第05讲 有理数的乘除运算（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（北师大版2024）

第05讲 有理数的乘除运算（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘法法则 2.倒数 3.有理数乘法法则的推广 4.有理数乘法的运算律 5.有理数除法法则 6.有理数的乘除混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数乘除中的简便运算 十、有理数四则混合运算 十一、有理数四则混合运算的实际应用 十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 十三、数轴上的翻折 强化训练 单选题（7） 填空题（8） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数乘法法则 类型 运算法则 运算步骤 示例 同号两数 同号得正， 并把绝对值相乘 (1) 先看有无为 0的因数，若有，则乘积为 0； (2)如果没有为 0的因数，则先确定乘积的符号，再求乘积的绝对值 (+5) × (+3)= 15， (－5) ×(－3)= 15 异号两数 异号得负， 并把绝对值相乘 (－5) ×(+3)= －15， (+5) ×(－3)= －15 一个因数为 0 任何数与 0 相乘，积仍为 0 (－5) × 0= 0， 0×(+3)=0 知识点2.倒数 1. 定义 如果两个有理数的乘积为 1，那么称 其中一 个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 . 2. 互为倒数与互为相反数的异同 项目 互为倒数 互为相反数 不同点 特点不同 两数之积等于 1 两数之和等于 0 性质不同 互为倒数的两个数的符号相同 互为相反数且不等于 0 的两个数的符号一正一负 范围不同 只有 0 没有倒数 任意一个数都有相反数 相同点 (1) 都是指两个有理数之间的一种关系； (2)都具有规定性(可规定其中任意一个数是加另一个数的倒数或相反数)、相对性(倒数或相反数是相对于另一个数而言的)、成对性(倒数或相反数是成对出现的) 知识点3.有理数乘法法则的推广 1. 几个不等于 0 的有理数相乘， 积的符号由负因数的个数决定 . 当负因数有奇数个时，积的符号为负，当负因数有偶数个时，积的符号为正，即“奇负偶正” . 图示： 2. 几个有理数 相乘，有一个因数为 0，结果 就是 0；反之，若几个有理数的乘积为 0，则至少有一个因数为 0. 图示： 知识点4.有理数乘法的运算律 运算律 内容 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 6× (－8)=(－8)× 6 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变 [3×(－4)]×(－6)= 3×[(－4)×(－6)] 乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加 4×(－3+5)= 4×(－3)+4× 5 知识点5.有理数除法法则 1. 法则(一) (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 例如： (2) 0 除以任何非 0 的数都得 0. 注意：0 不能作除数 . 2. 法则二  (1)除以一个数等于乘这个数的倒数 . 即： a÷ b=a×1/b (b ≠ 0) . 例如： (2)运算步骤： 先将除号变为乘号， 将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算 . 知识点6.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 0 12 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法、乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法法则以及运算律是解题的关键． （1）根据0乘以任何数都为0即可解答； （2）利用有理数乘法法则以及乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：0； （2） ． 故答案为：12． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可； （2）运用乘法运算法则即可； （3）运用乘法运算法则即可； （4）运用乘法运算法则即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数，且任何数乘以结果均为；逐一分析各个选项的积的符号即可． 【详解】解：A、 ：含因数，结果为，不是负数． B、 ：两个负数，负数的个数为偶数，积为正数． C、：两个负数，负数的个数为偶数，积为正数． D、 ：三个负数，负数的个数为奇数，积为负数． 故选：D． 5．（24-25七年级·全国·假期作业）计算： ； 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】4 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）一件风衣，原价1200元，现在八五折出售，现在一件这样的风衣（    ） A．1002元 B．1000元 C．696元 D．1020元 【答案】D 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的乘法的应用，关键是理解打折的含义：打几折现价就是原价的百分之几十几，由此找出单位“1”，进而求解．八五折是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价乘上就是现在的价格． 【详解】解：（元） 答：现在的售价是1020元． 故选：D． 8．阅读计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)开始出现错误的步骤是第 步； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）运用有理数的加减运算，括号里算得的结果是，由此可得第一步出错； （2）根据有理数的混合运算法则，先计算括号的数，再运用有理数的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：根据有理数的加减运算，括号里的结果为，由此可得第一步出错， 故答案为：一； （2）解： ． 题型四、倒数 9．（24-25七年级上·湖北襄阳·开学考试）2的倒数是 ，的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是理解倒数定义：“乘积为1的两个数互为倒数”．根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：2的倒数是，的倒数是． 故答案为：；． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数：，，，，． 【答案】见解析 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数．乘积为1的两个数互为倒数，据此解答各题即可． 【详解】解：的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为． 题型五、有理数乘法运算律 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据乘法分配律的逆运算解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 10 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是运用乘法交换律、结合律简化计算． （1）利用乘法交换律和结合律，将便于计算的数结合相乘； （2）先将小数和带分数化为分数，再进行乘法运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 故答案为：（1）10；（2） 13．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）用简便方法计算： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了利用乘法分配律巧妙简化有理数运算，熟练掌握有理数运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律将原算式分成四项，先算乘法，再算加、减即可得出结论； （2）根据有理数乘法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六、有理数的除法运算 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，除以一个非零的数等于乘以这个数的倒数，据此求解判断即可． 【详解】解：A、，原式成立，符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、，原式不成立，不符合题意； D、，原式不成立，不符合题意； 故选：A． 15．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）新定义一种运算，．则的值是 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】先根据新定义运算求出的值，再将其结果与进行新定义运算，从而得出最终答案．本题主要考查了新定义运算，熟练掌握新定义运算的规则并按照顺序逐步计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 16．（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照有理数除法的运算法则计算即可； （2）按照有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七、有理数除法的应用 17．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）有一栋居民住宅楼，每两层楼之间的楼梯都是由17级台阶组成的，小明一口气从一楼一级台阶一级台阶地跑到最高一层，紧接着又一级台阶一级台阶地回到一楼，他一边数一边跑，当他数到238时，恰好回到了一楼，那么这栋楼有（　　） A．7层 B．8层 C．6层 D．9层 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查的是有理数的除法的应用，由小明一共跑了238级台阶，则238是这栋楼台阶级数的2倍．求出楼层间隔数，这栋楼的总层数楼层间隔数． 【详解】解：因为小明从一楼跑到顶楼，又从顶楼跑到一楼，共跑了238级台阶， 所以一楼到顶楼的总台阶数为． 又因为这栋楼每两层之间有17级台阶， 所以楼层间隔数为， 所以则这栋楼有（层）． 故选：B． 18．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）小英用小时走了千米，则小英行走的速度是每小时 千米． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据速度路程时间即可求解，弄清路程、速度、时间三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·四川眉山·期中）中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．    【答案】到站或到站，说明见解析 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，先求出每千米的票价，进而求出李老师买票的费用除以单价，求出里程，进行判断即可． 【详解】   （元/千米） （千米） （千米）或（千米） 到站或到站都可． 题型八、有理数乘除混合运算 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法化为乘法，再进行有理数的乘法运算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：C 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 题型九、有理数乘除中的简便运算 22．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 【答案】10 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 23．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 题型十、有理数四则混合运算 24．（25-26七年级上·全国·周测）要使算式的计算结果最小，□中应填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，要使算式结果最小，需使括号内的值最大．分别计算各符号代入后的结果，比较后确定最大值对应的符号． 【详解】解：原式为 ．要使结果最小，需使括号内的值最大． 加号（）：， 减号（）：， 乘号（）：， 除号（）：， 括号内最大值为 ，对应加号． 此时原式结果为，为最小值． 故选 A． 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 25．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）根据如图可知，某地2023年人均年收入（    ）元． A．7500 B．1500 C．4500 D．3000 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先根据统计图得出2022年人均年收入，再结合2023年相对2022年的增长比例，计算出2023年的人均年收入．本题主要考查了分数乘法的应用，熟练掌握求比一个数多几分之几的数是多少的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由统计图可知2022年人均年收入为元，2023年比2022年增加 2023年人均年收入为（元） 故选：A． 26．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）甲、乙两人同时从 地出发前往相距千米的地，甲每小时比乙多走千米．甲到达地后立即返回 地，在距地千米处与乙相遇，则甲出发 小时甲乙第一次相遇． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了行程问题综合应用，熟练掌握路程、时间和速度三者之间的关系是解题的关键．甲乙两人第一次相遇时，两人合走两个全程，且相遇地点在距地千米处，即相遇时，甲走了千米，乙走了千米，两者相减即可求出甲乙行走的路程差，根据时间路程差速度差即可求出相遇时间，即甲出发几小时后甲乙第一次相遇． 【详解】解： 小时 答：甲出发小时甲乙第一次相遇． 故答案为：． 27．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）有一个长方体容器，底部有一块挡板（垂直于底面，厚度忽略），将容器下面分成A、B两部分，B部分有一个漏洞，水可以往下漏．C是用来测量水面高度的尺子，D是进水管，每秒进水0.75升．如图记录的是开始注水后水面高度随时间变化的情况．请回答： (1)E表示多少？ (2)漏洞每秒钟漏出多少升水？ (3)F、G各表示几？ 【答案】(1)15 (2)0.3 (3)F表示54，G表示30 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了观察信息，让学生理解统计表表示的意义，再分析数量关系进行解答． （1）根据图像可知15秒可注满A部分，时间乘流速，求出A的容积，再除以它的长和宽，可求出它的高度； （2）根据题图可知隔板的高度是15厘米，用B部分高15厘米的容积，除以注满B部分高15厘米时用的时间，就是每秒注入B部分时的流速，用0.75升减去注入B部分的流速，就是每秒从洞中流出的速度； （3）容器15厘米高度以上的水的注入速度都是0.75减去洞的流速，据此可求出F、G表示的数． 【详解】（1）解：0.75升立方厘米， （厘米）， 故E表示水面高度为15厘米； （2）（立方厘米）（升）， （升/秒）， （升/秒）， 答：漏洞每秒钟漏出0.3升水； （3）由（2）可知，在30秒到70秒之间注水速度为0.45升/秒， F点表示的数是： （秒）， G点表示的数是： （厘米）， 故F表示54，G表示30． 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，关键是根据图形得出和的取值情况．根据有理数在数轴上的位置以及有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：由图可得：，，， ． 故选：B ． 29．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为、，下列式子成立的是 （填序号）． ①；② ；③；④ 【答案】①②④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】此题主要考查数轴上的有理数性质，熟练掌握，即可解题．首先根据数轴上的有理数判定，然后逐一判定即可． 【详解】由题意，得 ∴，，，， ①，正确； ②，正确； ③，错误； ④，正确； 故答案为：①②④． 30．如图，A、B、C三点在数轴上对应的数分别为a、b、c． （1）若﹣a＝5，|b|＝5，＝，则a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　． （2）化简：； （3）在（1）的条件下，B，C两点同时出发向点A运动，结果同时到达，求点B，点C的运动速度关系是VB＝　 　VC． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数除法的应用 【分析】（1）根据数轴判断出的符号，再根据相反数、绝对值以及倒数，求出的值即可； （2）根据的符号，去绝对值，化简即可； （3）根据（1）求得、的距离，即可求解． 【详解】解：（1）由数轴可得：，， 又∵ ∴，， 故答案为，，； （2）由（1）得：，， ∴，， ∴ （3）由（1）得，， 所以，， 所以，， 所以， 【点睛】此题考查了数轴、相反数、绝对值以及倒数的性质，解题的关键是根据数轴确定的符号． 题型十三、数轴上的翻折 31．（24-25七年级·河南开封·期末）一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 【答案】D 【知识点】数轴上的翻折 【分析】本题主要考查了数轴上点的位置变化规律，通过分析得出规律每翻转次，点就会落在数轴上，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 将长方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转次，点首次落在数轴上的点对应的数为，当点第二次落在数轴上时，其对应的点是，对应的数是，而，以后，每翻转次，点就会落在数轴上， 翻转2018次后，点会第次落在数轴上， 故翻转2018次后，点所对应的数是， 故选：D． 32．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与 对应的点重合． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查数轴的对折问题，先求出对折处的点对应的数，再根据对折点到两个重合的点的距离相等，即可求解． 【详解】解：对应的点与1对应的点重合， 对折处的点对应的数为：， ，， 3对应的点与对应的点重合． 故答案为：． 33．（25-26七年级上·全国·周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为11（点A在点B的左侧），且两点经折叠后重合，求两点表示的数． 【答案】(1)3 (2)①；②两点表示的数分别是 【知识点】数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴的折叠问题，通过折叠使数轴上的点重合，考查“对称点”和“中点”概念的理解和应用. （1）根据表示1的点和表示的点重合，由此可以得到折痕点为0，由此可以得到表示的点重合的点. （2）①根据已知条件可知对称点为表示1的点，由此即可找到与表示5的点的重合点. ②根据题意可知A和B与对称点的距离，由此即可得到A和B两点表示的数. 【详解】（1）解：折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，所以折痕点为原点，借助数轴可得，则表示的点与表示3的点重合． 故答案为：3. （2）解：折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，所以折痕点为1； ①借助数轴可得，表示5的点与表示的点重合； 故答案为： ②由题意可得，A、B两点与折痕点的距离都为： 因为点A在点B的左侧，所以A、B两点表示的数分别为. 强化训练 一、单选题 1．（　　） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号的处理和分数的乘法法则． 【详解】解：． 故选：C． 3．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的混合运算，有理数与数轴，根据数轴，判断出有理数的符号，式子的符号，根据绝对值的意义进行化简，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故选：D． 4．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 5．如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查定义新运算，根据定义新运算的运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由可知， 故选：B． 6．已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、有理数的除法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 二、填空题 8．计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．计算： ； ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的减法，解题关键是掌握上述知识点． 根据有理数的乘法，有理数的减法分别求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：，． 10．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的应用，解题的关键是识别式子中相同的因数，运用乘法分配律简化计算． （1）观察式子，发现有相同因数，运用乘法分配律计算； （2）式子中0.7和分别有相同因数，分组后运用乘法分配律计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 故答案为：；． 11．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、倒数 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：的倒数是； ，，而， ． 故答案为：；． 12．计算： （ ）（ ） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的交换律和结合律． 根据有理数乘法的交换律和结合律求解即可． 【详解】 ． 故答案为：，，，8，． 13．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行交换，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：；；；；；8； 14．已知a为有理数，表示不大于的最大整数，，，，等，则计算 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．根据新定义得出原式，再根据有理数混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：根据题意，原式 ， 故答案为：． 15．某面粉厂生产一种面粉，每袋以为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标准质量的差值情况如下表所示：（超过记为“”，不足记为“”） 袋数 1 2 3 4 5 差值 0 这5袋面粉的平均质量是 ． 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减乘除运算的应用，根据正负数的意义，将表格数据算出5袋面粉质量之和，再算平均数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 三、解答题 16．计算：（1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）． 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查的知识点为有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则； （1）根据同号得正的法则进行计算即可； （2）根据异号得负先确定符号然后进行约分化简求值； （3）将小数和分数进行统一后进行计算； （4）先确定符号，然后将代分数化为假分数进行计算. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 17．写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数，明确倒数的概念是解决问题的关键． （1）利用倒数的概念求解即可． （2）利用倒数的概念求解即可． （3）利用倒数的概念求解即可． 【详解】（1）解：的倒数是2； （2）解：的倒数是； （3）解：的倒数是． 18．计算： (1)（﹣84）÷（﹣7）． (2) (3) (4) 【答案】(1)12 (2) (3) (4)-2 【知识点】有理数除法的应用 【分析】（1）根据有理数除法运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可； （2）根据有理数混合运算法则先算乘除，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可； （3）根据有理数混合运算法则先算括号里面的，再算乘除，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可． （4）根据有理数除法运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可； 【详解】（1）解： （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了有理数的除法法则的应用，主要考查学生的计算能力． 19．计算：． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，乘法运算律的应用，先确定运算结果的符号，再结合运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 20．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可； （2）运用乘法运算法则即可； （3）运用乘法运算法则即可； （4）运用乘法运算法则即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 21．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数混合运算的方法及运算顺序是解题的关键． （1）消去括号后，再通过有理数的加、减运算即可得出结论； （2）消去括号后，再通过有理数的加、减运算即可得出结论； （3）先根据除法运算法则把除法转化为乘法，再通过有理数的乘法运算即可得出结论； （4）先把带分数化成假分数，再根据除法运算法则把除法转化为乘法通过有理数的乘法运算即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 22．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算、倒数 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 23．学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例1 ． 例2 ． (1)任务一：例1、例2都用到的运算律是 ． (2)任务二：请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算： ①． ② 【答案】(1)乘法分配律． (2)①，②． 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】（1）观察例1和例2的计算过程，分析其中运用的运算律即可得解． （2）①参照例1，把999转化为(1000 - 1)，再根据乘法分配律进行简便计算；②先对式子中的各项进行分析，发现式子前两项都有因数999，可利用乘法分配律的逆运算将前两项合并，再对合并后的式子与第三项一起，通过变形和再次使用乘法分配律的逆运算进行简便计算． 本题主要考查了乘法分配律及其应用．熟练掌握乘法分配律以及其逆运算，并能根据式子的特点灵活运用进行简便计算是解题的关键． 【详解】（1）解：例1、例2都用到的运算律是乘法分配律． 故答案为：乘法分配律． （2）解：① ； ② ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘除运算（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘法法则 2.倒数 3.有理数乘法法则的推广 4.有理数乘法的运算律 5.有理数除法法则 6.有理数的乘除混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数乘除中的简便运算 十、有理数四则混合运算 十一、有理数四则混合运算的实际应用 十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 十三、数轴上的翻折 强化训练 单选题（7） 填空题（8） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数乘法法则 类型 运算法则 运算步骤 示例 同号两数 同号得正， 并把绝对值相乘 (1) 先看有无为 0的因数，若有，则乘积为 0； (2)如果没有为 0的因数，则先确定乘积的符号，再求乘积的绝对值 (+5) × (+3)= 15， (－5) ×(－3)= 15 异号两数 异号得负， 并把绝对值相乘 (－5) ×(+3)= －15， (+5) ×(－3)= －15 一个因数为 0 任何数与 0 相乘，积仍为 0 (－5) × 0= 0， 0×(+3)=0 知识点2.倒数 1. 定义 如果两个有理数的乘积为 1，那么称 其中一 个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 . 2. 互为倒数与互为相反数的异同 项目 互为倒数 互为相反数 不同点 特点不同 两数之积等于 1 两数之和等于 0 性质不同 互为倒数的两个数的符号相同 互为相反数且不等于 0 的两个数的符号一正一负 范围不同 只有 0 没有倒数 任意一个数都有相反数 相同点 (1) 都是指两个有理数之间的一种关系； (2)都具有规定性(可规定其中任意一个数是加另一个数的倒数或相反数)、相对性(倒数或相反数是相对于另一个数而言的)、成对性(倒数或相反数是成对出现的) 知识点3.有理数乘法法则的推广 1. 几个不等于 0 的有理数相乘， 积的符号由负因数的个数决定 . 当负因数有奇数个时，积的符号为负，当负因数有偶数个时，积的符号为正，即“奇负偶正” . 图示： 2. 几个有理数 相乘，有一个因数为 0，结果 就是 0；反之，若几个有理数的乘积为 0，则至少有一个因数为 0. 图示： 知识点4.有理数乘法的运算律 运算律 内容 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 6× (－8)=(－8)× 6 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变 [3×(－4)]×(－6)= 3×[(－4)×(－6)] 乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加 4×(－3+5)= 4×(－3)+4× 5 知识点5.有理数除法法则 1. 法则(一) (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 例如： (2) 0 除以任何非 0 的数都得 0. 注意：0 不能作除数 . 2. 法则二  (1)除以一个数等于乘这个数的倒数 . 即： a÷ b=a×1/b (b ≠ 0) . 例如： (2)运算步骤： 先将除号变为乘号， 将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算 . 知识点6.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ． （2） ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级·全国·假期作业）计算： ； 6．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）一件风衣，原价1200元，现在八五折出售，现在一件这样的风衣（    ） A．1002元 B．1000元 C．696元 D．1020元 8．阅读计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)开始出现错误的步骤是第 步； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 题型四、倒数 9．（24-25七年级上·湖北襄阳·开学考试）2的倒数是 ，的倒数是 ． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数：，，，，． 题型五、有理数乘法运算律 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 13．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）用简便方法计算： (1) ； (2) 题型六、有理数的除法运算 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）新定义一种运算，．则的值是 ． 16．（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型七、有理数除法的应用 17．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）有一栋居民住宅楼，每两层楼之间的楼梯都是由17级台阶组成的，小明一口气从一楼一级台阶一级台阶地跑到最高一层，紧接着又一级台阶一级台阶地回到一楼，他一边数一边跑，当他数到238时，恰好回到了一楼，那么这栋楼有（　　） A．7层 B．8层 C．6层 D．9层 18．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）小英用小时走了千米，则小英行走的速度是每小时 千米． 19．（24-25七年级上·四川眉山·期中）中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．    题型八、有理数乘除混合运算 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．7 B．3 C． D． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 题型九、有理数乘除中的简便运算 22．（25-26七年级上·全国·周测）计算：． 23．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 题型十、有理数四则混合运算 24．（25-26七年级上·全国·周测）要使算式的计算结果最小，□中应填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 25．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）根据如图可知，某地2023年人均年收入（    ）元． A．7500 B．1500 C．4500 D．3000 26．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）甲、乙两人同时从 地出发前往相距千米的地，甲每小时比乙多走千米．甲到达地后立即返回 地，在距地千米处与乙相遇，则甲出发 小时甲乙第一次相遇． 27．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）有一个长方体容器，底部有一块挡板（垂直于底面，厚度忽略），将容器下面分成A、B两部分，B部分有一个漏洞，水可以往下漏．C是用来测量水面高度的尺子，D是进水管，每秒进水0.75升．如图记录的是开始注水后水面高度随时间变化的情况．请回答： (1)E表示多少？ (2)漏洞每秒钟漏出多少升水？ (3)F、G各表示几？ 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定 29．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为、，下列式子成立的是 （填序号）． ①；② ；③；④ 30．如图，A、B、C三点在数轴上对应的数分别为a、b、c． （1）若﹣a＝5，|b|＝5，＝，则a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　． （2）化简：； （3）在（1）的条件下，B，C两点同时出发向点A运动，结果同时到达，求点B，点C的运动速度关系是VB＝　 　VC． 题型十三、数轴上的翻折 31．（24-25七年级·河南开封·期末）一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 32．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与 对应的点重合． 33．（25-26七年级上·全国·周测）已知在纸面上有一数轴（如下图所示）． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示________的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为11（点A在点B的左侧），且两点经折叠后重合，求两点表示的数． 强化训练 一、单选题 1．（　　） A．2 B． C．1 D．4 2．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2 3．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 4．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： ． 9．计算： ； ． 10．计算： （1） ． （2） ． 11．的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 12．计算： （ ）（ ） （ ）（ ） ． 13．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 14．已知a为有理数，表示不大于的最大整数，，，，等，则计算 ． 15．某面粉厂生产一种面粉，每袋以为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标准质量的差值情况如下表所示：（超过记为“”，不足记为“”） 袋数 1 2 3 4 5 差值 0 这5袋面粉的平均质量是 ． 三、解答题 16．计算：（1）． （2）． （3）． （4）． 17．写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 18．计算： (1)（﹣84）÷（﹣7）． (2) (3) (4) 19．计算：． 20．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 21．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 22．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 23．学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例1 ． 例2 ． (1)任务一：例1、例2都用到的运算律是 ． (2)任务二：请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算： ①． ② 学科网（北京）股份有限公司 $$