第05讲 有理数加法与减法（知识点+题型+强化训练）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024）

第05讲 有理数加法与减法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法运算律 3.有理数的减法法则 4.省略和式中的括号和加号 5.有理数的加减混合运算 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、数轴上两点之间的距离 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 类型 加法法则 示例 同号相加 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 同0相加 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算的关键步骤 知识点2.有理数加法运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 易错： 利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号，如(−6.6)+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4)。 说明： 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上的有理数相加。 知识点3.有理数的减法法则 1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示： 。 2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：“两变”是指运算符号“-”需要变成“+ ”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 说明： （1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。 （2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。 知识点4.省略和式中的括号和加号 我们可以把算式 +(− )+(+ ) 中各个加数的括号和括号前面的加号省略，写成 − + ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的和”（按式子表示的意义读），或者读作“ 减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择和书写带来方便。 知识点5.有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： （1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法； （2）运用加法交换律和结合律，简化运算； （3）求出结果。 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟悉掌握加法运算法则是解题的关键．根据加法运算法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用表示不大于的整数中的最大整数，如，，请计算 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据题意得出及的值，进行计算即可得到答案． 【详解】解：用表示不大于的整数中的最大整数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，理解题意，得出及的值是解此题的关键． 3．计算： (1)(+10)+(-11)； (2) 【答案】(1)-1 (2) 【知识点】有理数加法运算 【分析】利用有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：(+10)+(-11) =10-11 =-1； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的加法，解题关键是熟知有理数加法法则． 题型二、有理数加法中的符号问题 4．在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法法则计算即可求解． 【详解】解：=， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则． 5．（25-26七年级上·全国·周测）与的和取 号；与的和取 号；和的和取 号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 题型三、有理数加法在生活中的应用 6．（23-24七年级上·全国·期末）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（　　） 欲购买的商品 原价（元） 优惠方式 一件衣服 每付现金元，返购物券元，且付款时可以使用购物券 一双鞋 每付现金元，返购物券元，但付款时不可以使用购物券 一套化妆品 付款时可以使用购物券，但不返购物券 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了从统计表中获取信息的能力，本题关键是从信息表获取信息，读懂优惠形式，合理制定方案； 根据优惠方式，首先先买鞋子，用获得的购物券，在去买衣服，然后在用获得的购物券去购买化妆品，即可解答． 【详解】 鞋子不能使用购物券， 应该先买鞋子花元现金，同时返元购物券； 再买衣服花元现金和元的购物券，同时可返元购物券； 再用买衣服获得的元购物券再加元现金买化妆品．所以共计元． 故选：B． 7．（23-24七年级上·浙江台州·期中）某天最低气温是．最高气温比最低气温高，则这天的最高气温是 ℃ 【答案】6 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查的是有理数的加法的实际应用，本题由温差加上最低气温即可得到答案． 【详解】解：∵， 这天的最高气温是， 故答案为： 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小明在东西方向的赛道上遥控一辆玩具赛车，让它从A处出发，先向东行驶15m，再向西行驶25m，然后又向东行驶20m，再向西行驶35m． (1)玩具车最后停在何处？ (2)玩具赛车一共行驶了多少米？​ 【答案】(1)向西25米处 (2)95米 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】（1）本题考查的是有理数的加法运算的实际应用，先设向东为正，向西为负，再列式进行计算即可； （2）本题考查的是有理数的加法运算的实际应用，把行驶的路程相加即可． 【详解】（1）解：先设向东为正，向西为负， 则（米）． 答：玩具车最后停在向西25米处． （2）（米）． 答：玩具赛车一共行驶了95米． 题型四、有理数加法运算律 9．下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 10．（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 11．计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 【答案】(1)﹣3 (2)﹣50 (3)﹣5 (4)2 (5)1 (6) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． 【详解】（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） ＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）] ＝40+（﹣43） ＝﹣3， （2）43+（﹣77）+27+（﹣43） ＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）] ＝70+（﹣120） ＝﹣50， （3）18+（﹣16）+（﹣23）+16 ＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）] ＝34+（﹣39） ＝﹣5， （4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） ＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）] ＝14+（﹣12） ＝2， （5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， （6） ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键． 题型五、有理数的减法运算 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则涂色圆里的数为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查有理数的减法运算，解题的关键是理解题意；根据题意易得与左相邻的数是2，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：与左相邻的数是， 则涂色圆里的数为； 故选：C． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）比小2的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】由减法的意义列出，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数的减法应用，掌握减法的意义是解题的关键． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可； （5）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型六、有理数减法的实际应用 15．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数减法的实际应用．用室内温度减去室外温度即可． 【详解】解：， 故选：C． 16．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）甲、乙、丙三地海拔高度分别为25米，16米，米，那么最高的地方比最低的地方高 米． 【答案】35 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用．根据有理数的减法运算“减一个数等于加这个数的相反数”，用最大数减最小数，可得最高的地方比最低的地方高多少米． 【详解】解：， (米) 故答案为：35． 17．（23-24七年级上·浙江温州·期中）2023年9月15日，绕省一圈的杭州亚运会火炬在温州接棒．火炬传递路线从“松台广场”开始，沿信河街—蝉街—五马街—公园路—环城东路—安澜亭（古港遗址、江心屿）—瓯江路进行传递，最后到达“城市阳台”．按照路线，从“松台广场”到“蝉街”共安排15名火炬手跑完全程．平均每人传递里程为58米，若以58米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为“+”，不足的记为“”，并将其称为里程波动值．下表记录了15名火炬手中部分人的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 里程波动值 2 5 4 0 5 7 4 (1)第3棒火炬手的实际里程为________米； (2)若第4棒火炬手的实际里程为61米． ①第4棒火炬手的里程波动值为________； ②求第13棒火炬手的实际里程． 【答案】(1)54 (2)①3；②第13棒火炬手的实际里程为52米 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】此题考查了有理数加减混合运算的实际应用，正确理解题意，跟题意列出算式计算． （1）计算58和的差即可解答； （2）①计算61和58的差即可解答；②先计算其他14名选手里程波动值的和，再用58减去这个和，即可解答． 【详解】（1）解：（米）， 故答案为：54； （2）解：①， 故答案为：3； ②， （米）， 答：第13棒火炬手的实际里程为52米． 题型七、有理数的加减混合运算 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握加法交换律在有理数加法运算中的应用是解题关键，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，此选项正确． 故选：D． 19． ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减运算法则求解即可，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)885 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）将带分数拆分为整数和真分数的和，再分别相加即可求解； （2）裂项计算即可求解； （3）把原式记为①，把①式括号内的数倒序后与①式相加，进而除以2，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）把记为①， 把①式括号内的数倒序后， 得②， ，得， 所以原式． 题型八、有理数加减中的简便运算 21．计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减中运算中的简便运算，掌握有理数的运算律以及运算法则是解题的关键． 22．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】通过逆用分数减法法则，将式中各分数转化成两个数之差，使得中间项可以互相抵消，从而达到简化计算的目的 【详解】原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分数减法的逆运算，解题的关键是掌握同分母的分数相加的运算法则的逆运算进行对一个分数的拆分，从而达到抵消的目的． 23．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】有理数加法运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型九、有理数加减混合运算的应用 24．（23-24七年级上·浙江温州·期中）五个国际大都市的时差（单位：时）在数轴上表示如下图，那么当北京时间为2023年11月9日9时，下列选项中时间正确的应该是（    ） A．东京时间2023年11月9日8时 B．迪拜时间2023年11月9日5时 C．伦敦时间2023年11月9日2时 D．纽约时间2023年11月8日19时 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键．按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断． 【详解】解：由图得：当北京时间2023年11月9日9时， 由于，故东京时间应为2023年11月9日10时，故A选项错误； 由于，故迪拜时间应为2023年11月9日5时；故B选项正确； 由于，故伦敦时间应为2023年11月9日1时，故C选项错误； 由于，故纽约时间应为2023年11月8日20时，故D选项错误． 故选：B． 25．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某粮油配送中心记录了某星期大米的进货和出货数量，如下表（记进货为正，单位：吨）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进货 4 7 5 4 8 3 6 出货 每天完成进出货后进行统计．该星期库存最多的一天是 ． 【答案】星期五 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，求出每天的库存即可求解． 【详解】解：星期一库存：吨； 星期二库存：吨； 星期三库存：吨； 星期四库存：吨； 星期五库存：吨； 星期六库存：吨； 星期日库存：吨； ∴该星期库存最多的一天是星期五． 故答案为：星期五． 26．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）有30筐白菜，以每筐为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如表所示： 与标准质量的差值/ 筐数 (1)30筐白菜中，质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少？ (2)若白菜每千克售价5元，则这30筐白菜可卖多少钱？ 【答案】(1)6 (2)3780元 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用， （1）用质量最大的一筐的质量减去最小的一筐的质量，即可得解； （2）先算出总质题，再单价乘以总的质量数，即可得解； 熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）； （2）         （元）． 题型十、省略加法和括号的形式 27．把算式：写成省略括号的形式，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】直接利用有理数加减法混合运算法则计算得出答案． 【详解】解:原式=-5+4-7-2 故选C. 【点睛】本题主要考查了有理数加减法混合运算，正确去括号是解题关键． 28．把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法中的括号问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型十一、数轴上两点之间的距离 29．A点为数轴上表示的点，则距A点4个单位长度的点所表示的数为（　　） A．2 B． C．2或 D．或4 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴两点之间的距离，正确掌握数轴的点左移减，右移加是解题关键； 分两种情况，格努数轴上的点向左移动减，向右移动加即可得到答案。 【详解】解：点A为数轴上表示的点， 距A点4个单位长度的点所表示的数为或， 即距A点4个单位长度的点所表示的数为2或， 故选：C． 30．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，为之间的一点（不与重合），以点为折点，将此数轴向右对折，此时落在的右边，且与点相距个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，中点的计算，理解数轴的折叠，掌握两点之间距离的计算，中点的计算方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵和表示的数分别是和，折叠后，落在的右边，且与点相距个单位长度， ∴点与表示的数为的点重合， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 31．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值． (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是　　；数轴上表示和的两点之间的距离是　　；数轴上表示2和的两点之间的距离是　　； (2)表示数轴上点x到点　　的距离，数轴上表示点x和的两点A、B之间的距离是　　； (3)当代数式取最小值时，相应的x的值是 　　． 【答案】(1)5；6；10 (2)2； (3)2 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算； （2）根据数轴上两点之间的距离等于相对应两数差的绝对值或直接让较大的数减去较小的数，进行计算； （3）结合数轴和两点间的距离进行分析． 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示2和的两点之间的距离是； 故答案为：5；6；10． （2）解：表示数轴上点x到点2的距离， 数轴上表示点x和的两点A、B之间的距离是， 故答案为：2；； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示、2、3的三点的距离之和， ， 所以，取最小值时，相应的x的值是2， 故答案为2． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．（3）是个难点，可借助数轴使问题直观化、简单化．规律：奇数个点时，x应等于正中间的数；偶数个点时，x应介于中间的两个数之间（包含中间的两个数）． 强化训练 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B．100 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中的去括号法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，解答的关键是熟知去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号；去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号． 2．（    ）中的括号里应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法运算的性质，将原式转化为求减数的问题，通过移项和符号处理即可求解 【详解】解：选项A：，等式不成立，不符合题意； 选项B：，等式成立，符合题意； 选项C：，等式不成立，不符合题意； 选项D：，等式不成立，不符合题意. 故答案为：B. 3．计算的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算，以及加法交换律和结合律的应用．考查的关键是：运用加法交换律和结合律，将有理数中易计算的数结合，简化有理数加法的计算过程． 本题可利用加法交换律和加法结合律进行简便计算，将互为相反数的数以及同分母的数分别结合在一起进行计算． 【详解】解： ． 故选：C． 4．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”的壮丽景象．1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山顶平均气温与山脚平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，明确温差的计算方法是解题关键；根据题意，温差为山脚平均气温减去山顶平均气温，计算即可. 【详解】解：山顶平均气温为℃，山脚平均气温为℃， 则温差为（℃）. 故答案为：. 5．比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，比大的数是，解答即可． 本题考查了有理数的加法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，比大的数是， 故选：A． 6．将写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了有理数加减运算中去括号的知识，属于基础题，注意掌握括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号前面是负号则括号里面的各项要变号． 【解答】解：， 故选：B． 7．在“□”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同学们对加法运算定律的认识以及了解.我们通过题干给出的信息，可以知道题目要求我们运用加法的交换律和结合律，即，我们知道分数相加减，一般把分母相同的放在一起，因此A选项分母与题干中的分母相同，这样这道题目就解答出来了. 【详解】解：当“”里的数为时，可用交换律和结合律； 即； 故选：A 8．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式并进行正确的运算．根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 9．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法交换律，注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动．根据有理数加法交换律逐项判断即可． 【详解】解：A、，原变形错误，不符合题意； B、，原变形错误，不符合题意； C、 ，原变形错误，不符合题意； D、 ，原变形正确，符合题意； 故选：D ． 10．甲、乙、丙三人合买15瓶汽水，按照规定三个空瓶可以换回一瓶汽水，请问他们一共可喝到汽水（    ）瓶 A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，15个空瓶换5瓶，喝完再用3个空瓶换1瓶，喝完后再与之前剩余的2个空瓶换1瓶． 【详解】解：15个空瓶换5瓶，喝完再用3个空瓶换1瓶，喝完后再与之前次剩余的2个空瓶换1瓶， 即（瓶）， 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则：先乘方、再乘除、最后再加减，有括号的先算括号里面的，是解题的关键． 按照有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了有理数的减法，先把减法转化为加法，再按加法法则计算． 【详解】解： ． 13．设表示不超过x的整数中最大的整数，如：，．根据此规律计算： ． 【答案】 【分析】根据题意直接计算即可．本题考查有理数的大小的认识及有理数减法的计算方法，掌握有理数减法的计算方法是解题的关键． 【详解】由题可知，， 故答案为：． 14．计算：（ ）][（ ）]（ ）（ ） ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的加减法，根据有理数加法交换律交换加数位置，根据简便算法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：，，，，． 15．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数加法法则是解题的关键． （1）根据有理数加法法则，一个数与相加，仍得这个数即可求得答案． （2）先将转化为小数为，再根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得即可得答案． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 16．五袋大米以每袋为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重（单位：）记录如下：，，，，．这五袋大米共超过标准 ，总质量是 kg． 【答案】 1 251 【分析】本题考查了有理数加法的应用，正确理解题意是解题的关键．将5个记录数据相加，即得第一空答案，计算即得第二空答案． 【详解】解：， 这五袋大米共超过标准． 总质量是． 故答案为：1，251． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数减法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．熟练掌握有理数减法法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 18．运用加法的运算律简单计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的运算法则是解题的关键, 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 19．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的加法运算．根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按有理数的减法法则计算即可； （2）先计算括号里面的，并且根据绝对值的概念去掉绝对值符号，再根据有理数减法法则计算即可； （3）根据有理数减法法则计算，将拆成，对后面几个数逆用运用乘法分配律，可以大大简化计算； （4）将括号去掉，观察发现从第三项开始，前后两个数之差为零可以抵消，找到规律计算即可； 本题考查有理数的加减法运算，熟练掌握运算法则、并注意观察数字的特征和规律以简化计算是解题的关键． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的减法运算及分数、带分数的加减运算，解题的关键是将减法转化为代数和形式后按加法法则计算． （1）将减法转化为代数和，拆分带分数后分别计算整数与分数部分的和． （2）转化为代数和后通分，按分数加法法则计算． （3）转化为代数和后，直接计算两个相同带分数的和． （4）转化为代数和后，按整数加法法则依次计算． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 22．某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后前5次表演的高度（规定上升为正，下降为负，单位：km）如下：，，，，． (1)当直升机A完成上述5个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？ (2)已知另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前4次的高度如下：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，则直升机B的第5个动作是上升还是下降？上升或下降多少千米？ 【答案】(1)直升机的高度是3.4km (2)直升机的第5个动作是下降，下降0.2km 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意和数据，可求得这个数据的和，即可得直升机的高度； （2）先求出直升机前四次飞行后的高度，再用直升机五次飞行后的高度减去四次飞行后的高度即可得到答案． 【详解】解：（1） ． 故直升机的高度是km． （2） ． 故直升机的第个动作是下降，下降km． 23．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加5分，答错一题扣5分．游戏结束时，各组的分数（单位：分）如下表： 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分数 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第一名超出第五名多少分？ 【答案】(1)第一名超出第二名200分； (2)第一名超出第五名750分． 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法的实际应用，依据表格正确得出第一名、第二名和第五名的分数是解题关键． （1）先根据表格得出第一名和第二名的分数，再计算有理数的减法即可得； （2）先根据表格得出第一名和第五名的分数，再计算有理数的减法即可得． 【详解】（1）解：由表格可以看出，第一名得了350分，第二名得了150分， （分）． 答：第一名超出第二名200分； （2）解：由题表可以看出，第一名得了350分，第五名得了分． （分）． 答：第一名超出第五名750分． 24．阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数加法与减法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法运算律 3.有理数的减法法则 4.省略和式中的括号和加号 5.有理数的加减混合运算 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、数轴上两点之间的距离 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 类型 加法法则 示例 同号相加 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 同0相加 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算的关键步骤 知识点2.有理数加法运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 易错： 利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号，如(−6.6)+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4)。 说明： 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上的有理数相加。 知识点3.有理数的减法法则 1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示： 。 2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：“两变”是指运算符号“-”需要变成“+ ”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 说明： （1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。 （2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。 知识点4.省略和式中的括号和加号 我们可以把算式 +(− )+(+ ) 中各个加数的括号和括号前面的加号省略，写成 − + ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的和”（按式子表示的意义读），或者读作“ 减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择和书写带来方便。 知识点5.有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： （1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法； （2）运用加法交换律和结合律，简化运算； （3）求出结果。 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）用表示不大于的整数中的最大整数，如，，请计算 ． 3．计算： (1)(+10)+(-11)； (2) 题型二、有理数加法中的符号问题 4．在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（      ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·周测）与的和取 号；与的和取 号；和的和取 号．（填“正”或“负”） 题型三、有理数加法在生活中的应用 6．（23-24七年级上·全国·期末）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（　　） 欲购买的商品 原价（元） 优惠方式 一件衣服 每付现金元，返购物券元，且付款时可以使用购物券 一双鞋 每付现金元，返购物券元，但付款时不可以使用购物券 一套化妆品 付款时可以使用购物券，但不返购物券 A．元 B．元 C．元 D．元 7．（23-24七年级上·浙江台州·期中）某天最低气温是．最高气温比最低气温高，则这天的最高气温是 ℃ 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小明在东西方向的赛道上遥控一辆玩具赛车，让它从A处出发，先向东行驶15m，再向西行驶25m，然后又向东行驶20m，再向西行驶35m． (1)玩具车最后停在何处？ (2)玩具赛车一共行驶了多少米？​ 题型四、有理数加法运算律 9．下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 11．计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 题型五、有理数的减法运算 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，若每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则涂色圆里的数为（   ） A． B． C．3 D．2 13．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）比小2的数是 ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型六、有理数减法的实际应用 15．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）甲、乙、丙三地海拔高度分别为25米，16米，米，那么最高的地方比最低的地方高 米． 17．（23-24七年级上·浙江温州·期中）2023年9月15日，绕省一圈的杭州亚运会火炬在温州接棒．火炬传递路线从“松台广场”开始，沿信河街—蝉街—五马街—公园路—环城东路—安澜亭（古港遗址、江心屿）—瓯江路进行传递，最后到达“城市阳台”．按照路线，从“松台广场”到“蝉街”共安排15名火炬手跑完全程．平均每人传递里程为58米，若以58米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为“+”，不足的记为“”，并将其称为里程波动值．下表记录了15名火炬手中部分人的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 里程波动值 2 5 4 0 5 7 4 (1)第3棒火炬手的实际里程为________米； (2)若第4棒火炬手的实际里程为61米． ①第4棒火炬手的里程波动值为________； ②求第13棒火炬手的实际里程． 题型七、有理数的加减混合运算 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 19． ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型八、有理数加减中的简便运算 21．计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 22．计算： ． 23．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）计算： (1)． (2)． 题型九、有理数加减混合运算的应用 24．（23-24七年级上·浙江温州·期中）五个国际大都市的时差（单位：时）在数轴上表示如下图，那么当北京时间为2023年11月9日9时，下列选项中时间正确的应该是（    ） A．东京时间2023年11月9日8时 B．迪拜时间2023年11月9日5时 C．伦敦时间2023年11月9日2时 D．纽约时间2023年11月8日19时 25．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某粮油配送中心记录了某星期大米的进货和出货数量，如下表（记进货为正，单位：吨）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进货 4 7 5 4 8 3 6 出货 每天完成进出货后进行统计．该星期库存最多的一天是 ． 26．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）有30筐白菜，以每筐为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如表所示： 与标准质量的差值/ 筐数 (1)30筐白菜中，质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少？ (2)若白菜每千克售价5元，则这30筐白菜可卖多少钱？ 题型十、省略加法和括号的形式 27．把算式：写成省略括号的形式，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 28．把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 题型十一、数轴上两点之间的距离 29．A点为数轴上表示的点，则距A点4个单位长度的点所表示的数为（　　） A．2 B． C．2或 D．或4 30．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，为之间的一点（不与重合），以点为折点，将此数轴向右对折，此时落在的右边，且与点相距个单位长度，则点表示的数为 ． 31．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值． (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是　　；数轴上表示和的两点之间的距离是　　；数轴上表示2和的两点之间的距离是　　； (2)表示数轴上点x到点　　的距离，数轴上表示点x和的两点A、B之间的距离是　　； (3)当代数式取最小值时，相应的x的值是 　　． 强化训练 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B．100 C． D． 2．（    ）中的括号里应填（    ） A． B． C． D． 3．计算的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 4．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”的壮丽景象．1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山顶平均气温与山脚平均气温的温差是（    ） A． B． C． D． 5．比大的数是（   ） A． B． C． D． 6．将写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 7．在“□”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 8．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 9．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．甲、乙、丙三人合买15瓶汽水，按照规定三个空瓶可以换回一瓶汽水，请问他们一共可喝到汽水（    ）瓶 A．20 B．21 C．22 D．23 二、填空题 11．计算： ． 12．计算： ． 13．设表示不超过x的整数中最大的整数，如：，．根据此规律计算： ． 14．计算：（ ）][（ ）]（ ）（ ） ． 15．计算： （1） ． （2） ． 16．五袋大米以每袋为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重（单位：）记录如下：，，，，．这五袋大米共超过标准 ，总质量是 kg． 三、解答题 17．计算：． 18．运用加法的运算律简单计算： （1）． （2）． （3）． 19．计算：． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后前5次表演的高度（规定上升为正，下降为负，单位：km）如下：，，，，． (1)当直升机A完成上述5个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？ (2)已知另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前4次的高度如下：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，则直升机B的第5个动作是上升还是下降？上升或下降多少千米？ 23．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加5分，答错一题扣5分．游戏结束时，各组的分数（单位：分）如下表： 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分数 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第一名超出第五名多少分？ 24．阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$