四川省德阳天立高级中学2025-2026学年高三上学期一轮复习综合测试（一）（8月月考）数学试题

德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 1.【答案】B【详解】 ( ) ( ) ( )( ) 2i 1 i2i i = i 2i 1 i 2i 1 i 2 1 i 1 i 1 i z z z z z z + =  +  − =  = = = − + + − − + ， 2.【答案】C【详解】 6 2 x x   −    展开式的通项 ( )6 6 21 6 6 2 C 2 C r rr r r r rT x x x − − +   = − = −    ， 令6 2 4r− = ，解得 1r = ，所以 ( ) 1 4 42 62 C 12T x x= − = − ，即 4x 的系数为 12− .故选：C 3．【答案】D 解析：从图中可以看出 ( )10,2D 较其他点，偏离直线远，故去掉 ( )10,2D 后， 回归效果更好， 对于 A，相关系数 r 越接近于 1，模型的拟合效果越好，若去掉 ( )10,2D 后，相关系数 r变 大，故 A 错误； 对于 B，决定系数 2R 越接近于 1，模型的拟合效果越好，若去掉 ( )10,2D 后，决定系数 2R 变大，故 B 错误； 对于 C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉 ( )10,2D 后，残差平方和变小， 故 C 错误； 对于 D，若去掉 ( )10,2D 后，解释变量 x与预报变量 y的相关性变强，且是正相关，故 D 正确．故选：D． 4. 【答案】D【详解】由条件等式可知， sin cos cos 3 sin     = − ，整理为 2 23sin sin cos 1  = + = ， 则 1 sin 3  = ，又 π π , 2 2    −     ， 2 2 2 cos 1 sin 3  = − = ， 所以 1 2 2 4 2 sin 2 2sin cos 2 3 3 9   = =   = ， 2cos 2 1 2 7 9 sin = − = ， 所以 π π π sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 3 3 3      − = −    4 2 1 7 3 4 2 7 3 9 2 9 2 18 − =  −  = .故选：D 5．【答案】B由 |||| →→→→ −=− ANAMNBAB 可得： |||| →→ = MNAN ，故N 在 AM 中垂线上，由投 影的定义可得： 2 2 1 →→→ = AMANAM . 再根据余弦定理可得： 72120cos222 =−+= DMADDMADAM ， 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 2 2 1 →→→ = AMANAM =14 6. 【答案】B【详解】由 2 1 1n nS S n++ = + 得， ( ) 2 1 1 1, 2n nS S n n− + = − +  ， 两式作差得 1 2 1, 2n na a n n++ = −  ， 则 ( ) ( ) ( )25 1 2 3 4 5 24 25 1 3 7 47S a a a a a a a= + + + + + + + = + + + + ( )3 47 12 1 301 2 +  = + = .故选：B 7. 【答案】D【详解】根据题意，满足条件的五位数有以下两类： 第一类，这五个数字为0,0,0,1,2，首位不能 0，所以有 1 1 2 4C C 8 = 个； 第二类，这五个数字为0,1,1,2,2，首位不能是 0，所以有 1 2 4 4C C 24 = 个. 所以，满足题意的五位数有8 24 32+ = 个.故选：D. 8. 【答案】B【详解】设事件 ( )1,2,3iA i = 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产 的， 则 ( ) ( ) ( )1 2 3 5 4 1 , , 10 10 10 P A P A P A= = = ， 事件 B表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3P B P A P B A P A P B A P A P B A= + +∣ ∣ ∣ 5 2 4 3 1 5 27 10 100 10 100 10 100 1000 =  +  +  = ，由贝叶斯公式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 10 12 5 , , 27 27 27 P A P B A P A P B A P A P B A P A B P A B P A B P B P B P B = = = = = = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 所以甲乙丙要承担的责任比为10 :12 :5，故选：B. 9. 【答案】AD【详解】对于 A，由 1 2 1 1 3 1 16 4 16 p p+ + + + = ，得 1 2 1 1 2 2 4 p p+ = =  ， 则 1 2 1 , , 4 p p 成等差数列，A 正确； 对于 B，由 1 1 1 , , 16 4 p 成等比数列，得 2 1 1 1 4 16 p =  ，而 1 0p  ，解得 1 1 8 p = ，B 错误； 是 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 对于 C， 2 3 8 p = ， 1 2 5 (2 5) ( 3) ( 4) 8 P X P X P X p p  = = + = = + = ，C 错误； 对于 D， 1 1 1 3 3 7 ( ) 1 2 3 4 5 16 8 4 8 16 2 E X =  +  +  +  +  = ，D 正确.故选：AD 10. 【答案】BCD【详解】A. ( )P B A∣ 和 ( )P A B∣ 的大小关系，取决于事件 A与事件 B的 关系，故错误； B.若 ( ) ( )P B A P B=∣ ，则 ( ) ( ) ( ) P AB P B P A = ，即 ( ) ( ) ( )P AB P A P B=  ，则事件 A，B相互 独立，故正确； C. 因为随机变量 ( )2~ 2,X N  ，且 (0 4) 0.4P X  = ，所以 3 (01 ( 4) 0. 2 4) P X X P  −  = = ，故正确； D.因为随机变量 Y服从两点分布，且 ( ) 1 ( ) 1 1 2 E Y P=  − = ，则 1 2 P = ，所以 ( )(2 11) 4D P PY =  − = ，故正确，故选：BCD 11.【答案】AC ( ) 2 2 π π 1 cos 2 1 cos 2 π π 6 2 sin sin 12 4 2 2 x x f x x x     − + − +           = + + + = +        3 3 3 π sin 2 cos 2 1 sin 2 1 4 4 2 6 x x x   = − + = − +    ，则 ( )f x 的最小正周期是 2π π 2 = ，故选项 A 正确； 由三角函数的性质可知 ( ) 3 1 2 f x  + ，即 ( )f x 的最大值是 3 1 2 + ，故选项 B 错误； π 2π , 3 3 x       时， π π 7π 2 , 6 2 6 x   −     ，因为 siny z= 在 π 7π , 2 6 z       上单调递减，故 ( )f x 是区间 π 2π , 3 3       上的减函数，故选项 C 正确； 令 π 2 π, Z 6 x k k− =  ，解得 π π , 2 12 k x k= + Z ，故 ( )f x 的图象的对称中心为 π π ,1 2 12 k  +    ， kZ ，令 π π π 2 12 6 k + = 得 1 Z 6 = k ，所以 ( )f x 的图象不关于点 π ,1 6       中心对称，故选项 D 错误.故选：AC 12.【答案】 20− 【详解】令 1x = ，得 0 1 2 3 4 1a a a a a+ + + + = ， 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 令 1x = − ，得 0 1 2 3 4 81a a a a a− + − + = ，所以 ( )1 32 80a a+ = − ，即 1 3 20 2 a a+ = − . 故答案为： 20− 13. 【答案】 13 2 【详解】令 na 的公差为 ( )0d d  ， 1 2 4, ,a a a 成等比数列， 2 2 1 4a a a = ， ( ) ( ) 2 1 1 1 3 + = +a d a a d ， 1a d = ， na nd = ． ( ) ( ) 1 1 1 1 1 18 18 18 2 2n n n n n n na d a nd d d S a a nd nd − − + + + + +  = = 1 18 1 1 18 1 1 13 2 2 3 2 2 2 2 2 2 n n n n = + +   + =  + = ， 当且仅当 1 18 2 n n = ，即 6n = 时取等号．故答案为： 13 2 14【答案】6 3 【详解】因为 π sin sin cos 2 2 2 A C B B+ − = = ，故由 sin sin 2 A C a b A + = 得 cos sin 2 B a b A= ，由正弦定理得sin cos sin sin 2 B A B A= ，又sin 0A  ，故 cos sin 2sin cos 2 2 2 B B B B= = ，因为 π 0, 2 2 B       ，所以cos 0 2 B  ，故 1 sin 2 2 B = ，所以 π 3 B = . 因为 2 21 1( ) | | | | 6 2 2 AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB =  − =  −  = − = ， 所以 4AB = .在 ABCV 中余弦定理得， 2 2 2 22 cos 28 16 4b a c ac B a a= + −  = + − ，所以 6a = .所以 ABCV 的面积为 1 sin 6 3 2 S ac B= = . 15.【详解】（1） 2( ) 2 3 cos 2sin cos 3f x x x x= + − π sin 2 3 cos2 2sin(2 ) 3 x x x= + = + ,-------------3 分 因为 [0, ] 2 x   ，则 π π 4π 2 , 3 3 3 x   +     ，所以 π 3 sin 2 ,1 3 2 x    +  −       ， 所以 ( ) [ 3,2]f x  − -------------6 分 （2）由第（1）问知 π π π 8 2sin 2 2 6 2 6 3 5 f       − = − + =          ，所以 4 sin 5  = ， 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 因为 π (0, ) 2   ，所以 3 cos 5  = ------------8 分 因为 ， 为锐角，所以 ( )0,π +  ，因为 12 cos( ) 13  + = − ， 所以 5 sin( ) 13  + = ，-------------10 分 所以sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin         = + − = + − + --------12 分 5 3 12 4 63 13 5 13 5 65 =  +  = .------------13 分 16. 【详解】（1） ( )14 3 4 , 2 n n na a n−= +   ，两端除以4 n，得 1 1 3 4 4 n n n n a a − − − = ，即 1 3n nb b −− = ，---------4分 由 1 16a = ，得 1 4b = ，所以数列 nb 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列， ( )4 3 1 3 1nb n n = + − = + .------------7 分 （2） ( )3 1, 3 1 4 4 nn nn a n a n= +  = + ， ( )1 24 4 7 4 3 1 4nnS n =  +  + + + ，① ( )2 3 14 4 4 7 4 3 1 4nnS n +=  +  + + + ，② 由①-②，得 ( ) ( )1 2 13 4 4 3 4 4 3 1 4n nnS n +− =  +  + + − + ， ( )1 1 2 3 1 4 4 4 4 4 3 3 n n n n S + +   = −  − + +    ( )1 1 1 16 1 43 1 4 4 4 3 3 1 4 n nn − + −+  = −  −  −  14nn +=  .-----------15 分 17.解析：（1）由余弦定理可得 2 2 2 2 cosb c a ac B= + − ，代入 2 2 22b a c− = ，得到 ( )2 2 2 22 cos 2c a ac B a c+ − − = ，化简得 2 2 cos 0c ac B+ = ，即 2 cos 0c a B+ = .----3分 由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B+ = ，即 ( )sin 2sin cos 0A B A B+ + = ， 展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B+ + = ，即3sin cos cos sinA B A B= − ， 所以 tan 3 tan B A = − ．-------7分 （2）由 2 2 22b a c− = 得 2 2 2 2 b a c − = ， 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 故 2 2 2 cos 2 a b c C ab + − = 2 23 3 4 4 4 a b a b ab b a + = = + 3 2 16  3 2 = ，----------13分 当且仅当 2 23b a= ，即 3b a= 时等号成立．因为 ( )0,πC ， 所以 π 6 C  ，C的最大值为 π 6 .--------15分 18.解：（1）由 1 2 1n na a+ = + ，可得 1 1 2( 1)n na a+ + = + ，所以{ 1}na + 是以 1 1 2a + = 为首项，以2为公 比的等比数列，所以 1 2nna + = ，即 2 1 n na = − ，------------4分 又 2 3nB n n= + ，所以 2 1 ( 1) 3( 1),( 2)nB n n n− = − + − … ，所以 1 2 2n n nb B B n−= − = + ， ( 2)n… ， 1 1 4b B= = 满足上式，所以 2 2nb n= + ；--------------------------8分 （2）由 2 2 3nn na b n− = − − ，当 3n  时， 0n na b−  ， n na b ；当 3n  时， 0n na b−  ， n na b ， 所以 2 1, 3 2 2, 3 n n n c n n  −  =  + „ ，---------------------12 分 所以 1 2(1 2 ) 2 2 1 2 n n nA n n +−= − = − − − ，------14 分 当 3n  时， 2 3n nT B n n= = + ， 当 3n  时， 1 1 3 3 2 2 11 18 2 5 n n n nT A A B n n + += − + = − − − + = − + 综上， 2 1 3 , 3 2 5, 3 n n n n n T n n+  + =  − +  „ ．-----------17 分 19.解析：（1）依题意， X 的所有可能取值为1,2,3，------------1 分 ( ) ( ) 3 1 3 1 3 3 1 1 9 1 , 2 4 2 8 4 8 4 2 2 32 P X P X= =  = = =  +   = ， ( ) 3 9 11 3 1 8 36 32 P X = = − − = ，-------------4 分 所以 X 的分布列为： X 1 2 3 P 3 8 9 32 11 32 数学期望 ( ) 3 9 33 63 8 16 32 32 E X = + + = .--------7 分 （2）令 3 1 , 4 2 p q= = ，若前 ( )1k − 位玩家都没有通过第一关测试，其概率为 1 1 1 1 3 1 3 ( ) (1 ) ( ) 4 4 2 2 4 k k k k p p pq− −= − =   =  ，--------10 分 若前 ( )1k − 位玩家中第 ( )1 1i i k  − 位玩家才通过第一关测试，则前面 1i − 位玩家无人通过 德阳天立高级中学 2023级高三一轮复习综合测试（一）数学参考答案 第一关测试，其概率为 1(1 )ip −− ，第 i 位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其 概率为 ( )1p q− ，第 1i + 位玩家到第 1k − 位玩家都没有通过第二关测试，其概率为 1(1 )k iq − −− ，所以前面 ( )1k − 位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) ( ) 1 k k i k i k i k i i p p p p q q q pq q q − − − − − − − = = − = − − − = −  −   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ( ) 3 1 1 3 1 3 12( ) ( ) ( ) [1 ( ]) 18 2 2 8 2 2 2 ] 1 2 k k k i k k k i − − − − − − + =  − = =   = − −  ，---------13 分 因此第 k位成员闯过第二关的概率 1 2 ] 3 1 1 ( ( [( ) ( ) 2 ) ) 2 4 k k k kkp p p= + = − ，由 3 1 1 3 [( ) ( ) 2 2 4 12 ] 8 k k−  ，得 1 1 1 ( ) ( ) 2 4 64 k k−  ，解得 6k  ，则 0 6k = ，所以 7n = .---------17 分 1 德阳天立高级中学 2023 级高三一轮复习综合测试（一）数学试题 姓名： 班级： 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z满足： i 2 z z = + ，则 z =（ ） A. 1 i− − B. 1 i− + C. 1 i+ D. 1 i− 2. 二项式 6 2 x x   −    的展开式中 4x 的系数为（ ） A. 60 B. 60− C. 12− D. 12 3．某兴趣小组研究光照时长 x（h）和向日葵种子发芽数量 y（颗）之间的关系，采集 5 组 数据，作如图所示的散点图．若去掉 ( )10,2D 后，下列说法正确的是 （ ） A．相关系数 r变小 B．决定系数 2R 变小 C．残差平方和变 D．解释变量 x与预报变量 y的相关性变强 4.若 π π cos , , tan 2 2 3 sin        − =  −  ，则 π sin 2 3    − =    （ ） A 4 6 7 18 + − B． 4 6 7 18 − C． 4 2 7 3 18 + − D． 4 2 7 3 18 − 5.在边长为 4 的菱形 ABCD中， 60A = ，M 为CD中点，N 为平面 ABCD内一点，若 AB NB AM AN− = − ， AM AN → →  = ( ) A．16 B．14 C．12 D．8 6.已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a = ， ( )2 *1 1n nS S n n++ = + N ， 25S =（ ） A. 300 B. 301 C. 324 D. 325 2 7. 用数字0,1,2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被 3 整除的五位数有 （ ） A. 8 个 B. 16 个 C. 24 个 D. 32 个 8. 某汽车 4S 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500,400,100 辆进行销售，甲 乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为 2%,3%,5% ，某消费者从该 4S 店购 买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企 应承担的责任比为（ ） A. 2 : 3 : 5 B. 10 :12 :5 C. 5:12 :10 D. 5: 4 :1 二．多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知随机变量 X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P 1 16 1p 1 4 2p 3 16 其中 1 1 1 , , 16 4 p 成等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 1 2 1 , , 4 p p 成等差数列 B. 1 1 8 p =  C. 15 (2 5) 16 P X  = D. ( ) 7 2 E X = 10.下列说法正确 是（ ） A. 假设 A，B是两个事件， ( ) 0, ( ) 0P A P B  ，则 ( ) ( )P B A P A B=∣ ∣ B. 假设 A，B是两个事件， ( ) 0P A  ，若 ( ) ( )P B A P B=∣ ，则事件 A，B相互独立 C. 随机变量 ( )2~ 2,X N  ，且 (0 4) 0.4P X  = ，则 ( 4) 0.3P X  = D. 随机变量 Y服从两点分布，且 1 ( ) 2 E Y = ，则 (2 ) 1D Y = 的 3 11.函数 ( ) 2 2 π π sin sin 12 4 f x x x     = + + +        ，则下列关于 ( )f x 的说法中正确的是（ ） A．最小正周期是 π B．最大值是 2 C．是区间 π 2π , 3 3       上的减函数 D．图象关于点 π ,1 6       中心对称 三．填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡上. 12. 若 4 2 3 40 1 2 3 4(1 2 )x a a x a x a x a x− = + + + + ，则 1 3,a a 的等差中项为__________. 13. 已知 na 是公差不为 0 的等差数列，且 1a ， 2a ， 4a 成等比数列，若 nS 是数列 na 的 前 n项和，则 118n n S a a + 的最小值为________． 14．在△𝐴𝐵𝐶中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , , , 2 7, sin sin , 2 A C a b c b a b A O + = = 是△ 𝐴𝐵𝐶的外心， 6AO BC = ，则△ 𝐴𝐵𝐶的面积为________． 四．解答题：本大题共 5 小题，其中 15 题 13 分，16-17 题 15 分，18-19 题 17 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.已知函数 2( ) 2 3 cos 2sin cos 3f x x x x= + − . （1）当 π 0, 2 x       时，求 ( )f x 的取值范围； （2）若锐角 ， 满足 8 ( ) 2 6 5 f   − = ， 12 cos( ) 13  + = − ，求sin  . 16. 已知数列  ( )1 1, 16, 4 3 4 , 2 n n n na a a a n−= = +   .令 4 n n n a b = ， （1）证明数列 nb 是等差数列，并求出通项公式； （2）求数列 na 的前n项和 nS . 4 17.记 ABC 的内角A ， B，C的对边分别为a，b，c．已知 2 2 22b a c− = ． （1）求 tan tan B A 的值： （2）求C的最大值． 18.已知数列{ }na ，{ }nb 的前 n项和分别是 nA ， nB ，若 1 1a = ， 1 2 1n na a+ = + ， 2 3nB n n= + ． (1)求{ }na ，{ }nb 的通项公式； (2)定义 , * , a a b a b b a b  =   „ ，记 *n n nc a b= ，求数列{ }nc 的前 n项和 nT ． 19.某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 *( 3, N )n n n  位 成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功， 则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员 第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力 去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结 束.已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 3 4 和 1 2 ，且每位成员闯关是否成 功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若 3n = ，用 X 表示A 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 X 的均值； （2）记A 团队第 *(1 1, N )k k n k  −  位成员上场且闯过第二关的概率为 kp ，集合 * 3N 128 kk p        中元素的最小值为 0k ，规定团队人数 0 1n k= + ，求n .