3.2.1 单调性与最大(小)值（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

人教A版2019必修第一册 第 3 章 单调性与最大（小）值 3.2.1 单调性与最大（小）值（第2课时） 学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值． 3.会借助函数的单调性求最值． 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题． 5.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法. 目录 CATALOG 01.函数的最大(小)值的概念及其几何意义 03.题型强化训练 02.利用函数的单调性解决日常生活中的问题 04.小结及随堂练习 01 函数的最大(小)值的概念及其几何意义 单调性与最大（小）值（第2课时) 导入新知：外卖配送费问题 某店铺 “满30减10， 满60减25”。 小明想买一杯18元的奶茶，为了省钱考虑加购小食。设加购x个单价为4元的小蛋挞，总付款为y元。 导入新知：外卖配送费问题 学校举行节水创意赛，某班设计一个“喷淋浇灌”抛物线水柱，其轨迹模型为h(t)= –5t²+20t+1（h：高度/m，t：时间/s）。评委要求水柱达到最高点时恰好浇灌到2.5 m高的绿植。 “水柱能否满足要求？ 若能，是在第几秒？” 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数图象的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的最值求参数、一次函数的图像和性质 导入新知 函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0) 即对于任意的x∈R，都有f(x)≥ f(0) 当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值. 最小值 新知引入：函数的最大值与最小值 导入新知 应用新知 函数最大值概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用函数单调性求最值或值域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 应用新知 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥ M; （2）存在 ,使得 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数的最值求参数 总结新知 函数 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足： ∀x∈I，都有f(x)≤M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. ∀x∈I，都有f(x)≥M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 ①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素. 无最小值 ②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察). 总结新知 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x)____M f(x)_____M ∃x0∈D，使得___________ 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的_______ ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 知识点：函数的最大值与最小值 02 利用函数的单调性解决日常生活中的问题 单调性与最大（小）值（第2课时) 学习新知 学习新知 烟花设计者就是按照这些数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果． 即 烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m． 学习新知 利用图象求函数最值的方法： (1)画出函数f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用函数单调性求最值或值域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用函数单调性求最值或值域 学习新知 应用新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用函数单调性求最值或值域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系 总结新知 求函数的最大(小)值的方法总结 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 03 题型强化训练 单调性与最大（小）值（第2课时) 能力提升 题型一　利用图象求函数最值 能力提升 题型一　利用图象求函数最值 小结 【感悟提升】利用图象求函数最值的一般步骤 能力提升 题型二 利用单调性求函数的最值 能力提升 题型二 利用单调性求函数的最值 能力提升 题型二 利用单调性求函数的最值 【感悟提升】 1．利用单调性求函数的最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最值． 2．函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)， 最大(小)值是f(b)； (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区 间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个； (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 能力提升 题型三： 求二次函数的最值 小结 能力提升 题型三： 求二次函数的最值 能力提升 题型四：函数最值的实际应用 反思感悟　 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 能力提升 题型四：函数最值的实际应用 解题方法（解函数应用题的一般程序） (1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. (2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模.求解数学模型,得到数学结论. (4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. (5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 04 小结及随堂练习 单调性与最大（小）值（第2课时) 课堂总结 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义．(2)求解函数最值的方法． 2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论． 课堂总结 作业 教材 第86页 习题3.2 第6,7,8题. 单调性与最大（小）值（第2课时) 练习（第81页） 1．整个上午（8：00～12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00～13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才开始转凉．画出这一天8：00～20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间． 练习（第81页） 最小值 练习（第81页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如下图所示， 则此函数的最小值、最大值分别是（    ）   A．－2，f（2） B．2，f（2） C．－2，f(5) D．2，f(5) 【解析】根据图象，由函数最值的几何意义知， 当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 故选：C. 【练习2】若函数 在区间 上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【解析】依题意，当 时， ，不符合题意； 当 时， 在区间 上单调递增，所以 ，得 ； 当 时， 在区间 上单调递减，所以 ，得 ． 综上，a的值为 ，故选: B. 【练习3】函数 的最大值是（    ） A． B．0 C．4 D．2 【解析】函数 ， 当 时，函数 取得最大值4. 故选：C 【练习4】二次函数 的最大值是3，则 （   ） A． B．1 C． D． 【解析】因为二次函数有最大值，所以 ． 又二次函数 的最大值为 ， 由题意得 或 ，因为 ，所以 故选：A. 【练习5】（多选题）若函数 的最小值为 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【解析】函数 开口向上，对称轴为 ， 若 ，即 时 ，解得 或 （舍去）， 若 ，即 时，函数在 上单调递减，所以 ，解得 ， 若 ，即 时，函数在 上单调递增，所以 ， 解得 （舍去），综上可得 或 .故选：BD 【练习6】若函数 ，它的最大值为 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，函数 表示开口向上，且对称轴为 的抛物线， 要使得当 ，函数的最大值为 ，则满足 且 ， 解得 ，所以实数 的取值范围是 . 故选D. 【变式1】　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x，0≤x≤2，,\f(2,x－1)，x>2，))求函数f(x)的最大值、最小值． 【解析】作出f(x)的图象，如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值2； 当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取最小值－eq \f(1,4). 所以f(x)的最大值为2，最小值为－eq \f(1,4). 【练习7】（多选题）函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （    ） A．最小值为 B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值 【解析】函数 在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4， 由于x=5取不到，则最小值取不到． 故选：BD 【练习8】设函数 在区间 上的最大值和最小值分别为M，m则 （    ） A．4 B．6 C．10 D．24 【解析】因为f(x)= =2+ ，所以f(x)在[3，4]上是减函数. 所以m=f(4)=4，M=f（3）=6. 所以 . 故选：C. 【变式2】已知函数f(x)＝eq \f(3,2x－1). (1)证明：函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减；(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值． (1)证明　设x1，x2是区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq \f(1,2)， f(x1)－f(x2)＝eq \f(3,2x1－1)－eq \f(3,2x2－1)＝eq \f(6x2－x1,2x1－12x2－1).由于x2>x1>eq \f(1,2)， 所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减． 【变式2】已知函数f(x)＝eq \f(3,2x－1). (1)证明：函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减；(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值． (2) 解　由(1)知，函数f(x)在[1,5]上单调递减， 因此，函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间[1,5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq \f(1,3). 【练习9】（多选题）下列关于函数 的说法正确的是（    ） A．当 时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 B．当 时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1 C．当 时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1 D．当 时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1 【解析】当 时，函数 在区间 上单调递减， 当 时，函数取得最大值为1；当 时，函数取得最小值为 ． 当 时，函数 在区间 上单调递增，当 时， 函数取得最小值为1，当 时，函数取得最大值为 ． 故选：AD． 【练习10】定义在 上的函数 ，对任意 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，有 ，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对任意 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，有 ，所以函数 在 上单调递减， 又 ，则 . 故选：A. 【例题1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象， 确定函数的最值情况，并写出值域． 【解析】y＝－|x－1|＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，)) 图象如图所示， 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 【例题2】已知函数f(x)＝x＋eq \f(16,x). (1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明； (2)求函数f(x)在[6，9]上的最值． 【解析】(1)函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增． 证明如下：∀x1，x2∈(4，＋∞)，且x1>x2. 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(16,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(16,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x1)－\f(16,x2))) ＝(x1－x2)＋eq \f(16（x2－x1）,x1x2)＝eq \f(（x1－x2）（x1x2－16）,x1x2). 因为x1>4，x2>4，所以x1x2>16，即x1x2－16>0，又因为x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增． 【例题2】已知函数f(x)＝x＋eq \f(16,x). (1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明； (2)求函数f(x)在[6，9]上的最值． 【解析】(2)由(1)知，函数f(x)在(4，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在[6，9]上单调递增． 故函数f(x)在[6，9]上的最小值为f(6)＝6＋eq \f(16,6)＝eq \f(26,3)， 最大值为f(9)＝9＋eq \f(16,9)＝eq \f(97,9). 【例题3】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时， 求函数的最大值和最小值： (1)R； (2)[0，3]； (3)[－1，1]． 【解析】 f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. 当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立． 故函数f(x)的最小值为－7，无最大值． 函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示， 由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值为5； 在x＝2处取得最小值，为－7. 由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减， 所以在x＝－1处取得最大值，为f(－1)＝3×(－1－2)2－7＝20； 在x＝1处取得最小值，为f(1)＝3×(1－2)2－7＝－4. 【感悟提升】二次函数在闭区间上最值的求法 (1)先判断函数图象的对称轴在闭区间内还是在闭区间外． (2)当函数图象的对称轴在闭区间内时，函数在图象顶点处取得一个最值， 另一个最值在距对称轴较远的端点处取得(有时需要讨论图象的对称轴在 闭区间中点的左侧、右侧或过中点的情况)． (3)当函数图象的对称轴不在闭区间内时，最值在两个端点处取得． 注意：对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)＝x－2eq \r(x)－3. 【例题4】将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个， 已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？ 最大利润为多少？ 【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个， 销量为500－10(x－50)＝(1000－10x)个，则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000. 故当x＝70时，ymax＝9000. 即售价为70元时，利润最大值为9000元． $$