四川省巴中市南江县实验中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 南江县实验中学 高 2025 届 2023 年秋学期入学考试 数学卷 一、单选题（共 8小题，每题 5 分，共 40 分） 1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 A． B． C． D． 2．设 a R ，则“ 1a  ”是“ 12a  ”的（ ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．既不充分也不必要 D．充要 3．已知复数 z满足  21 i 2 4iz   ，则 z （ ） A．1 B． 3 C． 2 2 D． 5 4．命题“ x R ， 2 0x  ”的否定是 A． Rx  ， 2 0x  B． Rx  ， 2 0x  C． 0 Rx  ， 2 0 0x  D． 0 Rx  . 2 0x  5．已知实数 a，b，c满足条件 4 0.32 3 log 3, log 0.2 a b c   ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A． a b c  B． a b c  C．b a c  D． c b a  6．若关于 x的不等式 2( 2) ( 2) 1 0a x a x     的解为一切实数，则实数 a的取值范围是（ ） A． 2a  B． 2a  C． 2 2a   D． 2 2a   7．已知函数    2 sin , 0 log , 0 x x f x a x x     ，且 7 1 6 f f         ，则 a （ ） A． 3 2 B．2 C．3 D． ln 2 8．函数  21 2 log 6y x x    的单调增区间为（ ） A． 11, 2      B． 1 ,3 2       C．  2,3 D． 1 , 2      试卷第 2页，共 4页 二、多选题（共 4题，每题 5 分，共 20 分） 9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调 查数据整理得到如下频率分布直方图(如图)： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是( ) A．该地农户家庭年收入低于 5.5万元的农户比率估计为 16% B．该地农户家庭年收入的中位数约为 8.2万元 C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5万元至 8.5万元之间 D．估计该地农户家庭年收入的平均值为 7.68万元 10．p是 q的必要条件的是（ ） A． : 3 2 5, : 2 3 5p x q x      B． : 2, 2, :p a b q a b   C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D． : 0p a  ，q：关于 x的方程 1ax  有唯一解 11．下列说法正确的是（ ） A． 4240 3  B．第一象限的角是锐角 C．1弧度的角比 1°的角大 D．锐角是第一象限的角 12．△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A．若 sin sinA B ，则 A B B．若 2 2 2sin sin sinB C A  ，则△ABC是钝角三角形 C．若 2π 3 B  ， 6b  ，则△ABC面积的最大值是3 3 D．若 sin 2 sin 2A B ，则△ABC为直角三角形 试卷第 3页，共 4页 三、填空题（共 4题，每题 5 分，共 20 分） 13．计算： 1 03 2 264 ( ) log 4 3     ． 14．若向量 a，b  满足 10a   ， 5b   ， 5a b    ，则 a与b  的夹角为 . 15．已知⊙O的半径为 1，A，B为圆上两点，且劣弧 AB的长为 1，则弦 AB与劣弧 AB所 围成图形的面积为 ． 16． 2 2 4 1 sin cosx x  的最小值为 . 四、解答题 17．（10分）如图，已知正方体 ABCD - A′B′C′D. （1）哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线？ （2）直线 BA′和 CC′的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线 AA′垂直？ 18．（12分）已知函数 2 2( ) 2 2 x x x xf x      （Ⅰ）求 ( )f x 的定义域和值域； （Ⅱ）写出 ( )f x )的单调区间，并用定义证明 ( )f x 在所写区间上的单调性 19．（12分）经市场调查，某商场过去 18天内，顾客人数 ( )f t （千人）与时间 t（天）的函 数关系近似满足  *9( ) 1 0 18, Nf t t tt     ，人均消费 ( )g t （元）与时间 t（天）的函数关 系近似满足   * * 1,1 9, N , 99 ,9 18, N . t t t g t t t t            (1)求该商场的日收入 ( )w t （千元）与时间 t（天）  *1 18, Nt t   的函数关系式； (2)求该商场日收入的最小值（千元）. 试卷第 4页，共 4页 20．（12分）已知 ,  为锐角， 4tan 3  ， 5cos( ) 5     ． （1）求 cos2的值； （2）求 tan( )  的值． 21．（12分） ABC 中，内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c， 22sin sin 1 2 A B C   . (1)求角C的大小； (2)若 2a  ， 1c  ，求 ABC 的面积. 22．（12分）若函数 ( )f x 对于其定义域内的某一个数 0x ，有  0 0f x x  ，则称 0x 是 ( )f x 的一 个好点．已知函数 2( ) ( 1) 1( 0)f x ax b x b a      (1)当 1, 3a b   时，求函数 ( )f x 的好点； (2)若对任意的实数 b，函数 ( )f x 恒有两个好点，求 a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若 ( )y f x 图象上两个点 A，B的横坐标是函数 ( )f x 的好点，且 A，B 的中点 C在函数 2( ) 33 6 1 ag x x a a     的图象上，求 b的最大值． 参考公式：    1 1 2 2, , ,A x y B x y 的中点坐标 1 2 1 2,2 2 x x y y       ．