专题03相反数与绝对值重难点题型专训（4个知识点+12大题型+5拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

专题03相反数与绝对值重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 互为相反数的判断 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的结合 题型五 求一个数的绝对值 题型六 绝对值的化简问题 题型七 绝对值的非负性 题型八 绝对值方程 题型九 绝对值的几何意义 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点1、绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要找到表达式的最小值，需分析绝对值的取值范围及其对表达式的影响。 【详解】解：因为当最小时，的值最小， 所以当时，的最小值是. 故选C. 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，解题的关键是理解任意一个数的绝对值都是非负数. 2．（24-25七年级上·北京延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，即可得出，故写出一组即可满足该条件的数即可，答案不唯一． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴满足该条件的数有，（答案不唯一）， 故答案为：；；． 知识点2、相反数的意义 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【即时训练】 1．（23-24七年级上·全国·期末）的相反数是（    ） A．2024 B． C．2025 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、相反数，先根据相反数的定义求出相反数，再去绝对值即可． 【详解】解：由题可知， 相反数是2024， 则相反数的绝对值是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）7的相反数是 ，的相反数是 ，0.2与 互为相反数． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：7的相反数是，的相反数是，0.2与互为相反数． 故答案为：，，． 知识点3、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·贵州安顺·阶段练习）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多重符号化简，根据“奇负偶正”的方法进行化简即可求解． 【详解】解：A．，本选项化简错误； B．，本选项化简正确； C．，本选项化简错误； D．，本选项化简错误． 故选：B 2．（2025七年级上·全国·专题练习） ． 【答案】 【详解】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．化简多重符号法则为：当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正．据此即可获得答案． 解： 故答案为：． 知识点4、比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列各数中最小的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，根据有理数大小比较的方法：（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大；（2）正数大于，负数小于，正数大于负数；（3）两个正数中绝对值大的数大；（4）两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． 【详解】解：，，， ， ， 最小的数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先通分，再比较其绝对值的大小即可求解，熟知负数比较大小的法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）若有理数与互为相反数，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数求出． 【详解】解：有理数与互为相反数， ． 故选：A． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）在数轴上，点A表示的数为，点B，C表示的数互为相反数，且点C与点A之间的距离为2．求点B，C表示的数． 【答案】点C表示的数为，点B表示的数为4或点B，C表示的数都为0 【分析】 本题主要考查了数轴的知识和相反数的定义，关键在于分类讨论点在的左边还是右边． 数轴上点表示的数是，点与点之间的距离为，则点表示的数是或，再求点表示的数． 【详解】解：如图①，当点在点的左边时，点表示的数为，点表示的数为； 如图②，当点在点的右边时，点表示的数为，点表示的数也为． 综上所述，点表示的数为，点表示的数为或点，表示的数都为． 1．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如果a与互为相反数，那么a的值是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的应用，根据相反数的定义：相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴的值是， 故选：D． 2．（2024·青海·中考真题）的相反数为（    ）． A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的概念：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 根据相反数的定义，直接求出的相反数． 【详解】根据相反数的定义，对于一个数，它的相反数是． 那么对于，它的相反数就是． 所以的相反数是2024， 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上A，B两点表示的数互为相反数，且点A与点B之间的距离为6个单位长度，则点A表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件数轴上、两点在原点的两侧，且到原点的距离相等，且点与点之间的距离为6个单位长度可得点到原点的距离为3个单位长度，则可得所求． 【详解】解：数轴上、两点表示的数互为相反数， 数轴上、两点在原点的两侧，且到原点的距离相等． 又点与点之间的距离为6个单位长度， 点到原点的距离为3个单位长度， ∵点在原点左侧时， ∴它所表示的数是． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的相反数：，，，，，，，． 【答案】，，8，，，，100， 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐项求解即可． 【详解】解：的相反数为， 6的相反数为， 的相反数为8， 的相反数为， 的相反数为， 10的相反数为， 的相反数为100， 的相反数为． 【经典例题二 互为相反数的判断】 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组数字中，互为相反数的是（      ）． A．-和-（+） B．-（+3）和+|-3| C．-（-3）和+（+3） D．-4和-（+4） 【答案】B 【分析】根据互为相反数两个数的和为0进行判断． 【详解】A选项：-+[-（+）]＝，故不是； B选项：-（+3）+[+|-3|]＝0，故不是； C选项：-（-3）+[+（+3）]＝6，故不是； D选项：-4+[-（+4）]＝-8，故不是； 【点睛】考查了绝对值和相反数，解题关键是掌握相反数的意义和化简绝对值符号． 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥ 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列四组数中互为相反数的是(     ) A．－(+3)和+(－3) B．+(－2)和－2 C．+(－4)和－(－4) D．－(－1)和1 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. −(+3)=−3，+(−3)=−3，相等，不是互为相反数，故本选项错误； B. +(−2)=−2，与−2相等，不是互为相反数，故本选项错误； C. +(−4)=−4，−(−4)=4，互为相反数，故本选项正确； D. −(−1)=1与1相等，不是互为相反数，故本选项错误. 故选C. 【点睛】此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义. 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下面两个数互为相反数的是（　　） A．－（+3）与 +（－3） B．－与 －（+） C．+（－0.1）与 －（－） D．+（－1）与 －（－） 【答案】C 【分析】根据相反数的概念，对每一项进行分析，即可求出正确答案． 【详解】解：A、∵-（+3）=-3，+（-3）=-3 ∴-（+3）和+（-3）不互为相反数，故本选项错误； B、∵-（+）=－， ∴－与 －（+）不互为相反数，故本选项错误； C、∵+（－0.1）=－0.1，－（－）==0.1， ∴+（－0.1）与 －（－）互为相反数，故本选项正确； D、∵+（－1）= －1，－（－）=， ∴+（－1）与 －（－）不互为相反数，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，根据绝对值的性质及相反数的定义先对各数进行化简，再根据相反数的定义进行判断即可求解，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 、∵，， ∴是互为相反数，该选项符合题意； 、∵，， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 故选：． 4．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【答案】2018 【分析】根据新定义可得，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的意义，掌握相反数的意义是解题的关键．先化简再比较两个数，即可判断出答案． 【详解】解：A. 和，相等，故该选项不符合题意； B.和，相等，故该选项不符合题意； C. 和，不相等，故该选项符合题意；     D. 和，相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ；3.5；；． 【答案】见详解， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号，先整理，，然后在数轴上逐个表示各个数，然后根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴在数轴上表示各数，如图所示： ， ∴． 1．（2025·四川眉山·模拟预测）的相反数是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数直接求解即可． 【详解】解：， ∴的相反数是， 故选：B 2．（24-25七年级上·天津·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的定义．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．先化简各选项中的数，再判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，两数相等，不是相反数，故本选项不符合题意； B、，，两数相等，不是相反数，故本选项不符合题意； C、，，绝对值不同，不是相反数，故本选项不符合题意； D、，，符号相反且绝对值相等，互为相反数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 ． 【答案】 5 5 【分析】此题考查了相反数的定义，去括号，理解题意，熟练掌握去括号法则是解题关键． 先去括号化简，然后根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是5； ， ∴的相反数是； ， ∴的相反数是5； 故答案为：5，，5． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 【经典例题四 相反数与数轴的结合】 【例1】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，那么下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键． 由数轴可知，，然后作答即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴错误，故A不符合要求； 正确，故B符合要求； 错误，故C不符合要求； 错误，故D不符合要求； 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在数轴上有两点，点表示的数是．若，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和相反数的几何意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据和数轴可得出点A与点B表示的数互为相反数，即可求解． 【详解】解：，表示 点表示的数为， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示： （1）说出数a，b的正负性； （2）在数轴上标出a，b的相反数－a，－b的位置； （3）若a与－a相隔2 020个单位长度，则数a是多少？ 【答案】（1）a为负数，b为正数；（2）见解析；（3）－1 010 【分析】（1）由数轴的定义，即可得到答案； （2）由相反数的定义，即可在数轴上标出相反数； （3）由相反数的定义，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵以向右为正方向，a在原点的左侧，b在原点的右侧， ∴a为负数，b为正数． （2）－a，－b的位置如图所示． （3）因为a与－a相隔2 020个单位长度， 所以a与－a都距离原点1 010个单位长度． 又因为a在原点的左侧， 所以a＝－1 010． 【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握数轴和相反数的定义进行解题． 【经典例题五 求一个数的绝对值】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值．先计算绝对值，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，比较出四个数的大小即可得到答案． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴四个数中最小的数为， 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）张师傅要从6个圆形机器零件中选取2个拿去使用．经过检验，比规定直径长的记为正数，比规定直径短的记为负数，记录如下（单位：）： 1号零件 2号零件 3号零件 4号零件 5号零件 6号零件 张师傅会拿走哪2个零件？请你用绝对值的知识加以解释． 【答案】张师傅会拿走2号零件和3号零件 【分析】本题考查正负数的应用，绝对值越小，与规定直径越接近，越符合要求，由此可解． 【详解】解：张师傅会拿走2号零件和3号零件． 因为，，，，，，， 所以2号零件和3号零件的直径更接近规定直径， 所以张师傅会拿走2号零件和3号零件． 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．1是绝对值最小的数 D．0的绝对值是0 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值、有理数的分类及0的特殊性，注意0既不是正数也不是负数．根据0的特殊性、有理数的分类和绝对值进行逐项判断即可． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，正确，故此选项不符合题意； B、整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，正确，故此选项不符合题意； C、绝对值最小的数是0，所以“1是绝对值最小的数”说法错误，故此选项符合题意； D、0的绝对值是0，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在，3.5，0，这四个数中，最大的数是（  ） A． B．3.5 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的大小比较．掌握绝对值定义，有理数的大小比较法则，是解题的关键． 根据绝对值定义，有理数的大小比较法则解答． 【详解】解：∵，且， ∴． 最大的数是． 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）比较大小：（1） ，（2） （填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，求一个数的绝对值，化简多重符号，解题关键是掌握上述知识点． （1）利用绝对值比较两个有理数的大小求解；（2）先化简，再比较大小． 【详解】（1）解：，， ， 所以， 故答案为：； （2）解：，， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，． 正数集合：{                                      …}； 分数集合：{                                      …}； 非负整数集合：{                                    …}； 有理数集合：{                                         …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类．解题关键是掌握正数、分数、非负整数及有理数的定义与特点．特别注意整数和正数的区别，0是整数，但不是正数． 根据正数、分数、非负整数及有理数的定义分类即可． 【详解】解：，，，， ∴正数集合：； 分数集合：； 非负整数集合：； 有理数集合：． 【经典例题六 绝对值的化简问题】 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）有理数,,在数轴上的位置如图所示，且＜. (1)用“＞”或“＜”填空：－＿＿0, －＿＿0, －＿＿0； (2)化简：. 【答案】（1）>，>，>；（2） 【分析】（1）观察数轴可得：，据此进行依次判断即可. （2）根据（1）判断出的、、利用绝对值的代数意义进行化简即可. 【详解】（1）∵，∴； ∵，∴； ∵，∴. （2）     =     = 【点睛】本题主要考查了根据数轴判断正负性以及绝对值的化简，熟练掌握相关概念是解题关键. 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知、、在数轴上的位置如图所示，试化简的结果是（ ） A．0 B．a-b+c C．4a+2b+2c D．-2b+2a+2c 【答案】A 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置判断出b<c<0<a，|b|>|a|>|c|，再根据整式加减及去括号的运算法则，绝对值的意义对|a-b|-|b|+|a+c|+|c|-|2a|进行化简，即可得出答案. 【详解】解：由数轴可知：b<c<0<a，|b|>|a|>|c|， ∴a-b>0，b<0，a+c>0，c<0，2a>0， ∴|a-b|-|b|+|a+c|+|c|-|2a| =a-b-(-b)+a+c+(-c)-2a =a-b+b+a+c-c-2a =0. 故选A. 【点睛】本题考查了利用字母表示的数在数轴上的位置，从而去掉式子中的绝对值号. 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式，结果为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数形结合，由数轴知a-b＜0，a+c＜0，c-a＞0，去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知a-b＜0，a+c＜0，c-a＞0， ∴|a-b|+|a+c|-2|c-a| =b-a-a-c-2c+2a =b-3c 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的性质．确定绝对值符号内代数式的符号是解答此类题目的关键． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）、、三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】 【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点距离的大小即为绝对值的大小，判断出与的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并后即可得到结果． 【详解】解：由数轴上点的位置可得：， ，， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题，需要注意的是去绝对值． 4．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空， ____， ______ ； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算，正确判断出各个式子的符号是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置可知，，再由即可得到答案； （2）根据（1）可得，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴上点的位置可知，， ∴， 故答案为：；； （2）解：由（1）得， ∴ ． 【经典例题七 绝对值的非负性】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键．本题考查绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出正确答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 有最大值， 所以当时，式子有最大值，最大值为2025． 故选A． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得，． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D ． 2．（23-24七年级上·贵州安顺·阶段练习）如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，利用绝对值的非负性质即可完成解答． 【详解】解：A．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； B．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； C．当x为有理数时，，因此不一定比0大．故本选项不合题意； D．由可得，因此一定比0大．故本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）已知，求x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性质．即当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 【经典例题八 绝对值方程】 【例1】（2025·北京·三模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或5， ， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·云南临沧·期末）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为、，则线段的长为______，线段的中点表示的数为______； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有、、、四个点，，，点是的中点，点是的中点若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动在运动的过程中，记的中点为，的中点为设运动时间为秒． ①求在运动过程中时的值； ②在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）10，3；（2）①或；②存在，，最小值为12 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）利用数轴可求得，点表示的数为； （2）①以为原点，建立数轴，分别表示出，，，点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（1），点表示的数为：， 故答案为：，； （2）∵，， ，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：， ：， ：， ：， 运动后，：， ：， ：， ：， 此时，：， ：， ：， ：， 由得出， ， 或； ②， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时， ． 1．（2025·辽宁铁岭·二模）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】此题考查了数轴的两点间的距离，绝对值方程，关键是理解数轴上两点间的距离的含义； 设所求数为x，依据数轴两点距离公式列出绝对值方程，根据绝对值定求解即可。 【详解】解：设所求的数为x， ∵数轴上一点为，它与的距离是个单位长度， ∴，即． 当时，解方程可得； 当时，解方程可得． ∴距离表示的点是个单位长度的数是或． 故选：C． 2．（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴或． 故答案为：2或． 4．（24-25六年级上·山东泰安·期中）阅读理解： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离． 类比：，它在数轴上的意义表示的点与3的点之间的距离是9 归纳应用： (1)，它在数轴上的意义表示________的点与________的点之间的距离为1，所以a的值为________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________． 【答案】(1)a；；或 (2)6 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程．掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键． （1）根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）根据a的取值范围，去掉绝对值再整理即可． 【详解】（1）解：，它在数轴上的意义表示a的点与的点之间的距离为1， ∵， ∴， 解得：或． （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴，， ∴． 【经典例题九 绝对值的几何意义】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）是有理数，且，用数轴上的点来表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的知识，解决本题的关键是理解数轴上各点的大小关系，掌握原点左边的数小于0，原点右边的数大于0．根据绝对值的定义和数轴的定义解答此题即可． 【详解】解：因为， 所以， 故选：A． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2)两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，解题的关键是利用数轴确定a，b的符号. （1）由数轴可知，a，b均为负数，结合绝对值，得到a，b的值. （2）A，B两点之间的距离是大数减去小数. 【详解】（1）解：因为, 所以或，或， 由数轴可知：a，b在数轴的左侧，所以, 所以. （2）解：由（1）可得， 所以A，B两点之间的距离为：. 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解决本题的关键． 设被墨水遮住的数为，根据绝对值的性质，原式可转化为两个方程求解． 【详解】由题意得：， 根据绝对值的定义，有：， ，解得； ，解得， 因此，被遮住的数为或． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离均为个单位长度．若数轴上点，所表示的数的绝对值相等，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题结合数轴的对称性，绝对值相等的数关于原点对称和间隔计数，需先确定原点位置，再推导点的数值. 【详解】解：数轴上点，所表示的数的绝对值相等， 可以确定原点的位置，如图， 点表示的数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴的对称性与数的运算，掌握绝对值相等的两数关于原点对称，通过间隔数确定原点和数的大小是解题的关键. 3．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的大小以及绝对值的定义，利用数轴得到与大小关系是解题的关键． 由数轴可知，；结合选项逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可知， A、因为，所以，故A错误； B、因为，所以，故B错误； C、因为，所以，故C错误； D、由数轴可得表示的点比表示的点距离原点更远，所以，故D正确． 故选：D． 4．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 或 【分析】此题考查了绝对值和绝对值方程，根据绝对值的定义和解绝对值方程进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴或 解得或， 故答案为：，，或 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数和它们的绝对值．从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 【详解】解：，，，， ∵ ∴从轻重的角度看，最接近标准的是C． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)记为的排球最接近标准质量． 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 1．（2025·河北廊坊·二模）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义等知识．求出各数的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准的，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴从轻重的角度来看，数据更接近标准的是为． 故选A． 2．（2025·湖北·三模）现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．先比较出超标情况的大小，再根据绝对值最小的越接近标准质量，即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴球的质量最接近标准质量是1号乒乓球， 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 4．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【答案】(1)数轴上表示4和的两点之间的距离是6 (2)①2或；②3 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得； （2）①根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得；②由题意得，，根据3与的距离是5得，根据x是整数得x的值为，进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示4和的两点之间的距离是6； （2）解：① 或， 或， 或， 故答案为：2或； ②由题意得，， ∵3与的距离是5， ∴， ∵x是整数， ∴x的值为， ∴所有符合条件的整数x的和为：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是理解题意，掌握实数与数轴，绝对值． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例1】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）大于且小于的负整数有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，负整数的定义，根据大于且小于的负整数这个条件，逐个找出满足题意的负整数，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即大于且小于的负整数为． 故选：D 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用“<”连接下列各数：，，，，，． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、相反数的运算及有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 先分别化简各数，再比较大小． 【详解】解：；；；；； ． 将这些数按照从小到大的顺序排列： ． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）手机通用的信号强度单位是（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据题意，信号强度为负数时，绝对值越小表示信号越强，因此只需比较各选项的绝对值，找出最小的即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最小的是，对应的数值为， 故选：B． 2．（2025·甘肃·三模）下列各数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的求解，先求出各数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最大的数是， 故选：D． 3．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）【数的大小比较】在，，和这四个数中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴在，，和这四个数中，最小的数是， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）比较下列每组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查有理数的大小比较、绝对值、相反数、分数的基本性质，熟练掌握有理数比较大小是解决本题的关键． （1）（2）先计算绝对值通分，再比较大小； （3）先化为假分数，再计算绝对值通分，然后比较大小． 【详解】（1）解：∵，， ∵ ∴，即； （2）解：∵，， ∵ ∴，即； （3）解：∵，， ∵ ∴，即． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（2025·河南郑州·三模）下表记录了某日我国几个城市的平均气温，其中气温最低的城市是（   ） 北京 郑州 哈尔滨 广州      A．哈尔滨 B．北京 C．郑州 D．广州 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题关键是掌握负数正数，两个负数比较绝对值大的反而小，通过比较各城市气温数值大小确定最低气温城市 ．根据有理数的性质回答即可． 【详解】解：两个负数比较，绝对值大的反而小 ， ，且， ， 负数小于0，0小于正数； ， 哈尔滨的平均气温最低， 故选：A． 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)增加衣服，因为莫斯科的温度比北京温度低 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，熟知正负数的意义是解题的关键． （1）用北京时间加上可得莫斯科的时间，据此可得答案； （2）用求出8400减去7500的结果，再把结果前面添上负号即可得到答案； （3）比较出莫斯科和北京的温度高低即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴此时莫斯科的时间为凌晨1点， ∴他看到天空的景象可能是繁星点点， 故选：B； （2）解：， ∴陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作， 故答案为：； （3）解：增加衣服，理由如下： ∵， ∴莫斯科的温度比北京的温度低， ∴应该增加衣服． 1．（24-25七年级上·云南·期末）下列选项记录了我国四个直辖市一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 2．（2025·辽宁大连·一模）在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，以下是一些物质的凝固点 ： 物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿 凝固点（） 其中凝固点最低的物质为（  ） A．水 B．乙醇 C．甘油 D．氯仿 【答案】B 【分析】本题考查了比较有理数的大小，首先根据正数大于，大于负数，可得：水和甘油的凝固点不是最低的，然后再比较两个负数的大小，即可得到凝固点最低的物质． 【详解】解：根据正数大于，大于负数， 可得：水和甘油的凝固点不是最低的， ，， 又， ， 凝固点最低的物质是乙醇． 故选：B ． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）“霜降”是秋季的最后一个节气，“霜降”之后气温骤降、昼夜温差更大，今年霜降后的某天，本市清徐、阳曲、娄烦、古交四个县市的最低气温分别是：、、、，其中最低温度是 ． 【答案】 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵ ∴最低温度是， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下表记录了某日我国几个城市的平均气温： 北京 西安 哈尔滨 上海 广州 （1）将各城市的平均气温从高到低进行排列； （2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列． 【答案】（1）、、、、；（2）哈尔滨、北京、西安、上海、广州 【分析】（1）先画数轴将各地区的平均气温表示在数轴上，通过两数之间的大小关系，当 a<b时，在数轴上反映为表示数 a的点在表示数 b的点的左边，判断即可； （2）在地图上，找出各个城市，根据其纬度的大小关系确定其由北到南的顺序． 【详解】解：（1）将各地区的平均气温表示在数轴上，如下图： 各城市的平均气温从高到低排列为：、、、、； （2）在地图上，由北到南依次为哈尔滨、北京、西安、上海、广州． 【点睛】此题考查有理数与数轴上的点的对应关系，并且要通过数轴比较大小，属于基础题，熟练掌握基础知识是解题关键． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 【例1】（23-24七年级上·重庆璧山·阶段练习）下列说法： ①有理数的绝对值一定是正数； ②一个数的绝对值的相反数一定是负数； ③互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数； ④互为相反数的绝对值相等； ⑤的相反数是； ⑥任何一个数都有它的相反数． 其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】绝对值的非负性是大于或等于0，②绝对值的相反数是非正性小于或等于0，③互为相反数的特列0的相反数为0，④利用互为相反数的定义位于原点两侧，到原点的距离相等，⑤3.14是π的近似值，两者不能混，π的相反数得用π来表示，不能用近似数表示，⑥利用相反数的性质在一个数a的前面添上一个负号为-a是a 的相反数，a为任意数，故可判断． 【详解】①有理数的绝对值一定是正数；|a|≥0，不正确， ②一个数的绝对值的相反数一定是负数；-|a|≤0，不正确， ③互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；a+b=0，可有a=b=0，不正确， ④互为相反数的绝对值相等；正确， ⑤的相反数是-π而不是；不正确， ⑥任何一个数都有它的相反数．正确， 其中正确的个数有2个， 故选择：C． 【点睛】本题考查有理数概念的理解，涉及绝对值，相反数，正确理解绝对值与相反数的概念是解题关键． 【例2】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【答案】(1)数轴表示见解析； (2)a表示的数是﹣10； (3)b表示的数是5或15 【分析】（1）根据相反数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可； （3）分为两种情况，列出算式，求出即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据题意可列式， ﹣a﹣a＝20， 解得a＝﹣10． 即a表示的数是﹣10． （3）解：∵﹣a＝10， 当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15， 当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5， ∴b表示的数是5或15． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，数轴上两点间的距离的应用，解题的关键是能根据题意列出算式和方程． 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可. 【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6， ∴点A表示的数为﹣6， 故选：B. 【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键. 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示的数是，点到点的距离是2，且两点表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点间距离，相反数定义等．根据题意先求出点表示的数，再利用相反数定义求出点表示的数即可． 【详解】解：∵点表示的数是，点到点的距离是2， ∴点表示的数为：或， ∵两点表示的数互为相反数， ∴点表示的数：或， 故选：A． 3．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）数轴上点A表示＋7，B、C两点表示的数互为相反数，且C点与A点的距离为2个单位长，则B点表示的数为（  ） A．±5 B．±9 C．－5或－9 D．5或－9 【答案】C 【分析】根据点A表示＋7，C点与A点的距离为2个单位长，求得点表示的数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：点A表示＋7，C点与A点的距离为2个单位长，则点表示的数为或， 又∵B、C两点表示的数互为相反数， ∴B点表示的数为或， 故选：C 【点睛】此题考查了数轴的有关性质，涉及了数轴上两点之间的距离以及相反数的定义，解题的关键是掌握数轴的有关性质，正确求得点表示的数． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 【答案】(1)，，，数轴见解析 (2)点A的幸福点D所表示的数为或4； (3)运动2秒后，点Q可以追上点P． 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据题意，点P表示的数为，点Q表示的数为，结合点Q可以追上点P，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 点A的幸福点D所表示的数为或4； （3）解：根据点P和点Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，秒过后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得． 【点睛】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【分析】先根据“绝对运算”的定义列出关于的表达式，再分情况讨论的取值范围，求出每种情况下表达式的值，最后比较得出最小值．本题主要考查了绝对值的性质和分类讨论思想的应用，熟练掌握绝对值的性质并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解： 当时， ∵ ∴ ∴ 当时， 当时， ∵ ∴ ∴ 综上，的最小值为 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3)0 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义： （1）根据题意，得到互为相反数，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，进行化简求值即可； （3）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可． 【详解】（1）解：由图和题意可知，互为相反数且不为0， ∴，； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）实数，，在数轴上如图所示，化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可得：b＜c＜0＜a， ∴=-b ;=-c ∴ =a-b+c 故选:C 【点睛】此题考查了数轴和绝对值，熟练掌握各自的意义是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|等于（    ）    A．a-c B．a+c C．a+2b-c D．a+2b+c 【答案】B 【分析】先根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后判断出（a+b），（c-b）的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可． 【详解】解：根据图形，c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|， ∴a+b＞0，c-b<0， ∴原式=（a+b）-（b-c） =a+b-b+c =a+c． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴与绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况以及（a+b），（c-b）的正负情况是解题关键． 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知有四个不同的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．由可化简得，在化简的过程中判断、、、的符号，从而对题中的绝对值进行化简． 【详解】解：由有四个不同的解，可知、均不为0，且， 故， 则， 化简得可知，， ，，而且， ． 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴及绝对值，熟知绝对值的性质及能根据所给数轴判断出绝对值内代数式的正负是解题的关键． 根据所给数轴，得出绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知，， ∴， ∴ ． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2． （1）A、B两点的距离AB=________ ，A、C两点的距离AC=________   ；   （2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE=________ ；    （3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值=________ . 【答案】（1）2；5；（2）|x+3|；（3）4 【详解】试题分析：（1）直接利用数轴可得AB，AC的长； （2）结合数轴可得出点E表示的数为x，则AE的长为：|x+3|； （3）直接利用数轴可得出|x﹣1|+|x+3|的最小值． 试题解析：（1）如题图所示：AB=-1-（-3）=2，AC=2-（-3）=5， 故答案为2，5； （2）根据题意可得：AE=|x-(-3)|=|x+3|， 故答案为|x+3|； （3）由数轴可知：| x-1|相当于x 到数轴上1的距离，| x+3 |相当于x到-3的距离，所以绝对值之和的最小值为到两点距离之和的最小值，也就是x在两点之间时，所以最小值为5， 即|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过计算发现数轴上两点间的距离实际是就是求数轴上这两点所表示的数的差的绝对值是解题的关键. 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 1.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）则表示 的距离． （2）数轴上表示x与 7的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果|x-2|=5，则x= .    （4）同理|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x-2|=3，这样的整数是 . （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|的最小值是 . 【答案】(1)数轴上表示5的点到表示1的点的距离；(2) |x-7|；(3)7或-3 ；(4)-1,0,1,2；(5) 9 . 【分析】（1）类比题目所给的方法解答即可；（2）类比题目所给的方法解答即可；（3）由|x-2|=5，可得x-2=5或x-2=-5,解得x=7或-3；（4）要x的整数值可以进行分段计算，令x+1=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的整数值；（5）由（4）的探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|有最小值为9． 【详解】解：(1)数轴上表示5的点到表示1的点的距离.； (2) |x-7|； (3)7或-3 ； (4) 令x+1=0或x-2=0时，则x=-1或x=2 当x＜-1时， ∴-（x+1）-（x-2）=3， -x-1-x+2=3， x=-1（范围内不成立） 当-1＜x＜2时， ∴（x+1）-（x-2）=3， x+5-x+2=3， 3=3， ∴x=0，1，2 当x＞2时， ∴（x+1）+（x-2）=3， x+1+x-2=7， 2x=8， x=4（范围内不成立）， ∴综上所述，符合条件的整数x有： -1，0，1，2； （5）由（4）的探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|有最小值为9． 【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了去绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 2.（23-24七年级上·广东汕头·期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|=________．     （2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________． （3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有________个． 【答案】（1）7;（2）;（3）8 . 【分析】（1）根据两点间距离的计算即可得解； （2）根据两点间距离公式解答； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解. 【详解】（1）|5-（-2）|=7； （2）|x+1|或|x-（-1）|； （3）由题意得，-5≤x≤2，所以符合条件的整数有-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，共8个. 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 4．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 【答案】(1)1或 (2) (3)满足要求的点P表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程，深刻理解绝对值的含义并能融会贯通加以应用是解题的关键． （1）根据两点之间的距离为，解该绝对值方程即可求出的值； （2）根据绝对值的几何意义，是到的距离，是到的距离，分析距离和为时的位置范围． （3）设表示的数为，用绝对值表示到、的距离、，分、、三种情况，结合距离差为列方程求解． 【详解】（1）∵数轴上表示数x和的两点间的距离为2， ∴， ， 或， 故x为1或； （2）解：表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 的值为3表示点C到A、B这两点的距离之和为3， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于3， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取的值为3， 此时x的取值范围是； （3）假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 不符合题意，舍去， 满足要求的点P表示的数为． 的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 【例1】（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质即可判断①正确；分，和三种情况，先化简绝对值，再解方程，计算整式的加减即可判断②错误；分，和三种情况，化简绝对值即可判断③错误；根据求解即可判断④错误． 【详解】解：①数轴上表示、的两点之间的距离表示为，说法正确； ②当时，，解得，符合题设， 当时，，舍去， 当时，，解得，符合题设， 综上，若，则或，原说法错误； ③当时，， 当时，， 当时，， 所以的最小值是3， 所以若存在整数，使的值最小时，则，0，1，2，原说法错误； ④， ∵的最小值是2， ， 解得或，原说法错误； 综上，说法正确的有1个， 故选：D． 【例2】3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．则|x-100|+|x-50|+|x+100|的最小值为 ． 【答案】200 【分析】本题实质是在数轴上确定一点，使这点到表示100，50，-100的点的距离和最小，通过数轴可知，当该点与表示50的点重合时，距离和最小． 【详解】设数轴上表示100，50，-100的点分别为A，B，C，数轴上任意一点为P， 当P不与B重合时，PA+PB+PC＞AC， 当P与B重合时，PA+PB+PC=AC=100， 故答案为200． 【点睛】本题考查数轴上三点之间距离和的最值，充分御用数形结合思想是解答此类题目的关键． 1.（23-24七年级上·浙江金华·期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．下列选项中错误的是（    ） A．表示数a在数轴上的对应点与原点的距离 B．若满足时，则的值是或2.5 C．表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离 D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义以及两点间的距离公式即可判断． 【详解】解：A、表示数在数轴上的对应点与原点的距离，故A选项不符合题意； B、当时，（舍； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：若满足时，则的值是或2.5，故B选项不符合题意； C、因为表示5、在数轴上对应的两点之间的距离是为8，所以此选项说法错误，故C选项符合题意； D、、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为4，则、两点之间的距离为，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试） 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：表示、在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为完成下列题目： (1)、分别为数轴上两点，点对应的数为点对应的数为 、两点之间的距离为 ___________． 若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是 ___________． (2)求的最小值为___________ (3)若满足时，求的值 【答案】(1)①6；②或 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）①根据两点的距离公式求解即可；②分点P在之间、P在B右侧、P在B左侧三种情况，再分别根据两点的距离公式列出等式求解即可； （2）根据数轴上两点的距离公式的含义求解即可； （3）根据两点的距离公式分三种情况：，再根据绝对值运算化简求值即可． 【详解】（1）解：① 因为点对应的数为，点对应的数为， ∴、两点之间的距离为； ②当在之间时，，，则， ∴点所表示的数是． 当在的右侧时，，，则，， ∴点所表示的数是 当在的左侧时，，这种情况不成立； 综上所述，表示的数为或； （2）解：设点对应的数为，点对应的数为，点表示的数为： 到的距离与到的距离之和可表示为， ∴当点在之间时，最小为， ∴的最小值为， （3）解：∵， ∴当时，，解得， 当时，不存在． 当时，，解得． 故满足的的值为或． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）通过学习绝对值，我们知道|a|的几何意义是数轴上表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5+3|=|5﹣（﹣3）|，即|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为AB=|a﹣b|．请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是 ；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是 ． （2）点A、B、C在数轴上分别表示数x、﹣1、2，那么A到点B、点C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是 ． （3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值． 【答案】（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x﹣2|，﹣1≤x≤2；（3）4． 【详解】试题分析：（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可得； （2）根据数轴上两点间的距离公式进行表示，再分情况进行讨论即可得A到点B、点C的距离之和有最小值时x的取值范围； （3）对|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|整理变形可得，（|x-1|+|x-4|）+（|x-2|+|x-3|），其几何意义为x表示的点到1与4，2与3两部分距离之和最小，通过讨论分析即可得. 试题解析：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4﹣2=2； 数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4﹣3=1或4+3=7； 故答案为2，1或7； （2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+1|+|x﹣2|， ∵|x﹣3|+|x+2|=7，当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|=2﹣x﹣x﹣1=1﹣2x无最小值， 当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|=x+1+2﹣x=3， 当x＞2时，x+1+x﹣2=2x﹣1＞3， 故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是﹣1≤x≤2； 故答案为|x+1|+|x﹣2|，﹣1≤x≤2； （3）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|=（|x﹣1|+|x﹣4|）+（|x﹣2|+|x﹣3）表示数轴上数x的对应点到表示1、4两点的距离之和，到表示2、3两点的距离之和，这两部分距离之和最小， 当1≤x≤4时，|x﹣1|+|x﹣4|有最小值为|4﹣1|=3； |x﹣2|+|x﹣3|表示数轴上数x的对应点到表示2、3两点的距离之和， 当2≤ x≤3时，|x﹣2|+|x﹣3|有最小值为|3﹣2|=1； 所以，当2≤x≤3时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为：3+1=4． 4．（23-24七年级上·北京·期中）阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|． 根据上述材料，回答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ； （2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝ ； （3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是 ． 【答案】（1）3；4 ；（2）-1或-3；（3）-2；1；3 【分析】（1）根据阅读材料提供的两点间的距离计算即可； （2）清楚|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1,因此借助数轴即可完成； （3）|x＋2|表示数轴上表示x的点与表示－2的点间的距离，|x－1|表示数轴上表示x的点与表示1的点间的距离，因此|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，因而可以求得其最小值． 【详解】解：（1）由题意得：数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5－2|=3；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1―(―3)|=4； 故答案为：3，4 （2）|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1，由数轴知，x的值为－3或－1； 故答案为：－1或－3 （3）由题意知，|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，如图，当时，|x＋2|＋|x－1|=3；当或时，|x＋2|＋|x－1|>3；故其最小值为3． 故答案为：3 【点睛】本题是材料阅读题，考查了数轴上两点间的距离及其应用，理解材料并借助数轴是关键． 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 2．（22-23七年级上·河南开封·阶段练习）如图，在数轴上从左到右依次有，，，，4五个数，对应数轴上的五个点，每相邻两点之间的距离都相等．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据图形，得出表示的数为0，，即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： ∵每相邻两点之间的距离都相等， ∴表示的数为0， ∴， ∴，，，， ∴A、B、C正确，D错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴比较大小，绝对值的定义，解题的关键是掌握：绝对值表示数轴上的点到原点的距离，以及数上的点左边小于右边． 3．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 4．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，相反数的定义．先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：A、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；     B、和，则和互为相反数，故该选项符合题意；     C、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；        D、和，则0.6和不是互为相反数，故该选项不符合题意；         故选：B． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的意义，掌握相反数的意义是解题的关键．先化简再比较两个数，即可判断出答案． 【详解】解：A. 和，相等，故该选项不符合题意； B.和，相等，故该选项不符合题意； C. 和，不相等，故该选项符合题意；     D. 和，相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（2023·广东广州·一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数轴上与原点的距离小于9的点对应的满足（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，先确定数轴上与原点的距离等于9的点对应的数，再确定x满足的范围． 【详解】∵在数轴上与原点的距离等于9的点表示的数是， ∴在数轴上与原点的距离小于9的点对应的满足， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）下列选项记录了我国四个城市某年一月份的平均气温，其中气温最高的是（   ） A．北京℃ B．上海 C．天津°℃ D．重庆 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数比较大小的实际应用，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴重庆的气温最高，为8℃． 故选D． 6．（2025·广东东莞·二模）的绝对值等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键． 根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：的绝对值等于， 故选：D． 7．（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意； B．当时，，故B选项不符合题意； C．，则，不可能为0，故C选项符合题意； D．当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数． 8．（23-24七年级上·广东广州·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：，，，， ，则最接近标准的是． 故选：D． 9．（2025·青海西宁·一模）某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握“正数大于、大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小”成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法比较出四个城市温度数值的大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， 日均最低温度最低的城市丙市． 故选：C． 10．（23-24七年级上·河北保定·期末）如果和互为相反数，那么的值是（    ） A． B．2019 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据和互为相反数，构造等式+=0，利用实数的非负性确定a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵和互为相反数， ∴+=0， ∴a+2=0，b-1=0， ∴a+b+1=0， ∴a+b= -1， ∴== -1， 故选D． 【点睛】本题考查了相反数的性质，实数的非负性，实数的幂的计算，熟练运用相反数的性质构造等式，灵活运用实数的非负性求解是解题的关键． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上对应的点与它的相反数对应的点之间的整数有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了相反数概念，通过相反数定界以及整数筛选，快速锁定结果． 先找到的相反数，再根据数轴的定义找到两数之间的整数． 【详解】解：的相反数是， 根据数轴的定义，介于这两数之间的整数有：共7个． 故答案为：7． 12．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）比大小：7 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则“正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、化简多重符号求解即可得． 【详解】解：∵7是正数，是负数， ∴． ∵，，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：；；． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【答案】3 【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置． 先利用相反数的几何意义确定原点为线段的中点，再根据原点右边的数为正数进行判断解答即可． 【详解】解：点M，N表示的有理数互为相反数， ∴原点O在的中点处，如图， ∴图中在原点O右边的数为正数的点是P、N、Q三个点． 故答案为：3． 14．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知对一切恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义： 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键．根据绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 则表示点x到 ，两点间距离的和， ∴当x在和之间时距离和最小， 最小值为 ， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数．如：． （1） ， ． （2）如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查新定义，比较有理数的大小关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵符号表示不大于的最大整数， ∴，； 故答案为：； （2）∵， ∴． 故答案为： 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）解决下列问题： (1)若，求的值． (2)已知，求的相反数． (3)若，求的相反数． 【答案】(1)，6 (2) (3)3 【分析】（1）括号前是，括号内的每一项都需要变号，括号前是“+”，括号内的每一项不变号. （2）括号前是，括号内的每一项都需要变号，再求相反数. （3）从内层开始一步步去括号，再求相反数. 【详解】（1）解： （2）解：因为， 所以的相反数为． （3）因为， 所以的相反数是3． 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 【答案】(1) (2)小于；与 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上每一小段的长度为，与互为相反数， 在数轴上表示，在数轴上表示， ， 故答案为：； （2）， 小于， 、、、中，可能互为相反数的是与， 故答案为：小于；与． 18．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴的性质，理解绝对值的几何意义是解答关键． （1）根据数轴上两点间的几何意义来求解． （2）根据题意得到，进而求得，，再利用绝对值的非负性求解． （3）分分三种情况：当时， 当， 当时来求解． （4）根据表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数来求解，再结合数轴上两点间距离的几何意义求解． （5）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时，有最小值，然后求出最小值即可． （6）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时 有最小值即可． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离． 故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间， ， ，， ． 故答案为：7． （3）若， 分三种情况： ①当时， ， ； ②当，， 此时方程无解； ③当时，， ． 故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数， 或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7． 故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为7． 故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 19．（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 20．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03相反数与绝对值重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 互为相反数的判断 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的结合 题型五 求一个数的绝对值 题型六 绝对值的化简问题 题型七 绝对值的非负性 题型八 绝对值方程 题型九 绝对值的几何意义 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义（动点） 拓展训练四 绝对值的几何意义（最值） 拓展训练五 绝对值的其他应用综合 知识点1、绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25七年级上·北京延庆·期末）若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 知识点2、相反数的意义 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【即时训练】 1．（23-24七年级上·全国·期末）的相反数是（    ） A．2024 B． C．2025 D．2023 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）7的相反数是 ，的相反数是 ，0.2与 互为相反数． 知识点3、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·贵州安顺·阶段练习）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习） ． 知识点4、比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列各数中最小的数是（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）若有理数与互为相反数，则的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）在数轴上，点A表示的数为，点B，C表示的数互为相反数，且点C与点A之间的距离为2．求点B，C表示的数． 1．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如果a与互为相反数，那么a的值是（   ） A． B． C． D．2024 2．（2024·青海·中考真题）的相反数为（    ）． A． B．2024 C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上A，B两点表示的数互为相反数，且点A与点B之间的距离为6个单位长度，则点A表示的数为 ． 4．（25-26七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的相反数：，，，，，，，． 【经典例题二 互为相反数的判断】 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组数字中，互为相反数的是（      ）． A．-和-（+） B．-（+3）和+|-3| C．-（-3）和+（+3） D．-4和-（+4） 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列四组数中互为相反数的是(     ) A．－(+3)和+(－3) B．+(－2)和－2 C．+(－4)和－(－4) D．－(－1)和1 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）下面两个数互为相反数的是（　　） A．－（+3）与 +（－3） B．－与 －（+） C．+（－0.1）与 －（－） D．+（－1）与 －（－） 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2023七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ；3.5；；． 1．（2025·四川眉山·模拟预测）的相反数是（　　） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级上·天津·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 ． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【经典例题四 相反数与数轴的结合】 【例1】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，那么下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在数轴上有两点，点表示的数是．若，则点表示的数是 ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示： （1）说出数a，b的正负性； （2）在数轴上标出a，b的相反数－a，－b的位置； （3）若a与－a相隔2 020个单位长度，则数a是多少？ 【经典例题五 求一个数的绝对值】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）张师傅要从6个圆形机器零件中选取2个拿去使用．经过检验，比规定直径长的记为正数，比规定直径短的记为负数，记录如下（单位：）： 1号零件 2号零件 3号零件 4号零件 5号零件 6号零件 张师傅会拿走哪2个零件？请你用绝对值的知识加以解释． 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．1是绝对值最小的数 D．0的绝对值是0 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在，3.5，0，这四个数中，最大的数是（  ） A． B．3.5 C．0 D． 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）比较大小：（1） ，（2） （填“>”、“<”或“=”） 4．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，． 正数集合：{                                      …}； 分数集合：{                                      …}； 非负整数集合：{                                    …}； 有理数集合：{                                         …}． 【经典例题六 绝对值的化简问题】 【例1】（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）有理数,,在数轴上的位置如图所示，且＜. (1)用“＞”或“＜”填空：－＿＿0, －＿＿0, －＿＿0； (2)化简：. 1．（23-24七年级上·全国·期末）已知、、在数轴上的位置如图所示，试化简的结果是（ ） A．0 B．a-b+c C．4a+2b+2c D．-2b+2a+2c 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式，结果为　　 A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）、、三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．    4．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空， ____， ______ ； (2)化简：． 【经典例题七 绝对值的非负性】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·贵州安顺·阶段练习）如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 4．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）已知，求x和y的值． 【经典例题八 绝对值方程】 【例1】（2025·北京·三模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 【例2】（24-25七年级上·云南临沧·期末）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为、，则线段的长为______，线段的中点表示的数为______； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有、、、四个点，，，点是的中点，点是的中点若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动在运动的过程中，记的中点为，的中点为设运动时间为秒． ①求在运动过程中时的值； ②在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 1．（2025·辽宁铁岭·二模）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 2．（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 4．（24-25六年级上·山东泰安·期中）阅读理解： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离． 类比：，它在数轴上的意义表示的点与3的点之间的距离是9 归纳应用： (1)，它在数轴上的意义表示________的点与________的点之间的距离为1，所以a的值为________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________． 【经典例题九 绝对值的几何意义】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）是有理数，且，用数轴上的点来表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离均为个单位长度．若数轴上点，所表示的数的绝对值相等，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 1．（2025·河北廊坊·二模）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·三模）现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 4．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例1】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）大于且小于的负整数有（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用“<”连接下列各数：，，，，，． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）手机通用的信号强度单位是（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·三模）下列各数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）【数的大小比较】在，，和这四个数中，最小的数是 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）比较下列每组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（2025·河南郑州·三模）下表记录了某日我国几个城市的平均气温，其中气温最低的城市是（   ） 北京 郑州 哈尔滨 广州      A．哈尔滨 B．北京 C．郑州 D．广州 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 1．（24-25七年级上·云南·期末）下列选项记录了我国四个直辖市一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 2．（2025·辽宁大连·一模）在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，以下是一些物质的凝固点 ： 物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿 凝固点（） 其中凝固点最低的物质为（  ） A．水 B．乙醇 C．甘油 D．氯仿 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）“霜降”是秋季的最后一个节气，“霜降”之后气温骤降、昼夜温差更大，今年霜降后的某天，本市清徐、阳曲、娄烦、古交四个县市的最低气温分别是：、、、，其中最低温度是 ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下表记录了某日我国几个城市的平均气温： 北京 西安 哈尔滨 上海 广州 （1）将各城市的平均气温从高到低进行排列； （2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 【例1】（23-24七年级上·重庆璧山·阶段练习）下列说法： ①有理数的绝对值一定是正数； ②一个数的绝对值的相反数一定是负数； ③互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数； ④互为相反数的绝对值相等； ⑤的相反数是； ⑥任何一个数都有它的相反数． 其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示的数是，点到点的距离是2，且两点表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）数轴上点A表示＋7，B、C两点表示的数互为相反数，且C点与A点的距离为2个单位长，则B点表示的数为（  ） A．±5 B．±9 C．－5或－9 D．5或－9 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【例2】（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）实数，，在数轴上如图所示，化简结果为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|等于（    ）    A．a-c B．a+c C．a+2b-c D．a+2b+c 3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知有四个不同的解，则 ． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【拓展训练三 绝对值的几何意义（动点）】 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2． （1）A、B两点的距离AB=________ ，A、C两点的距离AC=________   ；   （2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE=________ ；    （3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值=________ . 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 1.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）则表示 的距离． （2）数轴上表示x与 7的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果|x-2|=5，则x= .    （4）同理|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x-2|=3，这样的整数是 . （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|的最小值是 2.（23-24七年级上·广东汕头·期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|=________．     （2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________． （3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有________个． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 4．（24-25七年级上·云南保山·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)若数轴上表示数x和的两点间的距离为2那么 ． (2)若点C表示的数为x，当取得的值为3时，求x的取值范围． (3)若点D表示的数为8，点E表示的数为，且点P到点D的距离比点P到点E的距离多5，请求出点P表示的数． 【拓展训练四 绝对值的几何意义（最值）】 【例1】（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．则|x-100|+|x-50|+|x+100|的最小值为 ． 1.（23-24七年级上·浙江金华·期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．下列选项中错误的是（    ） A．表示数a在数轴上的对应点与原点的距离 B．若满足时，则的值是或2.5 C．表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离 D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试） 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：表示、在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为完成下列题目： (1)、分别为数轴上两点，点对应的数为点对应的数为 、两点之间的距离为 ___________． 若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是 ___________． (2)求的最小值为___________ (3)若满足时，求的值 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）通过学习绝对值，我们知道|a|的几何意义是数轴上表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5+3|=|5﹣（﹣3）|，即|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为AB=|a﹣b|．请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是 ；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是 ． （2）点A、B、C在数轴上分别表示数x、﹣1、2，那么A到点B、点C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是 ． （3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值． 4．（23-24七年级上·北京·期中）阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|． 根据上述材料，回答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ； （2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝ ； （3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是 ． 【拓展训练五 绝对值的其他应用综合】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 2．（22-23七年级上·河南开封·阶段练习）如图，在数轴上从左到右依次有，，，，4五个数，对应数轴上的五个点，每相邻两点之间的距离都相等．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 4．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2023·广东广州·一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）在数轴上与原点的距离小于9的点对应的满足（    ） A． B． C．或 D． 5．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）下列选项记录了我国四个城市某年一月份的平均气温，其中气温最高的是（   ） A．北京℃ B．上海 C．天津°℃ D．重庆 6．（2025·广东东莞·二模）的绝对值等于（） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·广东广州·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 9．（2025·青海西宁·一模）某省四个地市月的日均最低温度分别为甲市，乙市，丙市，丁市，其中日均最低温度最低的城市是（   ） A．甲市 B．乙市 C．丙市 D．丁市 10．（23-24七年级上·河北保定·期末）如果和互为相反数，那么的值是（    ） A． B．2019 C．1 D． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上对应的点与它的相反数对应的点之间的整数有 个． 12．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）比大小：7 ， ， ． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   14．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）已知对一切恒成立，则实数a的取值范围是 ． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数．如：． （1） ， ． （2）如果，那么的取值范围是 ． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）解决下列问题： (1)若，求的值． (2)已知，求的相反数． (3)若，求的相反数． 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 18．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 19．（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 20．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 学科网（北京）股份有限公司 $$