3.2.2第1课时 奇偶性的概念 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性概念，引导学生理解奇偶性定义、掌握判断证明方法及图象对称性应用。通过对比函数单调性引入，以表格梳理定义与图象特点，结合判断题辨析定义域对称性等易错点，搭建从概念到应用的学习支架。 资料注重数学思维与表达，通过定义辨析培养抽象能力，例题分类讨论（定义法、图象法）提升推理意识，利用表格、图象及符号语言清晰表达数学关系，分层习题助力学生逐步掌握，发展数学核心素养。

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 3．2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 知识点　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 答案　 特别提醒　理解函数的奇偶性应关注三点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 1．f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　 　) 2．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　 　) 3．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　 　) 4．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　 　) 5．若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　 　) 6．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(　 　) 一、函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 反思感悟　判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2)． 二、奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． (教师) 延伸探究 1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？ 2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 跟踪训练2　定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小． 三、利用函数的奇偶性求值 例3　(1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________. (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. (2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f(f(－2))＝________. 【随堂演练】 1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 5．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________． 1．知识清单： (1)函数奇偶性的概念． (2)奇函数、偶函数的图象特征． 2．方法归纳：特值法、数形结合法． 3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称． 【课时对点练】 1．(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 4．函数f(x)＝－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．0 6．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________. 7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________． 8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法： ①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；④＝－1. 其中一定正确的为________．(填序号) 9．已知函数f(x)＝x＋(a>0)． (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明． 10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小． 11．函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 12．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 13．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________． 14．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________. 3．2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 知识点　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 答案　定义域关于原点对称． 特别提醒　理解函数的奇偶性应关注三点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 1．f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　×　) 2．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　×　) 3．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　) 4．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　) 5．若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　×　) 6．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(　×　) 一、函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，则f(x)＝0，又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)既是偶函数又是奇函数． (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 反思感悟　判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2)． 解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(－x)＝－＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数． (2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数． 二、奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 解　(1)由题意作出函数图象如图． (2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<2，且x≠0}． (学生) 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． (教师) 延伸探究 1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？ 解　结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)． 2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，单调增区间为(－1,1)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0或x>2}． 跟踪训练2　定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小． 解　(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示． (2)观察图象，知f(3)<f(1)． 三、利用函数的奇偶性求值 例3　(1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________. 答案　－1　1 解析　当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1. (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 答案　7 解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 答案　－1 解析　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－， 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1. (2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则 f(f(－2))＝________. 答案　1 解析　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝0，所以f(f(－2))＝f(0)＝1. 【随堂演练】 1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 答案　C 解析　∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a－1＝0，即a＝1. 2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 答案　B 解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数． 3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 答案　CD 解析　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A； 又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B. 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 答案　3 解析　∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3. 5．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________． 答案　0 解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 1．知识清单： (1)函数奇偶性的概念． (2)奇函数、偶函数的图象特征． 2．方法归纳：特值法、数形结合法． 3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称． 【课时对点练】 1．(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案　ABC 解析　选项ABC中的函数满足f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC. 2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案　B 解析　∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)． 又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数． 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－. 4．函数f(x)＝－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案　C 解析　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称． 5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2. 6．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________. 答案　0 解析　由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________． 答案　5 解析　因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5. 8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法： ①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；④＝－1. 其中一定正确的为________．(填序号) 答案　①② 解析　∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确． 当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确． 9．已知函数f(x)＝x＋(a>0)． (1)若f(1)＝3，求a的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明． 解　(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，所以a＝2>0满足题意． (2)函数f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称． 又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小． 解　(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2. (2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)． 11．函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案　B 解析　若x是有理数，则－x也是有理数，∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数， ∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数． 12．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案　ABD 解析　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数． 13．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________． 答案　0 解析　奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0. 14．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 答案　[－6，－3)∪(0,3) 解析　由f(x)在[0,6]上的图象知， 满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)． 又f(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)． 综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)． 15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________. 答案　 解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 16．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)． (1)证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数． (2)解　由(1)知f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a. 本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $