3.2.1 单调性与最大(小)值（第2课时）（导学案）数学人教A版2019必修第一册

3.2 3.2.1 单调性与最大(小)值（第2课时） 函数的最大(小)值 导学案 1. 通过具体函数图象的观察，经历单调性概念的抽象过程，能准确表述单调递增、单调递减及增函数、减函数的定义，理解“任意性” “有序性”等关键词的含义。 2. 能结合函数解析式判断简单函数的单调性，识别函数的单调区间。 3. 掌握用定义证明函数单调性的基本步骤，能独立完成简单函数的单调性证明。 4. 在概念形成和证明过程中，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，体会数形结合的思想。 教学重点：函数最大值、最小值的概念及几何意义,利用函数的单调性求最值的方法,二次函数在闭区间上的最值求解; 教学难点:理解最值定义中“任意性”与“存在性”的严谨性,二次函数在含参数的闭区间上的最值分类讨论,实际问题中函数模型的构建及最值求解。 第一环节 自主学习 知识点　　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x) M f(x) M ∃x0∈D，使得 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的 导入1 外卖满减的“最优凑单” 【情境】“饿了么”平台：某店铺“满30减10，满60减25”。小明想买一杯18元的奶茶，为了省钱考虑加购小食。设加购x个单价为4元的小蛋挞，总付款为y元。 【教师提问】“同学们帮小明算一算，加购几个蛋挞最划算？最少实付多少钱？” 导入2 校园“节水达人”赛 【情境】学校举行节水创意赛，某班设计一个“喷淋浇灌”抛物线水柱，其轨迹模型为h(t)= –5t²+20t+1（h：高度/m，t：时间/s）。评委要求水柱达到最高点时恰好浇灌到2.5 m高的绿植。 【教师提问】“水柱能否满足要求？若能，是在第几秒？” 探究点1：最大值与最小值的定义 抽象定义： 结合y=-x²的图象，分析“最大值”的两个特征： ① 所有函数值均不超过0（∀x∈R，-x²≤0）； ② 存在x=0使f(0)=0（∃x₀∈R，f(x₀)=0）。 给出定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在实数M满足： （1）∀x∈D，f(x)≤M；（2）∃x₀∈D，f(x₀)=M，则M是f(x)的最大值。 学生类比得出最小值定义：∀x∈D，f(x)≥M且∃x₀∈D，f(x₀)=M，则M是最小值。 关键词辨析： 提问：“若f(x)≤3对∀x∈D成立，但不存在x₀使f(x₀)=3，3是最大值吗？”（不是，如f(x)=-x²≤3，但最大值是0）。 强调：“任意性”保证M是“上界”，“存在性”保证M是“可达的上界”。 几何意义：最大值是函数图象最高点的纵坐标，最小值是最低点的纵坐标（如y=x在R上无最值，因图象无最高点/最低点）。 探究点1 .最大值与最小值 再来观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数的图象上有一个最低点，即，都有．当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值． 思考 你能以函数为例说明函数的最大值的含义吗？ 一般地，设函数的定义域为，如果村子实数满足： （1），都有； （2），都有． 那么，我们称是函数的最大值（maximumvalue）． 思考 你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimumvalue）的定义吗？ 1. 最大值: 一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实 数 满足: (1) ,都有 ; (2) ,使得 . 那么,我们称 是函数 的最大值. 2. 最小值: 一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实 数 满足: (1) ,都有 ; (2) ,使得 . 那么,我们称 是函数 的最小值. 特别提示 函数最大 (小) 值的几何意义: 函数的最大 值对应图象最高点的纵坐标, 函数的最小值对应图象最低 点的纵坐标. 探究点2.单调性法求最值 例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？ 【变式1】　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． 例5已知函数（），求函数的最大值和最小值． 【变式2】已知函数f(x)＝. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1,5]上的最值． 问题4结合三个例题，请你归纳求函数最大值和最小值的一般步骤，并说说单调性和最值的关系. 师生活动师生一起梳理出解题步骤： 第一步，确定函数定义域； 第二步，通过图象或者代数推理（利用单调性的定义证明）函数的单调性； 第三步，将可能取得最值的自变量代入，求出对应函数值； 第四步，比较大小，求出最大（小）值. 由学生回答单调性和最值之间的关系. 设计意图在应用中理解函数最大值、最小值的定义，总结求最值的基本步骤，感悟最大（小）值与单调性之间的关系，提高逻辑推理的严谨性、表达的规范性. 1.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）    A．－2，f（2） B．2，f（2） C．－2，f(5) D．2，f(5) 2.二次函数的最大值是3，则（   ） A． B．1 C． D． 3.函数的最大值是（    ） A． B．0 C．4 D．2 4.设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（    ） A．4 B．6 C．10 D．24 5.若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 6.（多选题）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1 C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1 7.定义在上的函数，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 8.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（多选题）若函数的最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 10.（多选题）函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （    ） A．最小值为 B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值 1.（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高一上·贵州黔东南·期末）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(    ) A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2 C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数 3.（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D．0 4.设，若是的最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识梳理函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得 . 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得 . 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 3.2.1 单调性与最大(小)值（第2课时） 函数的最大(小)值 导学案 1. 通过具体函数图象的观察，经历单调性概念的抽象过程，能准确表述单调递增、单调递减及增函数、减函数的定义，理解“任意性” “有序性”等关键词的含义。 2. 能结合函数解析式判断简单函数的单调性，识别函数的单调区间。 3. 掌握用定义证明函数单调性的基本步骤，能独立完成简单函数的单调性证明。 4. 在概念形成和证明过程中，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，体会数形结合的思想。 教学重点：函数最大值、最小值的概念及几何意义,利用函数的单调性求最值的方法,二次函数在闭区间上的最值求解; 教学难点:理解最值定义中“任意性”与“存在性”的严谨性,二次函数在含参数的闭区间上的最值分类讨论,实际问题中函数模型的构建及最值求解。 第一环节 自主学习 知识点　　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 [提醒]　(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值． (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略． [想一想]　(1)任何函数都有最大值或最小值吗？ (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最值一定是f(a)或f(b)吗？ 提示：(1)不是．　(2)不一定． 导入1 外卖满减的“最优凑单” 【情境】“饿了么”平台：某店铺“满30减10，满60减25”。小明想买一杯18元的奶茶，为了省钱考虑加购小食。设加购x个单价为4元的小蛋挞，总付款为y元。 【教师提问】“同学们帮小明算一算，加购几个蛋挞最划算？最少实付多少钱？” 【设计意图】用学生熟悉的消费场景，引发“最小化付款”需求，自然引出“最小值”话题；同时让学生体会“定义域x≥0且x为整数”的限制。 【教学建议】板书学生提出的不同方案，暂不给出答案，留到“应用新知”环节验证。 导入2 校园“节水达人”赛 【情境】学校举行节水创意赛，某班设计一个“喷淋浇灌”抛物线水柱，其轨迹模型为h(t)= –5t²+20t+1（h：高度/m，t：时间/s）。评委要求水柱达到最高点时恰好浇灌到2.5 m高的绿植。 【教师提问】“水柱能否满足要求？若能，是在第几秒？” 【设计意图】以校园活动为背景，将“最大值”问题嵌入真实任务，激发学生探究欲。 【教学建议】让学生先猜后验证，为后面的二次函数最值做铺垫。 探究点1：最大值与最小值的定义 抽象定义： 结合y=-x²的图象，分析“最大值”的两个特征： ① 所有函数值均不超过0（∀x∈R，-x²≤0）； ② 存在x=0使f(0)=0（∃x₀∈R，f(x₀)=0）。 给出定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在实数M满足： （1）∀x∈D，f(x)≤M；（2）∃x₀∈D，f(x₀)=M，则M是f(x)的最大值。 学生类比得出最小值定义：∀x∈D，f(x)≥M且∃x₀∈D，f(x₀)=M，则M是最小值。 关键词辨析： 提问：“若f(x)≤3对∀x∈D成立，但不存在x₀使f(x₀)=3，3是最大值吗？”（不是，如f(x)=-x²≤3，但最大值是0）。 强调：“任意性”保证M是“上界”，“存在性”保证M是“可达的上界”。 几何意义：最大值是函数图象最高点的纵坐标，最小值是最低点的纵坐标（如y=x在R上无最值，因图象无最高点/最低点）。 【设计意图】通过具体函数分析，让学生经历从直观到抽象的过程，理解定义的严谨性。 探究点1 .最大值与最小值 再来观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数的图象上有一个最低点，即，都有．当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数有最小值． 思考 你能以函数为例说明函数的最大值的含义吗？ 一般地，设函数的定义域为，如果村子实数满足： （1），都有； （2），都有． 那么，我们称是函数的最大值（maximumvalue）． 思考 你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimumvalue）的定义吗？ 1. 最大值: 一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实 数 满足: (1) ,都有 ; (2) ,使得 . 那么,我们称 是函数 的最大值. 2. 最小值: 一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在实 数 满足: (1) ,都有 ; (2) ,使得 . 那么,我们称 是函数 的最小值. 特别提示 函数最大 (小) 值的几何意义: 函数的最大 值对应图象最高点的纵坐标, 函数的最小值对应图象最低 点的纵坐标. 探究点2.单调性法求最值 例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？ 解：画出函数的图象（图3.2-4）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 烟花设计者就是按照这些数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果． 由二次函数的知识，对于函数，我们有： 当时，函数有最大值． 于是，烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m． 师生活动：学生阅读题目，理解题意，教师引导学生思考“爆裂的最佳时刻”的含义，可以依据函数的哪个性质求解，可以根据哪类函数的知识求解等，然后由师生共同解答. 设计意图：体会函数模型的现实应用，把实际问题转化为二次函数最大值问题，感受函数性质的应用价值. 【变式1】　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． 【解析】作出f(x)的图象，如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值2； 当x＝时，f(x)取最小值－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤 例5已知函数（），求函数的最大值和最小值． 分析：由函数（）的图象（图3.2-5）可知，函数在区间上单调递减．所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值． 解：，且，则 ． 由，得，， 于是，即． 所以，函数在区间上单调递减． 在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是． 师生活动：学生先独立思考理解题意，再交流解题思路.教师引导学生思考如何获得解题方向（画图，或代入特殊值后猜想单调性）,如何精确判断单调性，如何确保满足最大值和最小值定义中的两个条件等.明确解题步骤后，再由学生自主完成解答,再投影展示学生的解题过程，规范格式. 设计意图：渗透函数图象变换，拓展学生的思路. 【变式2】已知函数f(x)＝. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1,5]上的最值． (1)证明　设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>， f(x1)－f(x2)＝－ ＝.由于x2>x1>， 所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝在区间上单调递减． (2)解　由(1)知，函数f(x)在[1,5]上单调递减， 因此，函数f(x)＝在区间[1,5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝. 反思感悟　(1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 问题4结合三个例题，请你归纳求函数最大值和最小值的一般步骤，并说说单调性和最值的关系. 师生活动师生一起梳理出解题步骤： 第一步，确定函数定义域； 第二步，通过图象或者代数推理（利用单调性的定义证明）函数的单调性； 第三步，将可能取得最值的自变量代入，求出对应函数值； 第四步，比较大小，求出最大（小）值. 由学生回答单调性和最值之间的关系. 设计意图在应用中理解函数最大值、最小值的定义，总结求最值的基本步骤，感悟最大（小）值与单调性之间的关系，提高逻辑推理的严谨性、表达的规范性. 1.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）    A．－2，f（2） B．2，f（2） C．－2，f(5) D．2，f(5) 【答案】C 【知识点】函数图象的应用 【分析】找到图象的最高点和最低点即可找出最大值和最小值. 【详解】根据图象，由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象求最值，属于基础题. 2.二次函数的最大值是3，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值． 【详解】因为二次函数有最大值， 所以． 又二次函数的最大值为， 由题意得或， 因为，所以 故选：A. 3.函数的最大值是（    ） A． B．0 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【解析】对函数的解析式进行配方，最后求出函数的最大值. 【详解】函数，当时，函数取得最大值4. 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的最大值，属于基础题. 4.设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（    ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解. 【详解】因为f(x)= =2+， 所以f(x)在[3，4]上是减函数. 所以m=f(4)=4，M=f（3）=6. 所以. 故选：C. 5.若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【答案】B 【知识点】根据函数的最值求参数、一次函数的图像和性质 【分析】注意讨论的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得. 【详解】依题意，当时，，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，所以，得； 当时，在区间上单调递减，所以，得． 综上，a的值为 故选: B. 6.（多选题）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1 C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1 【答案】AD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【解析】根据一次函数的图象与性质，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值为1；当时，函数取得最小值为． 当时，函数在区间上单调递增，当时， 函数取得最小值为1，当时，函数取得最大值为． 故选：AD． 7.定义在上的函数，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】先判断出函数在上单调递减，进而可得出. 【详解】对任意，有，所以函数在上单调递减， 又，则. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的推理能力，属于基础题. 8.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据二次函数的对称性，得到且，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线， 要使得当，函数的最大值为，则满足且， 解得，所以实数的取值范围是. 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 9.（多选题）若函数的最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值. 【详解】函数开口向上，对称轴为， 若，即时，解得或（舍去）， 若，即时，函数在上单调递减，所以，解得， 若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去）， 综上可得或. 故选：BD 10.（多选题）函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （    ） A．最小值为 B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值 【答案】BD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值． 【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4， 由于x=5取不到，则最小值取不到． 故选：BD 1.（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数的性质，只需要的值域包含即可，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，的值域为． 当时，符合题意． 当时，函数的图象开口向上，不符合题意． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 综上，的取值范围是． 故选：D 2.（21-22高一上·贵州黔东南·期末）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(    ) A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2 C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数 【答案】AB 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的值域或最值、分段函数的单调性、求分段函数值 【分析】根据分段函数的表达式分别进行判断即可． A：分别求x≤1和x＞1时f(x)的范围即可； B：代入f(x)＝x＋2计算即可； C：分类讨论f(x)＝－1时x取值即可； D：分别判断x≤1和x＞1时单调性即可. 【详解】当时，是增函数，则此时(1)， 当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确； ，故B正确； 当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误； 当时，是增函数，故D错误， 故选：AB． 3.（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】AB 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解. 【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即； 当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即． 故选AB． 【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题. 4.设，若是的最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的值域或最值、根据函数的最值求参数、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】利用二次函数的性质，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 此时函数的最小值为， 若，则，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据不等式的基本性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键． 知识梳理函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$