四川省巴中市南江县实验中学2023-2024学年九年级上学期期入学数学试题

2023 年秋学期暑假大专题训练九年级数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共 48分） 1．下面是四个手机 APP的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列分式中，属于最简分式的是（ ） A． 𝑦2 𝑥3𝑦𝑧2 B． 𝑥+1 1−𝑥2 C． 2𝑥2 6𝑥2+12 D． 4𝑥−1 4𝑥 3．已知𝑎 > 𝑏，则下列不等式成立的是（ ） A．𝑎 + 2 < 𝑏 + 2 B．−3𝑎 > −3𝑏 C．𝑎 − 1 < 𝑏 − 1 D． 𝑎 4 > 𝑏 4 4．一元二次方程𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． 2 26 9 ( 3)x x x− + = − B．2 4 2 2( 2 )x y x y− + = − C．(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥2 − 4 D．𝑥2 + 2𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)2 + 1 6．如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝐷于点𝐹， 连接𝐶𝐹．若∠𝐴 = 50°，∠𝐴𝐵𝐷 = 26°，则∠𝐴𝐶𝐹的度数为（ ） A．66° B．52° C．46° D．42° 6 题图 7 题图 7．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点 O，不能判断四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平 行四边形的是（ ） A．𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 B．𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶，𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶 C．𝐴𝐵 = 𝐷𝐶，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 D．𝑂𝐴 = 𝑂𝐶，𝑂𝐵 = 𝑂𝐷 8．每年 3 月 12 日是“植树节”，某班为响应“绿水青山就是金山银”的理念，在植树节 这天组织学生开展植树活动，老师提前购买了一定数量的小树苗，在分发树苗的过程 中，若每人种 3 棵，则多出 86 棵，若每人种 5 棵，则有一人可分得但不足 3 棵，则这 批小树苗共有（ ） A．122 棵 B．186 棵 C．212 棵 D．221 棵 9．如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点 O，点 E，F分别是𝐴𝐷， 𝐶𝐷的中点，连接𝑂𝐸，𝑂𝐹，若𝑂𝐸 = 2，𝑂𝐹 = 3，则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为( ) A．10 B．14 C．16 D．20 10． 如图，线段𝐴𝐵两端点的坐标分别为 ( 1,0)A − 、B(1,1)，把线段𝐴𝐵平移到如图示的 𝐶𝐷位置，如果𝐶𝐷两端点的坐标为𝐶(1, 𝑎)、𝐷(𝑏, 4)，则𝑎 + 𝑏的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11 9 题图 10 题图 11 题图 11．如图，把△𝐴𝐵𝐶绕着点 A顺时针方向旋转36°，得到△ 𝐴𝐵′𝐶′，点 C刚好落在边 B C 上，．则∠𝐴𝐶𝐶 ′ =（ ） A．54° B．62° C．68° D．72° 12．如图，点𝑃是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷上一点，𝑃𝐸 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐸，𝑃𝐹 ⊥ 𝐶𝐷于点𝐹， 连接𝐸𝐹, 𝐴𝑃．给出下列 5 个结论：①𝐴𝑃 = 𝐸𝐹；② AP EF⊥ ；③△ 𝐴𝑃𝐷一定是等腰三角 形；④∠𝑃𝐹𝐸 = ∠𝐵𝐴𝑃；⑤𝑃𝐷 = 𝐸𝐶．其中正确的结论有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 二、填空题（共 18分） 13．如图，一次函数𝑦1 = 𝑥 + 𝑏与一次函数𝑦2 = 𝑘𝑥 + 4的图像交于点𝑃(1,3)，则关于 x 的不等式𝑥 + 𝑏 < 𝑘𝑥 + 4的解集是 ． 14．若不等式组{ 𝑥 ≥ 3 𝑥 > 𝑎 的解集为𝑥 ≥ 3，则𝑎的取值范围是 ． 15．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形的边数是 ． 16．若关于𝑥的分式方程 2𝑥−𝑚 𝑥+1 = 3的解是负数，则字母𝑚的取值范围是 ． 17．已知𝑥＝2是关于 x的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 4＝0(𝑎 ≠ 0)的根，则代数式8𝑎 + 4𝑏 + 2030 的值为 ． 18．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，∠𝐴 = 30°，以𝐵为圆心，𝐵𝐶为半径作弧，交𝐴𝐵 于点𝐷，分别以𝐶，𝐷为圆心，大于 1 2 𝐶𝐷长为半径作弧，两弧交于点𝐸，射线 BE 交𝐴𝐶于 点𝐹，若𝐴𝐹 = 4，则𝐵𝐷的长为 . 三、解答题（共 84分） 19．（本题 6 分）因式分解：(1)3𝑥 − 12𝑥3 (2) 2 24 12 9a ab b− + 20．（本题 8 分）计算： (1)解不等式组{ 3𝑥 − 2 < 2𝑥 + 2 6 − 𝑥 ≥ 1 − 3(𝑥 − 1) (2)解分式方程： 3 𝑥+1 + 1 𝑥−1 = 6 𝑥2−1 21．（本题 6 分）用适当的方法解下列方程： (1)𝑥 − 3 = 𝑥(𝑥 − 3) (2)2𝑥2 − 3𝑥 − 3 = 0 22．（本题 6 分）先化简，再求值：( 1 𝑎−1 − 1) ÷ 𝑎−2 2 + 𝑎−1 𝑎2−2𝑎+1 ，再从 1，2，3 中选择一 个适当的数值作为 a的值代入． 23．（本题 6 分）若关于 x，y的二元一次方程组为{ 2𝑥 + 𝑦 = 3𝑎 − 1 𝑥 + 2𝑦 = −2 ，并且 x，y满足 −2 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 1，求 a的取值范围. 24．（本题 10 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建 立平面直角坐标系后，△ 𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上，点𝐶的坐标为(4,−1)． (1)把△𝐴𝐵𝐶向上平移 5 个单位后得到对应的△ 𝐴1𝐵1𝐶1，画出△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)求平移过程中𝐴𝐶边扫过的面积； (3)画出△ 𝐴1𝐵1𝐶1绕原点𝑂逆时针旋转90°的图形△𝐴2𝐵2𝐶2． 25．（本题 10 分）在求解一类代数问题时，我们常常将二次三项式𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐化成 (𝑥 + 𝑚)2 + 𝑛的形式，并利用(𝑥 + 𝑚)2的非负性解决问题．请阅读下列材料，并解决相 关问题： 【例】求代数式𝑥2 + 4𝑥 + 7的最小值． 解： ( ) 22 24 7 4 4 3 2 3x x x x x+ + = + + + = + + ． 因为(𝑥 + 2)2 ≥ 0，所以 ( ) 2 3 32x + +  ，即代数式𝑥2 + 4𝑥 + 7的最小值为 3． (1)求代数式𝑥2 + 6𝑥 + 10的最小值； (2)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶 = 𝑎，𝐴𝐶 = 𝑏，𝐴𝐵 = 𝑐． ①若△ 𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，且满足𝑎2 − 8𝑎 + 𝑏2 − 14𝑏 + 65 = 0，求△𝐴𝐵𝐶的周长； ②若𝑐 − 𝑏 = 1，且𝑐(𝑏 − 25) + 2𝑎2 − 20𝑎 + 219 = 0，求△ 𝐴𝐵𝐶中最大边上的高． 26．（本题 8 分）如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与 𝐵𝐷交于点𝑂，𝐵𝐸 ∥ 𝐴𝐶，𝐶𝐸 ∥ 𝐵𝐷． (1)求证：四边形𝑂𝐵𝐸𝐶是矩形； (2)若∠𝐴𝐵𝐶: ∠𝐵𝐴𝐷 = 1: 2，𝐵𝐸 = √3，求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积． 27．（本题 12 分）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购 2 斤甲型茶叶和 1 斤乙型茶叶共需要 1100 元，采购 3 斤甲型茶叶和 2 斤乙型茶叶共需 要 1800 元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过 10200 元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共 30 斤，其中购 进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的 1 2 ，采购的斤数需为整数，那么该茶店 有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，已知该茶叶店销售甲型茶叶 1 斤可获得净利润 100 元，销售乙型 茶叶 1 斤可获得净利润 120 元，这批茶叶全部售出可以获得最大净利润为多少元？ 28．（本题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑙1: 𝑦 = 3 4 𝑥与直线𝑙2: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏(𝑘 ≠ 0)相交于点𝐴(𝑎, 3)，直线𝑙2与𝑦轴交于点𝐵(0,−5)． （1）求直线𝑙2的函数解析式； （2）将△𝑂𝐴𝐵沿直线𝑙2翻折得到△ 𝐶𝐴𝐵，使点𝑂与点𝐶重合，𝐴𝐶与𝑥轴交于点𝐷． 求证：四边形𝐴𝑂𝐵𝐶是菱形； （3）在直线𝐵𝐶下方是否存在点𝑃，使△𝐵𝐶𝑃为等腰直角三角形？若存在，直接写出点 𝑃坐标;若不存在，请说明理由.