第21章 二次函数与反比例函数（复习讲义）数学沪科版九年级上册

第21章 二次函数与一次函数（复习讲义） 1.掌握两个函数：理解二次函数 (y=ax²+bx+c) 和反比例函数 (y=k/x) 的定义. 2. 会画图、知性质： · 能画出它们的图像（抛物线和双曲线）. · 掌握核心性质：开口方向、对称轴、顶点（二次函数）；所在象限、增减性（反比例函数）. 3.能求解析式：会用待定系数法根据条件求出函数表达式. 4.解决实际问题：能将最大面积、最大利润等问题转化为二次函数求最值；将行程、工程等问题转化为反 比例函数求解. ●一、二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． ●二、二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ ●三、 二次函数图象的平移 ●四、二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ●五、二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 ●六、二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. ●七、反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 【注意】因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围． ●八、用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. ●九、反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． 2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 ●十、反比例函数的应用 ◆1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． ◆2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． ◆3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 题型一 二次函数的概念 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 题型二 由二次函数的定义求字母的值 【例2】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【变式2-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 题型三 二次函数的性质 【例3】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【变式3-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 题型四 二次函数的图象共存问题 【例4】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【变式4-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例5】（2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 题型六 待定系数法求二次函数的解析式 【例6】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【变式6-1】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 … 则二次函数的解析式为　 　． 【变式6-2】某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 题型七 二次函数与一元二次方程 【例7】（2024秋•沈北新区期末）抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，则c的值为（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【变式7-1】（2024•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【变式7-2】（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 题型八 二次函数与不等式 【例8】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 【变式8-1】（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【变式8-1】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 题型九 二次函数的多结论问题 【例9】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【变式9-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十 二次函数的性质求最值 【例10】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【变式10-1】 （2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【变式10-2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 题型十一 二次函数的平移 【例11】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 【变式11-2】（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 题型十二 二次函数的实际应用 【例12】（2024秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【变式12-1】（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【变式12-2】（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出m的取值范围． 题型十三 二次函数与一次函数的综合 【例13】如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【变式13-1】（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【变式13-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 二次函数的综合题 【例14】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-1】【例3】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的取值范围； (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（2024春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五 反比例函数的识别 【例15】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十六 根据反比例函数的定义求参数 【例16】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【变式16-1】（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ． 题型十七 求反比例函数的自变量值或函数值 【例17】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式17-2】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 题型十八 由反比例函数图象求解析式 【例18】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】（2024春•东坡区期末）点A是双曲线上一点，过点A作AB⊥x轴于点B．图上△AOB的面积为3，则此反比例函数的解析式（　　） A． B． C． D． 【变式18-2】（2024•兴宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边 AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝8，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 题型十九 判断反比例函数所在的象限 【例19】（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式19-1】（2024春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式19-2】（2024秋•双流区校级月考）反比例函数y（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx+k的图象不经过第 　 　象限． 题型二十 由反比例函数的增减性求参数 【例20】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【变式20-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是 ． 【变式20-2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 题型二十一 判断反比例函数值或自变量的大小 【例11】（2024秋•包河区校级期末）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【变式21-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）点，都在反比例函数的图像上，则 ．（填“”或“”或“”） 【变式21-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 题型二十二由比例系数求图形的面积 【例12】（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式22-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（   ） A．3 B． C．9 D．18 【变式22-2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二十三 由图形的面积求比例系数 【例23】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【变式23-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【变式23-2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 题型二十四 求反比例函数的解析式 【例24】 （2024•定安县二模）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y B．y C．y D．y 【变式24-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【变式24-2】 （24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 题型二十五 反比例函数的实际应用 【例25】（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式25-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式25-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 题型二十六一次函数与反比例函数图象的共存问题 【例26】（2024秋•成都期末）若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C．D． 【变式26-1】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式26-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C．D． 题型二十七一次函数与反比例函数的综合问题 【例27】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【变式27-1】（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【变式27-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 题型二十八 反比例函数与几何综合问题 【例28】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ． 【变式28-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【变式28-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 9．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 10．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，已知双曲线经过直角三角形直角边上的一点，且，连接，的面积为 ． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线（c是常数）的顶点在第二象限，且．下列四个结论：①；②；③若，则当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．其中结论正确的是 （填序号）． 能力提升进阶练 14．（2024秋•金堂县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD． （1）如果b＝﹣2，求k的值； （2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式． 15．（2024•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； （3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围． 16．（2025·湖北·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)点E在线段上，连接，若，求点E的坐标． 17．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 18．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点． (1)的值为__________，的值为__________； (2)对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________； (3)以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 19．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 20．（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与一次函数（复习讲义） 1.掌握两个函数：理解二次函数 (y=ax²+bx+c) 和反比例函数 (y=k/x) 的定义. 2. 会画图、知性质： · 能画出它们的图像（抛物线和双曲线）. · 掌握核心性质：开口方向、对称轴、顶点（二次函数）；所在象限、增减性（反比例函数）. 3.能求解析式：会用待定系数法根据条件求出函数表达式. 4.解决实际问题：能将最大面积、最大利润等问题转化为二次函数求最值；将行程、工程等问题转化为反 比例函数求解. ●一、二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． ●二、二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ ●三、 二次函数图象的平移 ●四、二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ●五、二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 ●六、二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. ●七、反比例函数的概念 1、反比例函数定义：一般的，如果两个变量之间的关系可以表示成的形式，那么是的反比例函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、反比例函数的三种表达式：； 2、； 3、． 【注意】因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围． ●八、用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. ●九、反比例函数的图象与性质 1、反比例函数的图象：由两条曲线组成，它是双曲线． 2、反比例函数的性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，y随x的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，y随x的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 ●十、反比例函数的应用 ◆1、利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． ◆2、跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． ◆3、反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 题型一 二次函数的概念 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 题型二 由二次函数的定义求字母的值 【例2】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 【变式2-1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 二次函数的性质 【例3】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型四 二次函数的图象共存问题 【例4】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 【变式4-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例5】（2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 【变式5-2】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 题型六 待定系数法求二次函数的解析式 【例6】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得， a＝﹣1， 函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1， 展开得y＝﹣x2+4x﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 【变式6-1】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 … 则二次函数的解析式为　 　． 【分析】从表格中选三组数代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 将（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8； 故答案为：y＝x2﹣2x﹣8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是选三组数代入解方程组． 【变式6-2】某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），求出抛物线与直线的交点为（3，5），将（3，5）代入抛物线解析式可得a的值． 【详解】解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2）， 抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5， ∴5＝2x﹣1， 解得：x＝3， ∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5）， 将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）（x+2），即． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 题型七 二次函数与一元二次方程 【例7】（2024秋•沈北新区期末）抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，则c的值为（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【分析】根据抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，即Δ＝0即可求出c． 【详解】解：∵抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点， ∴关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝62﹣4c＝0， 解得c＝9． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． 【变式7-1】（2024•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 【变式7-2】（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【点睛】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 题型八 二次函数与不等式 【例8】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣2＜x＜6时，y＞0， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【变式8-1】（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【分析】先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得0＝﹣3+a和0＝（﹣3）2﹣3b， 解得a＝3和b＝3， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为y＝x+3和y＝x2+3x， 联立得x2+3x＝x+3，解得x＝﹣3或x＝1， 当x＝1时，y＝4， ∴B（1，4）， 观察图象可得，当﹣3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式x+a＞x2+bx的解集为﹣3＜x＜1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式8-1】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【分析】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 图象如图所示， 当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m， ∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3， 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点． 题型九 二次函数的多结论问题 【例9】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 题型十 二次函数的性质求最值 【例10】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 【变式10-1】 （2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 【变式10-2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 题型十一 二次函数的平移 【例11】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 【变式11-1】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 【变式11-2】（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 题型十二 二次函数的实际应用 【例12】（2024秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）设AB为x米，则BC为（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长． （2）根据题意得y＝x（24﹣3x），再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积． 【详解】解（1）设AB＝x米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝36， 解得：x1＝2，x2＝6， 又∵24﹣3x≤9， ∴x≥5， ∴x1＝2舍去， ∴x＝6， 答：AB的长为6米； （2）根据题意得：y＝x（24﹣3x）， ∴y＝﹣3x2+24＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵a＝﹣3＜0，且x≥5在对称轴直线x＝4右侧， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝5时，y有最大值，y最大值＝﹣3×（5﹣4）+48＝45， 答：当AB的长为5米时，长方形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45平方米． 【点睛】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆． 【变式12-1】（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 【变式12-2】（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9，求出a、b的值，即可得到该抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为1.8米，据此即可得到答案； （3）令y＝1.7，求出x的值，即为m的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可知，B（6，0.9）、OF＝1、EF＝1.4、E（1，1.4）， 把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9得， ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9； （2）能，理由如下： ∵y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， ∴抛物线的顶点坐标为（3，1.8），即绳子甩到最高处时的高度为1.8米， ∵1.75＜1.8， ∴绳子能顺利从他头顶越过； （3）令y＝1.7，则﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7， 解得：x1＝2，x2＝4， ∴2＜m＜4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 题型十三 二次函数与一次函数的综合 【例13】如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据△AOP的面积为4求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标； （2）把点P的坐标代入y＝ax2，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线y＝ax2上下平移后的解析式为y＝ax2+m，把点A坐标代入，求出m的值即可． 【详解】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点， ∴4k+b＝0，b＝4， ∴k＝﹣1，b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∵△AOP的面积为4， ∴4×yp＝4， ∴yp＝2， ∴2＝﹣x+4， 解得x＝2， ∴点P的坐标为（2，2）； （2）把点P（2，2）代入y＝ax2， 得2＝a×（2）2， 解得a， 故二次函数的解析式为yx2； （3）能， 设将抛物线yx2上下平移后的解析式为yx2+m， 把点A（4，0）代入，得y42+m， 解得m＝﹣8， 故能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A， 平移后的解析式为：yx2﹣8． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，同时也考查了学生的计算能力． 【变式13-1】（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【分析】（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4求得n，抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）求出b即可； （2）设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，可得S△AMN＝S△AMT+S△ANT，运用二次函数性质即可求出最值． 【详解】解：（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4得：1＝﹣n+4， 解得n＝3， ∴N（3，1）， ∵抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）， ∴1＝9+3b+4，解得b＝﹣4． （2）由（1）可得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4， ∴M（0，4）， 设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，如图示： 则T（m，﹣m+4）， ∴AT＝﹣m+4﹣（m2﹣4m+4）＝﹣m2+3m， ∴S△AMN＝S△AMT+S△ANT， ∵0， ∴当m时，S△AMN取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握最值求法是解答本题的关键． 【变式13-2】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1＝4a，解得：a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得： ，解得：，， ∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）． 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y＝﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB′的解析式为yx， 当y＝﹣1时，有x1， 解得：x， ∴点P的坐标为（，﹣1）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴 对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数 题型十四 二次函数的综合题 【例14】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式14-1】【例3】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的取值范围； (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，2或4． 【分析】（1）把点和点代入，求解即可； （2）将抛物线解析式化成顶点式，求得的最小值为．由直线与抛物线有两个交点，即可得出； （3）分两种情况：①当，时，②如图，当，时，分别 求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解： ∴的最小值为． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴． （3）解：存在． 当时，． ∴点的坐标为． ①如图，当，时，过点作轴于， ∴． ∵，， ∴．    在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 延长至使得，此时也是等腰直角三角形． 易得，此时．（不合题意，舍去） ②如图，当，时，过点作轴于，    ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 延长，使得，此时也是等腰直角三角形． 同理可得， ．（不合题意，舍去） 综上所述，直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形． 的值为2或4． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解． 【变式14-2】（2024春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或 【分析】（1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （3）解：存在， 由（2）得：， ， 对称轴为直线， 当四边形为平行四边形时， 则，， ，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ， 存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用平移规律进行分类讨论求出存在的点的坐标． 题型十五 反比例函数的识别 【例15】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式．由题意直接根据反比例函数的定义，对各选项进行判定即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式15-1】（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义逐一分析各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，为一次函数，形如（），不符合反比例函数的形式； B：，可变形为，符合反比例函数的形式，其中； C：，直接符合的形式，其中； D：，可改写为，符合反比例函数的形式，其中； 故选：A． 【变式15-2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义：两个变量之间的关系为的形式，由反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①（为常数），是反比例函数； ②，是正比例函数； ③，是反比例函数； ④，是反比例函数； ⑤，是正比例函数； ⑥由得到，是反比例函数； 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个， 故选：D． 题型十六 根据反比例函数的定义求参数 【例16】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选B． 【变式16-1】（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 【变式16-2】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为：． 题型十七 求反比例函数的自变量值或函数值 【例17】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，点在图象上，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，将代入反比例函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数，点在图象上， ∴， 故选：A． 【变式17-1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式17-2】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 题型十八 由反比例函数图象求解析式 【例18】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 【变式18-1】（2024春•东坡区期末）点A是双曲线上一点，过点A作AB⊥x轴于点B．图上△AOB的面积为3，则此反比例函数的解析式（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y， ∵AB⊥x轴，垂足为B，△ABO的面积为3， ∴|k|＝2×3＝6， ∵k＜0， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：y． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【变式18-2】（2024•兴宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边 AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝8，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】作AH⊥x轴，利用相似求出S△AHC，利用BC＝2AC求出S△ACO，继而求出S△AHO＝2根据k值几何意义求出k值即可． 【详解】解：作AH⊥x轴，垂足为H， ∵AH∥OB， ∴△AHC∽△BOC， ∵BC＝2AC，且S△OBC＝8， ∴S△AHC2，S△ACO4， ∴S△AHO＝2+4＝6， ∵点A在反比例函数图象上， ∴丨k丨＝2S△AHO＝12， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣12． ∴反比例函数解析式为y． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式． 题型十九 判断反比例函数所在的象限 【例19】（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 【变式19-1】（2024春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由反比例函数的性质求解． 【详解】解：反比例函数的函数值y随着自变量x的增大而增大， 所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【变式19-2】（2024秋•双流区校级月考）反比例函数y（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx+k的图象不经过第 　 　象限． 【分析】根据反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小，得出k的正负，据此可得出一次函数y＝kx+k不经过的象限． 【详解】解：因为当x＜0时，反比例函数y中y随x的增大而减小， 所以k＞0． 因为一次函数y＝kx+k的图象过定点（﹣1，0）， 又因为k＞0， 所以y随x的增大而增大， 所以一次函数y＝kx+k的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 题型二十 由反比例函数的增减性求参数 【例20】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限． 根据点、的坐标以及，判断出反比例函数图象所在的象限，进而得出关于的不等式． 【详解】∵在同一反比例函数图象上， ∴点A，B分别在图象的两个分支上， ，且， ∴反比例函数图象只能分布在第二四象限， ， ． 故答案为：． 【变式20-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在反比例函数图象上有两点，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式20-2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二十一 判断反比例函数值或自变量的大小 【例11】（2024秋•包河区校级期末）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】A． 【分析】根据反比例函数k值确定图象分布象限，再根据点的横坐标确定点的象限，根据函数增减性比较函数值大小即可． 【详解】解：在反比例函数y，k＜0，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵C（1，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∵﹣2＜﹣1， ∴y2＞y1＞0， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【变式21-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）点，都在反比例函数的图像上，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是比较反比例函数值或自变量的大小，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．先分别将点的坐标代入解析式求出，的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， 故将，代入，得，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式21-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型二十二由比例系数求图形的面积 【例12】（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式22-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（   ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例系数k的几何意义，正方形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．根据正方形的性质得出，证明四边形为矩形，四边形为矩形，根据k的几何意义得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点B、C在轴上， ∴、O、C三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∵点A、D分别在函数的图象上， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式22-2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上， ∴当，， 即A点坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当，， 即B点坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 题型二十三 由图形的面积求比例系数 【例23】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【变式23-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式23-2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 题型二十四 求反比例函数的解析式 【例24】 （2024•定安县二模）已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 A．y B．y C．y D．y 【答案】B． 【分析】由于表中每对变量的积都为﹣9不变，则这个两个变量成反比例函数关系，设此反比例函数的解析式为y（k≠0），再把x＝﹣3，y＝3代入求出k的值即可． 【详解】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系， 设函数的解析式为y（k≠0）， 把x＝﹣3，y＝3代入得，k＝﹣9， ∴该函数的解析式为：y， 故选：B． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤是解答此题的关键． 【变式24-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据与x成反比例，设，代入当时，，求解即可． 【详解】解：设． 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴y与x的函数表达式为． 【变式24-2】 （24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 题型二十五 反比例函数的实际应用 【例25】（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，设，由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得其表达式为，将代入即可得到答案．读懂题意，利用待定系数法求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，可设， 由一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度可得，， ， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度是， 故选：C． 【变式25-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴当时，，故B错误； 当时， ∴ ∵当时，h随的增大而减小 ∴当时，，故C正确； 由图象得，当时，，故D错误． 故选：C． 【变式25-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 题型二十六一次函数与反比例函数图象的共存问题 【例26】（2024秋•成都期末）若kb＜0，则一次函数y＝kx+b与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C．D． 【答案】C． 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者一致，但不满足kb＜0，故此项错误，不符题意； B、由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＞0，两者不一致，且不满足kb＜0，故此项错误，不符题意； C、由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者一致，且满足kb＜0，则此项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由反比例函数的图象可知k＜0，两者不一致，则此项错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 【变式26-1】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象，根据一次函数与反比例函数的图象特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项D的图象符合． 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图象均不符合； 故选：D 【变式26-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断，根据反比例函数与一次函数的图象，进行判断即可． 【详解】解：当时，则：，故双曲线过一，三象限，直线过一，三，四象限； 当时，则：，故双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意是只有选项D； 故选D． 题型二十七一次函数与反比例函数的综合问题 【例27】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】(1)4，12 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【详解】（1）把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； （2）点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 【变式27-1】（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的综合，数形结合分析是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求解； （2）根据题意，设，由几何图形面积的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （3）把代入、，得出，，根据列不等式即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数 的图象与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； （2）解：点在反比例函数， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵点是一次函数与反比例函数的交点， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，； （3）解：当时，，， ∵当时，对于的每一个值，都有， ∴的图象在的图象上方， ∴， 解得：． 【变式27-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3） 观察函数图象知，时的取值范围为． 题型二十八 反比例函数与几何综合问题 【例28】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含度的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含度直角三角形的性质是解题的关键． 过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【变式28-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 【变式28-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图形面积计算与点坐标求解，矩形的性质等知识点的应用，掌握这些是解题的关键． （1）由题意将代入即可得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）根据图象即可求得； （3）将代入反比例函数解析式可得出N的坐标，求出四边形的面积，求出的值，即可求出P的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 将代入得：， 把M的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； （2）当时，x的取值范围是或； （3）把代入得：， 即， ， 由题意得：， ， ， 点P的坐标是或． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数解析式可知：该图象上的点满足横纵坐标之积为，由此可排除选项． 【详解】解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数图象所在象限及增减性分别求解即可． 【详解】解：当时，函数的图象在第一象限，； 当时，函数的图象在第三象限，y随x的增大而减小， 令， 解得， , 综上可得，当时，x的取值范围是或． 故选D． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴，， 故选：A． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的意义． 根据图像在第二、四象限列不等式计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 9．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数是中心对称图形，可得，，可将化简为，再结合反比例函数图象上的坐标特征求解即可． 【详解】解：直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、， 和关于原点中心对称，， ，， ． 故答案为：6． 10．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，已知双曲线经过直角三角形直角边上的一点，且，连接，的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积公式．在解决该题型题目时，结合反比例函数系数k的几何意义求出图形的面积是关键．先根据反比例函数k的几何意义求出，再根据，求出． 【详解】解：∵ 直角三角形中， ∴为直角三角形， ∵点C在双曲线上， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线（c是常数）的顶点在第二象限，且．下列四个结论：①；②；③若，则当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质及图象，二次函数与一元二次方程，熟记二次函数的对称轴，最值，增减性以及顶点坐标公式是解题关键．①由可知抛物线经过点，由顶点在第二象限可画出函数大致图象，即可判断开口方向，再结合，即可判断；②由顶点在第二象限且过可判断出当时，即，进而判定是否正确；③根据，，可以得出和的关系，即可判断对称轴与的关系，而确定增减性；④用特例法，满足条件，此时． 【详解】解：根据， 抛物线经过点， 抛物线顶点在第二象限， ，， 由大致图象（如图）可知函数图象开口向下即， ，①正确； 抛物线（c是常数）的顶点在第二象限且过， ∴对称轴直线， 由对称性可得抛物线与x轴另一交点的横坐标小于， 当时，，即， ，②错误； ∵，且， ， ， 即， ∴， 当时，无法确定增减性，③错误； 举例：当时，满足条件且有两个不相等的实数根， 此时， ④错误； 故答案为：①． 能力提升进阶练 14．（2024秋•金堂县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD． （1）如果b＝﹣2，求k的值； （2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）首先求出直线y＝2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD＝OB，AO＝AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y（ x＞0）的图象上求出k的值； （2）首先直线y＝2x+b与坐标轴交点的坐标为A（，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD＝OB，AO＝AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式． 【详解】解：（1）当b＝﹣2时， 直线y＝2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2）． ∵△AOB≌△ACD， ∴CD＝OB，AO＝AC， ∴点D的坐标为（2，2）． ∵点D在双曲线y（ x＞0）的图象上， ∴k＝2×2＝4． （2）直线y＝2x+b与坐标轴交点的坐标为A（，0），B（0，b）． ∵△AOB≌△ACD， ∴CD＝OB，AO＝AC， ∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）． ∵点D在双曲线y（ x＞0）的图象上， ∴k＝（﹣b）•（﹣b）＝b2． 即k与b的数量关系为：k＝b2． 直线OD的解析式为：y＝x． 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的中考试题． 15．（2024•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； （3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）先把一般式化为顶点式得到y＝a（x+1）2+2a2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）由（1）得到顶点坐标为（﹣1，2a2﹣a﹣4），则2a2﹣a﹣4＝0，然后解关于a的方程即可； （3）当a＞0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）；当a＜0时，由于y1＜y2，则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），然后分别解不等式即可． 【详解】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝y＝ax2+2ax+a2+2a2﹣4＝a（x+1）2+2a2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； （2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，3a2﹣a﹣4）， ∵该抛物线的顶点在x轴上， ∴3a2﹣a﹣4＝0， 解得a1，x2＝﹣， 即a的值为或﹣1， ∴抛物线解析式为yx2x或y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）当a＞0时，抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）， 解得﹣5＜m＜3； 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵y1＜y2， ∴|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1）， 解得m＜﹣5或m＞3， 综上所述，当a＞0时，﹣5＜m＜3；当a＜0时，抛物线开口向下，m＜﹣5或m＞3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 16．（2025·湖北·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)点E在线段上，连接，若，求点E的坐标． 【答案】(1)2，4，6 (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）将B点坐标代入两个函数解析式，求出b，k的值，将A点代入反比例函数解析式，求出a的值； （2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得解； （3）E是线段上的一点，设点，分别表示出和，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2，4，6； （2）解：由（1）知， 由图可知：当或时，双曲线在直线的下方， 即不等式的解集为或； （3）解：设， 过点作轴于点，轴于点，则 有： ∵， ∴， 又， ∵， ∴ 解得，， ∴ ∴点的坐标为 17．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 18．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点． (1)的值为__________，的值为__________； (2)对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________； (3)以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 【答案】(1)2；6 (2) (3)点B没有落到双曲线上 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、正比例函数图象与性质、函数大小比较等知识点，熟练掌握函数图象与性质是解题的关键．小问1将A代入一次函数与反比例函数，即可得到、的值；小问2将代入，根据图象找到的范围即可；小问3利用全等三角形，得出点B的坐标，代入，即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入一次函数与反比例函数， ∴，， ∴，． 故答案为2；6 （2）解：将代入， ∴， 解得， 根据图象得到当时，的取值范围为． 故答案为 （3）解：如图，过点A作轴，垂足为D， 过点B作，垂足为E， ∴， ∵为正方形， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，． ∴点B的坐标为． ∴当时，， ∴点B没有落到双曲线上． 19．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 【分析】（1）根据OA＝3m，OB＝6m．将c＝3，B（6，0）代入y＝ax2+x+3中，从而求出函数解析式； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3），从而表示出CD＝a，ACa2+a，再根据CD＝4AC，列出关于a的方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意知：OA＝3m，OB＝6m． ∴c＝3，B（6，0）， 将B点坐标代入y＝ax2+x+3中， 得：36a+6+3＝0， 解得：a， ∴函数关系式为：yx2+x+3； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3）， ∴CD＝a，AC＝3﹣（a2+a+3）a2﹣a， ∵CD＝4AC， ∴a＝4（a2﹣a）， 解得：a＝5， ∴52+5+3＝1.75，﹣ ∵1.75＞1.65， ∴拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解答本题的关键． 20．（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用角平分线的性质和平行线的性质作轴，交于点Q，交x轴于点E，可证得，求的解析式为，设点P的横坐标为t，则有，，，求出，，由求得t值即可解答； （3）将绕点O顺时针方向旋转，至，可得，，则，求出过点的直线的解析式为，与抛物线联立方程组求得交点；再过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，作关于的对称点G，点G在上，作直线，则直线与抛物线的交点也满足条件，则，与点D重合，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：作轴，交于点Q，交x轴于点E，如图1所示： ∵轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入，， ∴的解析式为， 设点P的横坐标为t，则有，，，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在，或． 当时，，则， ∴，则， 将绕点O顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ∴ 由题意知，直线过点， 设直线的解析式为， 将，，代入，得：， 解得：， ∴直线BP的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 此时使； 如图2所示，过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形， 作关于的对称点G，则点G在上且， ∴，与点D重合， 作直线，则， ∴直线与抛物线的交点也满足条件， ∵点在抛物线上， ∴． 综上，抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、二次函数与几何变换（旋转和轴对称）、正方形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解答的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$