精品解析：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024－2025学年度下学期期末考试高二试题 数学 命题人：抚顺二中 胡世龙 审题人：锦州中学 王锦明 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果不等式与不等式有相同的解集，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 0 4. 若曲线关于点中心对称，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 已知两个无穷等比数列、的公比分别为，：数列与数列有无穷多个公共项；，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（ ）（参考公式：） A. 0.04 B. 0.03 C. 0.02 D. 0.01 8. 若，不等式，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，且，则（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是1 10. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为 B. 在上为增函数 C. 直线是曲线的切线 D. 方程恰有一个解当且仅当 11. 已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（ ） A. 的第2项小于 B. C. 为递减数列 D. 中存在小于的项． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则______． 13. 函数的零点个数是__________. 14. 已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为调查某市高中生选科时选择物理方向和历史方向的情况，用简单随机抽样方法从该市调查了500位学生，结果如下： 男 女 物理方向 270 160 历史方向 30 40 （1）估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； （2）能否有的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关？ （3）根据现有资料，为了提高样本的代表性以获得该市高中生选择物理方向和历史方向的学生比例更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 定义在上的函数满足．若当时，． （1）当时，求的解析式； （2），，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的值； （2）证明：． 18. 已知数列中，，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若对定义域中的任意，，求实数的取值范围； （3）已知数列的通项公式为是数列的前项和．关于与的大小关系，有三种不同结论：①；②与的大小关系和的取值有关；③．你认为哪种结论正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期期末考试高二试题 数学 命题人：抚顺二中 胡世龙 审题人：锦州中学 王锦明 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的意义求得，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】因为全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：C. 2. 如果不等式与不等式有相同的解集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，求得解集，进而可得是方程的两根，且，求解即可. 【详解】由，可得，所以， 所以不等式的解集为， 又因为不等式与不等式有相同的解集， 所以是方程的两根，且， 所以，解得. 故选：B. 3. 设为等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等差数列的前项和公式求出，进而求出公差，然后利用等差数列的性质，即可求出. 【详解】因为是等差数列， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以 . 故选：A 4. 若曲线关于点中心对称，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域为实数，对称中心在函数上得出. 【详解】因为函数的定义域为R，且曲线关于点中心对称， 所以，即. 故选：D. 5. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义，求出曲线上一点的切线斜率，根据切线斜率和导函数值求出切点坐标，进而求出线段长度. 【详解】由得，则当时，； 则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得， 所以，可知，则， 故选：C. 6. 已知两个无穷等比数列、的公比分别为，：数列与数列有无穷多个公共项；，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例子，结合充分性与必要性的条件可得结论. 【详解】设无穷等比数列、的通项公式为，， 可知数列与数列有无穷多个公共项；但，不满足， 故是的不充分条件， 当时，取，则有， 若，即， 可得数列与数列不存在无穷多个公共项， 故是的不必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（ ）（参考公式：） A. 0.04 B. 0.03 C. 0.02 D. 0.01 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归系数公式，代入数据求出结果即可. 【详解】已知，则，， 则， 故选：D. 8. 若，不等式，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的情况，对参数进行分类讨论，写出分段函数解析式，根据不等式求出参数范围； 【详解】令，解得， 当时，，， 令，可知在上单调递增，由可知，在上单调递增，所以，得，解得； 当时，令， 当时，，可知，所以在上，不符合条件； 综上：实数的取值范围是； 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，且，则（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】易求得，可判断A；利用基本不等式可得，可判断B；由，可求得最大值与最小值，可判断CD. 【详解】由，可得，因为，所以，解得， 又，所以，即，故A正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，可得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； 当或时，取最大值，最大值是，故D正确. 故选：ABD. 10. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为 B. 在上为增函数 C. 直线是曲线的切线 D. 方程恰有一个解当且仅当 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数求出函数导数，根据函数导数与极值点，单调性，切线，和方程的解的关系，逐一判断各选项正误. 【详解】由得，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，所以A正确； 所以在上单调递减，所以B错误； 当时，解得，则， 所以在处切线方程为，所以C正确； 已知在上单调递减，在上单调递增，极小值； 当时，且，当时，， 所以当恰有一个解时，，所以D错误； 故选：AC. 11. 已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（ ） A. 的第2项小于 B. C. 为递减数列 D. 中存在小于的项． 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，即可判断A；由已知可得，结合，可判断B；由，可判断C；利用反证法可得中存在小于的项，可判断D． 【详解】对于A，当时，，所以，因为数列各项均为正数，解得， 当时，，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，故，故A正确； 对于B，由，得，当时，可得， 两式相减得，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，所以， 又，由选项可得：显然无意义，故B错误； 对于C，因为，则得， 所以为递减数列，故C正确； 对于D，假设对，都有，则， 所以，与已知矛盾，即假设不成立， 所以数列中存在小于的项，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为2的偶函数， 所以， 又当时，，所以， 所以. 故答案为：. 13. 函数的零点个数是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，由分段函数，当时，解方程可得零点个数，当时，零点个数转化为的图像交点个数，画出图像可得. 【详解】令得，，只有符合题意； 令得，，在同一坐标系内，画出的图像，观察知交点有个，所以零点个数是. 故答案为：2. 14. 已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得，根据函数在上单调递增条件，等价于对所有恒成立，分析的条件求出k的值. 【详解】求导得：，函数在上单调递增，则对所有恒成立. 令： 当时：恒成立，所以单调递增. 但当时，，且当时，，即时，，矛盾. 当时： ， 令得极值点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 此时在处取得最小值：. 若恒成立，则最小值. 令： 则，当时，，递增；当时，，递减. 所以在处取得最大值，此时，因此，仅当时，满足条件. 验证，，其最小值为，故恒成立，函数在上单调递增. 所以，实数的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为调查某市高中生选科时选择物理方向和历史方向的情况，用简单随机抽样方法从该市调查了500位学生，结果如下： 男 女 物理方向 270 160 历史方向 30 40 （1）估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； （2）能否有的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关？ （3）根据现有资料，为了提高样本的代表性以获得该市高中生选择物理方向和历史方向的学生比例更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）选历史方向的学生的比例 （2）有99%的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关 （3）分层抽样更好，理由：因为选历史方向与性别有关，故采用分层抽样能使样本有代表性， 所以调查时，先确定该市高中生中男、女生的比例， 再把高中生分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好． 【解析】 【分析】（1）根据500名高中生中愿意选历史方向的学生的人数计算可得答案； （2）计算出卡方，与比较后可得到结论； （3）按照男、女人数比，采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好． 【小问1详解】 调查了500名高中生中，愿意选历史方向的学生的人数为， 则估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； 【小问2详解】 零假设：该市高中生选科情况与性别无关； ， 故有99%的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关； 【小问3详解】 略 16. 定义在上的函数满足．若当时，． （1）当时，求的解析式； （2），，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，则，由，结合已知可求解； （2）由已知可得对恒成立，可得，构造函数求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 因为，所以， 又当时，，所以； 【小问2详解】 因为，，所以对恒成立， 即对恒成立，即， 令， 当，则，， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以，所以实数的取值范围为． 17. 已知函数． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1）0 （2）证明：， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 【解析】 【分析】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【小问1详解】 ，因此. 【小问2详解】 略. 18. 已知数列中，，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）； （ii）证明：因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）略. 19. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若对定义域中的任意，，求实数的取值范围； （3）已知数列的通项公式为是数列的前项和．关于与的大小关系，有三种不同结论：①；②与的大小关系和的取值有关；③．你认为哪种结论正确？请说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3）结论①正确，理由如下： 由（2）得，当时，在时恒成立， 令，则，，那么， 所以， 所以， ， 所以结论①正确. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义可得，运算得解； （2）由函数奇偶性，问题转化为时，即可，即，令，利用导数判断单调性求出最值，得解； （3）由（2）得，当时，在时恒成立，令，得，令，即，所以，利用裂项相消法求和，得解. 【小问1详解】 由，得，所以的定义域为，又为奇函数， 所以， ，，解得. 【小问2详解】 由（1），得，所以为偶函数，为偶函数， 对任意，，只需时，即可， 又，， 所以上式等价于，，即， 令，，所以， 若，即，则，所以， 所以在上单调递增，则，合题意； 若，即或，由，得， 当时，，所以为减函数，故，与题意不符， 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 结论①正确，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $