4.3 用一元一次方程解决问题课件-2025-2026学年 苏科版（2024）七年级数学上册

4.3 用一元一次方程解决问题 22251 4.3 第1课时 列方程解应用题的一般步骤 22251 1. 掌握用一元一次方程解决问题的一般步骤，并能从关键句中找到等量关系，进一步列方程 学习目标 22251 问题：右图中的一套紫砂壶茶具包括1把茶壶和6只茶杯。做1把茶壶需要0.6kg的泥料，做1只茶杯需要0.15kg的泥料。10.5kg泥料可以做几套这样的茶具?（不计制作时的耗损） 新课导入 22251 问题：右图中的一套紫砂壶茶具包括1把茶壶和6只茶杯。做1把茶壶需要0.6kg的泥料，做1只茶杯需要0.15kg的泥料。10.5kg泥料可以做几套这样的茶具?（不计制作时的耗损） 【算术方法】 0.6+6×0.15=1.5（kg）， 10.5÷1.5=7（套）， 答：可以做7套茶具。 【列方程方法】 设可做x套茶具， 根据题意得：0.6x+6×0.15x=10.5， 解得：x=7， 答：可以做7套茶具。 比较小明、小丽的方法，你能说说他们是如何思考的吗？ 新课讲授 22251 上述问题中，小丽利用列方程方法解决问题，经历了如下过程: 1.根据题意，设一个合适的未知数。 2.根据问题中的等量关系，列出方程. 设可做x套茶具 茶壶泥料+茶杯泥料=总泥料 0.6x +6×0.15x=10.5 3.解方程，求出未知数的值。 4.写出问题的答案。 x=7 答：可以做7套茶具. 22251 用一元一次方程解决问题的一般步骤： 步骤简称 详细内容 具体细节 审 审题，明确已知未知，找出等量关系 等量关系关键句中找 设 设未知数 一般要带单位 列 根据等量关系列方程 方程两边单位要统一 解 选择合适的方法解方程 一般不必写出解方程的过程 验 检验未知数的值是否满足方程， 检验该值在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，要舍去 答 写出实际问题的答案 注意带上单位 归纳 22251 今年小明13岁，王老师45岁.再过几年小明年龄是王老师年龄的三分之一? 分析：这个问题中的等量关系: 若干年后小明年龄=若干年后王老师年龄. 解：设再过x年小明年龄是王老师年龄的三分之一 . 根据题意,得 解这个方程，得 3. 答:3年后小明年龄是王老师年龄的三分之一. 请尝试用算术方法求解，通过比较，说说列方程方法有什么优势? 【算术方法】 45-13×3=6（岁）， 6÷(3-1)=3（年）， 列方程的优势 未知数直接参加运算，顺向思维列方程即可，思路简单直观 典例精析 22251 1. 动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元. 某日动物园售出门票700张，共得29 000元.设儿童票售出 x 张，依题意下列一元一次方程式正确的是(　A　) A. 30 x ＋50(700－ x )＝29 000 B. 50 x ＋30(700－ x )＝29 000 C. 30 x ＋50(700＋ x )＝29 000 D. 50 x ＋30(700＋ x )＝29 000 A 当堂检测 22251 2. 轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值 x 为正整数，最后输出的结果为41.则满足条件的 x 值最多有(　D　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 当堂检测 22251 3. 七(1)班学生开展义务植树活动，参加者是未参加者的3倍，若班里共有48人，则参加者有 ⁠人，未参加者有 人. 36　 12　 4. 已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是 ⁠. 20岁　 当堂检测 22251 5. 甲工厂有某种原料120吨，乙工厂有原料96吨，甲工厂每天用原料15吨，乙工厂每天用原料9吨，多少天后，两个工厂剩下的原料相等？ 解：设 x 天后，两个工厂剩下的原料相等， 根据题意，得120－15 x ＝96－9 x ，解得 x ＝4. 答：4天后，两个工厂剩下的原料相等. 当堂检测 22251 用一元一次方程方程解实际问题的过程: 问题 方程 解答 分析 抽象 求解 检验 分析和抽象的过程包括: (1)弄清题意,设未知数; (2)找等量关系; (3)列方程. 课堂小结 22251 4.3 第2课时 线段图分析问题 22251 1. 能利用线形示意图作为建模策略，分析行程问题中的数量关系列方程解决问题 2. 进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力 学习目标 22251 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个，小组成员共有多少名？他们计划做多少个“中国结”？ 线段图是一种帮助理解题意的辅助手段 5x 计划总数 9个 15个 4x 假设一 假设二 假设一的产量-9 = 计划总数 假设二的产量+15 = 计划总数 从线形示意图可以看出题中的等量关系: 解：设该小组共有x人. 根据题意，得5x－9=4x+15. 解这个方程，得x=24. 5x－9=111. 答：该小组共有24人，计划做111个“中国结”. 新课导入 22251 1.一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元，这件羽绒服的进价是多少元？ 进价x元 利润 96元 售价？元 分析：根据题意画出如图所示的线形示意图 . 从线形示意图可以看出，这个问题中的等量关系: 售价-进价=获利 新课讲授 22251 解：设这件羽绒服的进价为元 根据题意，得 1.5×80%-=96 解这个方程，得 =480 答：这件羽绒服的进价是480元。 改变题中的部分条件，提出一个问题，请你的同伴列出一元一次方程，并求解. 1.一件羽绒服的标价为进价的1.5倍，在促销活动中以8折出售，获利96元，这件羽绒服的进价是多少元？ 典例精析 22251 2.小明、小亮相约去博物馆，小明以5km/h得速度步行0.5h后，小亮骑自行车以15km/h得速度沿相同路线出发，并在途中追上了小明，小亮出发多久可以追上小明？ 分析： 设小亮出发xh后追上小明，根据题意画出如下图所示的线形示意图 . 小明步行的路程=小亮骑行的路程 从线形示意图可以看出，这个问题中的等量关系: 新课讲授 22251 解：设小亮出发 h后追上小明 根据题意，得 5×0.5+5=15 解这个方程，得 =0.25 答：小亮出发0.25h后追上小明。 2.小明、小亮相约去博物馆，小明以5km/h得速度步行0.5h后，小亮骑自行车以15km/h得速度沿相同路线出发，并在途中追上了小明，小亮出发多久可以追上小明？ 新课讲授 22251 1. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7 m，乙每秒跑6.5 m，甲让乙先跑5 m，设 x 秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是(　B　) A. 7 x ＝6.5 x ＋5 B. 7 x ＋5＝6.5 x C. (7－6.5) x ＝5 D. 6.5 x ＝7 x －5 B 当堂检测 22251 2. 某种商品的进价为18元，标价为 x 元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润达到20％，则标价为(　B　) A. 26元 B. 27元 C. 28元 D. 29元 B 当堂检测 22251 3. 某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利25％，则这件 商品的进价是 元. 48　 4. 一条船顺流航行，每小时行驶20千米；逆流航行，每小时 行驶16千米.若水的流速与船在静水中的速度都是不变 的，则轮船在静水中的速度为 千米/小时. 18　 当堂检测 22251 5. 由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价是多少元？ 解：设该商品的原售价是 x 元，根据题意， 得75％ x ＋25＝90％ x －20， 解得 x ＝300. 答：该商品的原售价是300元. 当堂检测 22251 画图注意事项: (1) 认真读题，全面理解题意，所画的图要准确反映问题中的数量关系； (2) 要按照题目的叙述顺序在图上标明条件. 对于双线段并列图和多线段并列图，一定要找准数量间的对应关系，明确所求的问题. 课堂小结 22251 4.3 第3课时 比例与图形问题 22251 会利用公式或找规律列等量关系，解决实际问题 通过经历列一元一次方程解决实际问题的过程，逐步建立方程思想，培养建模意识. 学习目标 22251 回顾：列方程解应用题的解题步骤: 1.审 2.找 3.设 4.列 5.解 6.验 7.答 新课导入 22251 1.已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状 分析：这个问题中的等量关系： 第一个角+第二个角+第三个角=180° 解：设三角形三个角的大小分别为2x,3x,5x 根据题意，得2+3+5=180° 解得=18° 所以2=36°，3=54°，5=90° 三角形的三个角的大小分别为：36°，54°，90° 答：这个三角形是直角三角形。 新课讲授 22251 三角形的三边之比是3∶5∶7，且最长边比最短边长8 cm，则该三角形的周长是 ⁠. 30 cm　 小试牛刀 22251 2.用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形，依此规律，图形中黑色棋子的个数有可能是50吗？ … （1） （2） （3） （4） 解：设第m个图形中有黑色棋子50个 根据题意得m+1=50，解得m=， m=不是整数，不符合题意 答：图形中黑色棋子的个数不可能是50. 新课讲授 22251 1.甲、乙、丙三辆卡车运货的吨数比是6∶7∶4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车共运货物(　C　) A. 120吨 B. 130吨 C. 140吨 D. 150吨 C 当堂检测 22251 2. 某校的一间阶梯教室内，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加 a 个座位. (1)则第4排的座位数为 ，第 n 排的座位数为 ⁠； 12＋3 a 　 12＋( n －1) a 　 (2)已知前5排座位数的和是第15排座位数的2倍，求a的值. 解：由题意，得12＋12＋ a ＋12＋2 a ＋12＋3 a ＋12＋4 a ＝2(12＋14 a )， 解得 a ＝2. 当堂检测 22251 3. 如图是一组有规律的图案. (1)第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由 ⁠个基础图形组成，…，第 n 个图案由 ⁠个基础图形组成(用含 n 的代数式表示). (2)在上面的图案中，能否找到一个由2 023个基础图形组成的图案？如果能，说明是第几个图案；如果不能，说明理由. 7　 (3n ＋1)　 解：能.由(1)得第 n 个图案由(3 n ＋1)个基础图形组成， 根据题意，得3n ＋1＝2 023，解得 n ＝674. 所以能找到第674个图案由2 023个基础图案组成 当堂检测 22251 利用公式、规律解决问题 1.找出题目中的公式、规律 2.列等量关系解题 课堂小结 22251 4.3 第4课时 列表法分析问题 22251 1.能利用表格作为建模策略，分析问题中的数量关系列方程解决古代数学、工程等问题 2.进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力 学习目标 22251 古代问题：鸡兔同问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 题目有哪些变量、常量？你能将这些量通过列表分析出等量关系吗？ 新课导入 22251 分析：设鸡有x只，可以列出表格分析数量关系 项目 只数 足数 鸡 兔 合计 2 35- 4(35-) 解：设鸡有只 根据题意，得2+4(35-)=94 解这个方程，得=23 35-=12 答：鸡有23只，兔有12只。 古代问题：鸡兔同问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 35 94 新课讲授 22251 本类古代问题取材于中国古代数学名著《九章算术》、《孙子算经》等，解答此类问题的一般策略： (1)理解古代语言的含义，把古文转化为现代语言； (2)紧扣古文中的数量关系，设出未知数，寻找等量关系，列出方程解决问题． 归纳 22251 1.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载： “今有清酒一斗直粟八斗， 醑(xǔ)酒一斗直粟二斗， 今持粟两斛， 得酒四斗， 问清、醑酒各几何？” 大意：现在一斗清酒价值8 斗谷子， 一斗醑酒价值2 斗谷子， 现在拿20 斗谷子， 共换了4 斗酒， 问清酒、醑酒各几斗？（设清酒有x斗，试完成表格分析数量关系，列出方程不求解） 单价/斗谷子 数量/斗 总价/斗谷子 清酒 醑酒 合计 解：设清酒有x斗，则醑酒有(4－x)斗． 根据题意，得8x＋2(4－x)＝20， 解这个方程，得x＝2 ，则4－x＝2 ． 答：清酒2斗，醑酒2斗． 巩固练习 8 x 8x 2 4－x 2(4－x) —— 4 20 22251 分析：这个问题中的等量关系: 全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做的工作量. 全部工作量虽然未知，但可以把它看作一个整体，记作1， 那么甲单独做1h完成全部工作量的，乙单独做1h完成全部工作量的. 2.用计算机处理一批数据，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合作完成，甲、乙两人合作了多长时间？ 新课讲授 22251 工作方式 工作效率 工作时间/h 工作量 甲单独做 8 甲、乙合作 合计 1 ×8 （） 解：设甲、乙两人合作了 h 依题意，得 解这个方程，得=4 答：甲、乙两人合作了4h。 解该题时， 小明列出的方程是① 小丽列出的方程是② . 这两个方程的意义分别是什么? 方程①:甲做的工作量十乙做的工作量=1. 方程②:甲、乙合做的工作量=1-甲单独做的工作量 讨论 设甲、乙两人合做了xh，可列如下表格分析数量关系： 2.用计算机处理一批数据，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合作完成，甲、乙两人合作了多长时间？ 新课讲授 22251 1.当工作总量未知时，一般把工作总量看作整体1，则工作效率为单独完成工作总量的时间的倒数. 2. 若将工作总量分几部分完成，则常见的等量关系为各部分的工作量之和等于工作总量. 归纳 22251 2.检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14 天， 乙单独完成需 18 天， 丙单独完成需 12天, 前7 天由甲、乙两人合作， 但乙中途离开了一段时间， 后2 天由乙、丙两人合作完成， 问乙中途离开了几天？ （设乙中途离开了x天，试列出表格分析数量关系，列出方程不求解） 工作方式 工作效率 工作时间/天 工作量 甲、乙合作 甲 7 乙 7－x 乙、丙合作 2 合计 —— —— 1 巩固练习 解：设乙中途离开了x天. 根据题意，得 ×7＋×(7－x)＋(＋)×2＝1 解得x＝3 . 答: 乙中途离开了3天. 22251 1. 某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做3天，乙再参与进来，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间.设完成此项工程规定的时间为 x 天，则下列方程正确的是(　A　) A 当堂检测 22251 2.我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？”意思是说“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘．问车有几辆？”则该问题中车的数量是（     ） A．16辆 B．15辆 C．14辆 D．13辆 解：设有x辆车，则有人，根据题意得： ， 解的：， ∴有15辆车 B 当堂检测 22251 3.里运河文化长廊景区分为“起”“承” “转” “和” 四大板块. 为了打造里运河风光带，淮安市人民政府将一段长为1 800 米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后单独完成， 共用时80 天. 已知甲队每天整治河道30 米， 乙队每天整治河道18 米， 求甲、乙两队分别整治河道多少米？ 设甲队整治河道x米，可以列出表格分析数量关系： 工作效率/(米/天) 工作量/米 工作时间/天 甲队 30 x 乙队 18 1 800－x 合计 —— 1 800 80 解：设甲队整治河道x米， 则乙队整治河道(1 800－x)米． 根据题意，得＋＝80． 解这个方程，得x＝900. 则1 800－x＝900． 答：甲、乙两队都整治河道900米． 当堂检测 22251 用表格分析问题中的数量关系 用一元一次方程解决问题的关键是找出实际问题中含未知数的等量关系：列表、画示意图比较直观、明了,是分析实际问题中数量关系的常用策略 古代问题 工程问题 课堂小结 22251 $$