第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学七年级上册

第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练 一、单选题 1．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 3．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 4．把三角形按如图所示的规律拼图，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案中三角形的个数为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 5．如图，在内，从图（1）的顶点画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点画2条射线，图中共有6个角，…，按这样规律继续下去，若从顶点画30条射线，则图中共有（   ）个角 A．465 B．450 C．496 D．300 6．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，……，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．19 B．20 C．22 D．25 7．如图是一组有规律的图案，它们是由全等的平行四边形组合而成，第①个图案有个平行四边形，第②个图案有个平行四边形，第③个图案有个平行四边形，，按此规律摆下去，第⑧个图案中的平行四边形个数是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第20幅图形中“●的个数为（　　） A．399 B．420 C．440 D．441 9．已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．今年春节重庆2025架无人机编织盛宴，上演“宠粉”奇观！下图是某公司设计的无人机表演图案，其中第①个图案有1架无人机，第②个图案有4架无人机，第③个图案7架无人机，…．按此规律，第⑩个图案中无人机的架数是（    ） A．25 B．28 C．31 D．33 二、填空题 11．按一定规律排列的单项式：4m，，，，，…据此规律，第12个单项式为 ． 12．如图为某民族服饰的纹样，该纹样中蕴藏着数学知识，其中第1个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第3个图案中有11个花朵图案，…．按此规律排列下去，则第50个图案中花朵图案的个数为 ． 13．将形状、大小完全相同的黑色棋子按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有5颗棋子，第③个图案中有8颗棋子，第④个图案中有11颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图案中棋子的数量为 颗． 14．如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，按照上述规律弹到第2025个音符是 ． 15．某植物园举办花展，在牡丹花展区，正六边形花盆内摆放白色牡丹花，正方形花盆内摆放红色牡丹花．现按如图所示的造型摆放牡丹花，其中第1个造型有6盆红色牡丹花，第2个造型有11盆红色牡丹花，第3个造型有16盆红色牡丹花……依此规律，第n个造型中有 盆红色牡丹花．（用含n的代数式表示） 三、解答题 16．观察一组数：，…． (1)你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排列规律． (2)根据（1）中的规律，用代数式表示第n个数． 17．观察下列等式，并解答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． (1)按以上规律填空： ①第5个等式：___________； ②第50个等式：___________； (2)计算：． 18．数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断__________被整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后__________位数能否被整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被整除；②十位数字比个位数字大；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 19．芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中；然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数；再作这两个数的差．只要知道和，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． (1)用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗?你能再写出一个这样的式子吗? ；；_____；_____；…… 写出你的式子：_____． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． (2)芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82_____－__________． 20．如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学七年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A C A C C C B 1．D 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数奇数项都是负的、偶数项都是正的，数字因数的绝对值是从1开始的序数的4倍与3的差，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵ 观察这组单项式：，其系数是，，次数是1，2，3，4，5，， ∴第n个单项式的系数为，次数为其序数n， ∴第n个单项式为． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了数字规律，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，，然后根据规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由规律可得，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，， ， 第37个数是奇数项的第19个， 第37项是． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律． 通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【详解】解：搭2个正方形需要根火柴棒； 搭3个正方形需要根火柴棒； ， 搭个这样的正方形需要根火柴棒， 搭2024个这样的正方形需要根火柴棒． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的知识点是图形的变化类，解题的关键是根据已知图形归纳出图形的变化规律．根据第①个图形中三角形的个数：；第②个图形中三角形的个数：； 第③个图形中三角形的个数：；…第n个图形中三角形的个数：． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数：； 第②个图形中三角形的个数：； 第③个图形中三角形的个数：； … ∴第个图形中三角形的个数：； ∴则第⑨个图案中三角形的个数为：． 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知从顶点画n条射线，则图中共有个角，据此规律求解即可． 【详解】解：从图（1）的顶点画1条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画2条射线，图中共有个角， 从图（3）顶点画3条射线，图中共有个角， 以此类推，可知，若从顶点画n条射线，则图中共有， ∴若从顶点画30条射线，则图中共有个角， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查图形类规律探索；根据图形找出规律计算即可． 【详解】解：搭一个小正方形需要4根小棒，； 搭两个小正方形需要7根小棒， 搭三个小正方形需要10根小棒， 搭四个小正方形需要13根小棒，； 搭五个小正方形需要16根小棒，； 搭六个小正方形需要19根小棒，； ∴搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为19． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，根据已知图案得第个图案有个平行四边形，据此解答即可求解，由已知图案找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第①个图案有个平行四边形， 第②个图案有个平行四边形， 第③个图案有个平行四边形， ， ∴第个图案有个平行四边形， ∴第⑧个图案中的平行四边形个数为， 故选：． 8．C 【分析】本题主要考查了图形类的规律．首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴， ∴， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了数轴的应用和数字的变化规律，利用已知条件找到规律是解题的关键．根据题意得出规律：当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为，把，分别代入即可求解． 【详解】解：由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为，…… 当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据图形归纳出第个图案无人机的数量是解题的关键．根据前3个图案无人机的数量，推算出第个图案无人机的数量为，再代入即可求解． 【详解】解：第①个图案无人机的数量为， 第②个图案无人机的数量为， 第③个图案无人机的数量为， …… 第个图案无人机的数量为， 当时，， 第⑩个图案中无人机的架数是． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了单项式的规律，从给定的单项式的系数和次数中提炼规律是解决本题的关键． 先分别找出单项式系数和字母部分的规律，即系数为观察可得第n个单项式的系数为；次数为为观察可得第n个单项式的次数为，由此可求第12个单项式． 【详解】根据题意可知，按一定规律排列的单项式：，，，，，…， ∴第n个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 12． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中花朵的个数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现花朵个数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中花朵的个数为：； 第个图案中花朵的个数为：； 第个图案中花朵的个数为：； ， 所以第个图案中花朵的个数为个． 当时， 个， 即第个图案中花朵的个数为个． 故答案为：． 13．20 【分析】本题主要考查图形规律问题，总结出来图形规律是解题的关键． 根据图形的排比规律，以此类推即可解答． 【详解】解：∵第①个图案中棋子的颗数为， 第②个图案中棋子的颗数为， 第③个图案中棋子的颗数为， 第④个图案中棋子的颗数为， …… ∴第7个图案中棋子的颗数为． 故答案为20． 14．1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律．根据题意，得出所弹音符按4，5，6，7，1循环，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，所弹音符按4，5，6，7，1循环． 因为， 所以弹到第 2025个音符是1． 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律．根据后一个图形比前面一个图形多5盆红色牡丹花即可得到答案. 【详解】解：第个图形有盆红色牡丹花， 第个图形有盆红色牡丹花， 第个图形有盆红色牡丹花， ， 依此规律，第个图形中有盆红色牡丹花， 故答案为：． 16．(1)每个数都是序号的5倍 (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律、列代数式，解决本题的关键是找出数字变化的规律． （1）根据数字的变化规律即可求解． （2）根据数字的变化规律即可写出代数式． 【详解】（1）解：∵…． 由此可得到：每个数都是序号的5倍； （2）解：由（1）得第n个数为：． 17．(1)①；② (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数加减混合运算，通过观察已知的式子，探索出式子的一般规律，并运用规律进行计算即可． （1）通过观察已知式子即可求第5个及第50个等式； （2）原式，再运算即可． 【详解】（1）解：由前4个等式观察可得： ①第5个等式为：， ②第50个等式为：， 故答案为：；； （2）解：原式 ． 18．（1）能；（2）三，理由见解析；（3）末两位必须是或或或；（4），理由见解析 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，数字类规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）通过计算判断即可； （2）观察题干中的数据总结规律即可，然后根据整除的性质求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）根据题意设设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是，表示出这个四位数，然后求出，得到或或或，然后分别代入求解判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴能被整除， 故答案为：能； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于的整数能否被整除，只需要看这个数的后三位数能否被整除， 故答案为：三； 理由：∵， ∴能被整除 ∴个位，十位，百位都是的大于的数都能被整除 ∴如果一个大于的整数的后三位能被整除， ∴这个大于的整数就能被整除； （3）∵， ∴能被整除 ∴个位，十位都是的大于的数都能被整除， ∴如果一个大于的整数的末两位能被整除， ∴这个大于的整数就能被整除 ∵，，，， ∴如果一个整数能被整除，那么这个整数的特征是末两位必须是或或或， 故答案为：末两位必须是或或或； （4）这个房间号是，理由如下： ∵某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，十位数字比个位数字大；百位数字是十位数字的一半； 设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是， ∵千位数字是最小的正整数， ∴这个四位数可以表示为， ∵这个数能被整除， ∴能被8整除， 根据题意得，， ∴解得：， ∵x是正整数 ∴或或或， 当时，，能被整除，符合题意． ∴当时，，不能被整除，不符合题意； 当时，，不能被整除，不符合题意； 当时，，不能被整除，不符合题意； ∴，，， ∴这个房间号是． 19．(1)（1）①；②运算结果一定是9的倍数，见解析； (2)4,4,6 【分析】此题考查有理数的规律探究，读懂题目信息，理解交换后的三位数与原三位数的差是9的倍数是解题的关键． （1）①根据已知等式，找出一般性规律，写出即可； ②设原来的三位数是，交换位置后的三位数是，求出两数的差即可得出结论； （2）由被减数的百位数可以确定减数的个位数，减数的个位数确定被减数的百位数，相减即可． 【详解】（1）解：①；；；；； 故答案为：； ②正确，理由如下：设原来的三位数是，交换位置后的三位数是， ∴， 所以结果一定是9的倍数； （2）， 故答案为4,4,6． 20．(1)0，0 (2)，，0 (3)A，的值均为0，见解析；B，的值均为，见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，设，则，代入计算即可；选B时，设，则，，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 设中间的数为a，则，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，则． 所以，， 故答案为：；；； （3）选A．的值均为0；理由： 设，则， ； ∴的值均为0． 选B．的值均为；理由： 设，则， ， ∴的值均为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$