3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第六课时）单调性解不等式问题导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第六课时）导学案-单调性解不等式问题 一、学习目标 1.了解单调性的函数概念，学会利用单调性解不等式。 2.能运用函数单调性解决问题，理解有外及内的思想. 3.培养单调性解决问题的能力。 二、学习重难点 重点：学会利用单调性解不等式。 难点：培养单调性解决问题的能力。 3、 知识点自主预习填空 1．单调性的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I， ∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 ， 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 函数f(x)在区间D上是增函数. 区间D为f(x)的单调递增区间. ∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 ， 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 函数f(x)在区间D上是减函数. 区间D为f(x)的单调递减区间. 图象描述 当函数在定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. 若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 2.函数最大（小）值： （1）定义：设函数满足，则是函数的最大值，记作； 设函数满足，则是函数的最小值，记作； （2） 求法：①利用函数的单调性求解；②通过换元、配方、反解等求函数的值域；③利用不等式性质求；④二次函数利用性质求等。 3.复合函数单调性的判断方法： ⑴如果函数和都是减函数（增函数）,则在公共定义域内, 和函数也是减函数（增函数）; ( 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 小结： 同增异减 。 研究函数的单调性， 定义域优先考虑。 且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。 ) 4、 典例详解 考点01：根据函数的单调性解不等式 例1：1．若函数在R上是增函数，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用函数单调性的定义，列不等式进行求解即可. 【详解】∵函数在R上是增函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：C． 2．已知函数，且当时，总有，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意在是单调增函数，再利用函数的单调性解不等式即可． 【详解】由题意在是单调增函数， 则转化为，解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为：． 考点02：比较函数值的大小 例2：1．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 2．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 考点03：函数不等式恒成立问题 例3：1．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先由不等式在上恒成立，可求出，再用不等式性质，用表示出，即可求解. 【详解】设，因为不等式在上恒成立，所以 令，则， 解得，所以， 故选：B. 2．（多选）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】根据题意设，通过变形得到恒成立，进而构造，转化为在上单调递减进而分类讨论求解即可. 【详解】不妨设，则， 根据题意，可得恒成立， 即恒成立， 令， 则恒成立，所以函数在上单调递减. 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，要使在上单调递减， 则解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：AB 考点04：函数不等式能成立（有解）问题 例4：1．，使得不等式成立，则的范围是 . 【答案】 【分析】，使得不等式，其中，即可得答案. 【详解】，使得不等式，其中. 又，当且仅当时取等号，即. 故答案为：. 2．设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求得的最小值，由题意可得，解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数，， 而函数在为减函数，在为增函数，所以， 即函数的最小值为, 又，使得成立，则， 即，解得：或， 即实数的取值范围是或， 故答案为： 考点05：解分段函数的不等式 例5：1．（多选）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．的解集为 D．，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据解析式先求，再求，对于B，分和两种情况求解，对于C，分和两种情况解不等式，对于D，求出函数的值域进而即得. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，当时，由，得，得； 当时，由，得，，得或（舍去）； 综上，或，所以B正确； 对于C，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得或(舍去)； 综上，的解集为，所以C错误； 对于D，当时，，当时，，所以的值域为， 因为，，所以，所以D正确， 故选：ABD. 2．已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）分类讨论即可求解. 【详解】（1） 当时，，则， 当时，，则， （2）任取，故， 由于,所以， 因此，故， 因此函数在区间上是增函数， （3）当时，由时，，解得或， 当时，由时，，解得， 综上可得不等式的解集为． 5、 练习提升 1．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 2．若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为，从而求出的最小值即可． 【详解】若不等式对一切成立，则， 当时，取最大值，故，故的最小值是. 故选：D． 3．已知函数，若，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出函数在时的值域，再根据题意求出m的取值范围. 【详解】函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数在区间上单调递增，，，即函数的值域为. 由方程有解知，，因此，且，解得.故选：C 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了函数在闭区间上的零点问题，考查了数学运算能力. 4．若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 5．定义，设，则下列结论不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．当时，的最大值为 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断. 【详解】，解得或， 所以，函数图像如图所示， ，A选项正确； 不等式的解集为，B选项错误； 当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确； 时，，在上单调递减，D选项正确. 故选：B. 6．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 7．已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 8．下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求. 【详解】，， 即，， ∴，其中在上单调递减， 在上单调递增， 其中时，，当时，， 故，即， 由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”， 其他选项均不合要求. 故选：A 9．（多选）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 10．（多选）如果函数在上是增函数，那么对于任意的、，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数单调性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于ABD选项，因为在上是增函数，对任意的、， 不妨设，则，则，， ，ABD均对； 对于C选项，若，则，则，C错. 故选：ABD. 11．（多选）对于恒成立，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】设，则， 则的图象如下所示： 由图可知当时取得最小值， 即当且仅当时取等号， 因为对于恒成立，所以， 故符合题意的有A、B、C. 故选：ABC 12．已知函数，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式，画出函数图象，由函数图象可得函数的单调性，即可解不等式，求得的取值范围. 【详解】函数， 作出函数的图象如下所示， 由函数图像可知，函数在上单调递减， 故， 所以，解得 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了分段函数图象的画法，由函数单调性解不等式求参数的取值范围，属于基础题. 13．已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 14．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，根据x的范围，可得y的范围，由题意即可，代入计算，即可得答案. 【详解】令， 因为，所以，则， 由恒成立，得的最小值， 又， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 15．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有． (1)求的值； (2)如果，求的取值范围． 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）将代入，即可得； （2）根据已知得在上单调递增，再由已知得，则有，最后应用单调性解不等式求范围. 【详解】（1）对任意，有， 令，得， ； （2）设，由，得，即， 在上单调递增， 令，则，即． 由，得，即， ，解得， 的取值范围是 16．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果； （2）分离参数可得，由基本不等式求得，从而可得的范围. 【详解】（1）当时，，不等式，即， 整理得，解得，故此不等式的解集为． （2）由题意，，得，即恒成立， 又，（当且仅当取等号），即，所以，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第六课时）导学案-单调性解不等式问题 一、学习目标 1.了解单调性的函数概念，学会利用单调性解不等式。 2.能运用函数单调性解决问题，理解有外及内的思想. 3.培养单调性解决问题的能力。 二、学习重难点 重点：学会利用单调性解不等式。 难点：培养单调性解决问题的能力。 3、 知识点自主预习填空 1．单调性的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I， ∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 ， 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 函数f(x)在区间D上是增函数. 区间D为f(x)的单调递增区间. ∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有 ， 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 函数f(x)在区间D上是减函数. 区间D为f(x)的单调递减区间. 图象描述 当函数在定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. 若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 2.函数最大（小）值： （1）定义：设函数满足，则是函数的最大值，记作； 设函数满足，则是函数的最小值，记作； （2） 求法：①利用函数的单调性求解；②通过换元、配方、反解等求函数的值域；③利用不等式性质求；④二次函数利用性质求等。 3.复合函数单调性的判断方法： ⑴如果函数和都是减函数（增函数）,则在公共定义域内, 和函数也是减函数（增函数）; ( 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 小结： 同增异减 。 研究函数的单调性， 定义域优先考虑。 且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。 ) 4、 典例详解 考点01：根据函数的单调性解不等式 例1：1．若函数在R上是增函数，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且当时，总有，若，则实数的取值范围是 . 考点02：比较函数值的大小 例2：1．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 考点03：函数不等式恒成立问题 例3：1．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（多选）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 考点04：函数不等式能成立（有解）问题 例4：1．，使得不等式成立，则的范围是 . 2．设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是 . 考点05：解分段函数的不等式 例5：1．（多选）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．的解集为 D．，则 2．已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 5、 练习提升 1．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 3．已知函数，若，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．定义，设，则下列结论不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．当时，的最大值为 D．在上单调递减 6．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 10．（多选）如果函数在上是增函数，那么对于任意的、，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．（多选）对于恒成立，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，若，则实数的取值范围为 . 13．已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 14．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 15．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有． (1)求的值； (2)如果，求的取值范围． 16．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $