=x3( x+y )( x-y ). 在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 【例4】把多项式x4-9因式分解. 解 x4-9=(x2)2-32 =(x2+3)(x2-3) =(x2+3)[x+()2] =(x2+3)(x+)(x-). 用简便方法计算： (1)6.12-3.92; (2)0.122-0.882. 解 (1)6.12-3.92=(6.1+3.9)(6.1-3.9) =10×2.2 =22. 做一做 (2)0.122-0.882=(0.12+0.88)(0.12-0.88) =1×(-0.76) =-7.6. 1.把下列多项式因式分解： （1）9y2-4x2; （2）1-25x2; （3）x4-16; 解 （1）9y2-4x2=( 3y )2-( 2x )2 =( 3y+2x )( 3y-2x ). （2）1-25x2=12-( 5x )2 =( 1+5x )( 1-5x ). （3）x4-16=( x2 )2-42 =( x2+4 )( x2-4 ) =( x2+4 )( x+2 )( x-2 ). 随 堂 小 测 1.把下列多项式因式分解： （4）a4-36b4; （5） (m-a)2-(n+b)2; （6）-16x4+81y4. （4）a4-36b4 =(a2)2-(6b2)2 =(a2+6b2)(a2-6b2) =(a2+6b2)(a+b)(a-b). （5） (m-a)2-(n+b)2 =( m-a+n+b )[m-a-(n+b)] =( m-a+n+b )( m-a-n-b ). （6）-16x4 + 81y4=-(4x2)2+(9y2)2 =(9y2+4x2)(9y2-4x2). 2.计算： （1）49.62-50.42； （2）13.32-11.72. 解 （1）49.62-50.42 =(49.6+50.4)(49.6-50.4) =100×(-0.8) =-80. （2） 13.32-11.72 =(13.3+11.7)(13.3-11.7) =25×1.6 =40. 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　） A. -21 B. 21 C. -10 D. 10 解析：b2-a2=(b+a)(b-a)=(a+b)[-(a-b)] =3×(-7) =-21. A 4.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_________. 解析：(4x2+9)(2x+3)(2x-3)=(4x2+9)(4x2-9) =(4x2)2-92 =[(2x)2]2-81 =(2x)4-81. 所以n=4. 4 5.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 解析：(m+2n)2-(3m-n)2 =(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)(2m-3n). 当4m+n=40，2m-3n=5时， 原式的值为-40×5=-200. 6.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 分析 根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可． 解：原正方形的面积为a2，改变边长后的面积为(a+4)(a-4)=a2-16. 因为a2>a2-16，所以李大妈吃亏了. 课堂小结 熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键. 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.公式中的x和y可以是具体数，也可以是单项式或多项式. 注意 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$