第四章 一次函数 同步训练 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第四章 一次函数 一、单选题 1．在中，，且，则的面积y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A． B． C． D． 3．有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下列与之间的关系中，是的正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与它的边长之间的关系 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系 5．若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　） A．2 B． C． D．3 6．已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 7．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知点和点是图象上的两个点，则与 的大小关系 ． 10．已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 11．（由定义对字母的值进行取舍）若函数是正比例函数，则m的值为 ． 12．已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 13．在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： (1)求的长； (2)点E的坐标，并求出直线的解析式； (3)若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． (4)求直线关于直线对称的直线解析式 16．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 18．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了函数解析式，根据即可求解． 【详解】解：如图所示：    ∵， ∴， 则， 故选：A 2．A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出该函数的图象与坐标轴的交点．根据，得出两个函数k值相等，即两直线平行，根据，得出两个函数与y轴的交点一正一负，进而可得出答案． 【详解】∵， ∴一次函数和中，k值相等，即两直线平行， ∵， ∴一次函数和中，与y轴的交点一正一负， A选项符合题意， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如（，为常数）的函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数， ∴一次函数有个， 故选：． 4．C 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各项的函数解析式，再逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，正方形的面积与它的边长之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B中，用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C中，小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； D中，汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系是，不是正比例函数关系； 故选：C． 5．A 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限， ∴，且， 解得，且， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了求自变量的取值．把代入，即可求解． 【详解】解：当函数值时，， 解得：或． 故选：D 7．D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，甲的速度为米分，故选项A错误，不符合题意； 设乙的速度为米分， 由图可得，， 解得， ∴乙的速度为米分，故选项B说法错误，不符合题意； ∴甲到达终点的时间为分钟， 乙达到终点的时间为分钟， ∵甲先出发分钟，∴当t时，乙到达终点．故选项C错误； ∴乙先到终点原地休息了分钟，故选项D符合题意． 故选D． 8．D 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为，如图． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则，解得：， 点的坐标为． 故选：D． 9．/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点和点是函数图象上的两个点，， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义条件可得且，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且， 解得：． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了正比例函数的定义及其性质、绝对值方程的解法，解题的关键在于理解正比例函数的形式为（其中）．先解方程确定m的可能值，然后判断系数的条件，从而得出正确答案． 【详解】解：由|得，或 ， 当时，，不符合条件，舍去； 当时，，符合条件， 综上，． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】先用待定系数法求直线的解析式，则，且；设点N的坐标为，则，消去m，得，再求得，即知点N的运动路径，即可求得答案． 【详解】解：直线与直线平行， 可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 点在线段上运动， ，且， 设点N的坐标为， N为线段的中点， ， 消去m，得， ，， ， 解得， 令，则， 令，则， 设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离公式，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离公式，中点坐标公式是解题的关键． 14．(1)①见解析；②0，或3 (2) 【分析】（1）①由题意画出函数图象即可；②由图象即可得解； （2）分类讨论，然后根据增减性找到取值范围内最大值和最小值，即可得解． 本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）①函数的图象如图所示； ②根据图象可知，当时，， 当时，或3； 故答案为：0，或3； （2）当时，此时当时，其图象都在的图象上， ， 随x增大而增大， 当时，，当时，， ； 当时，此时， 当时，，当时， ， 综上， 15．(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）先求解，，结合，可得； （2）如图，过作于，证明，可得，再进一步求解即可； （3）如图，过作轴于，证明，当时，求解，可得将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位，进一步可得答案； （4）先求解，关于直线的对称点为，，设直线为：，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵直线交坐标轴于A、B两点， ∴当时，， 当时，， 解得：， ∴，， ∵， ∴. （2）解：如图，过作于， ∵平分交y轴于E，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为. （3）解：如图，过作轴于， ∵在直线上， ∴， 当时， ∴，而， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位， ∴平移后的直线为. （4）解：如图，∵，， ∴，关于直线的对称点为，， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴直线关于直线对称的直线解析式为：. 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点坐标，角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 16．(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 17．(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，化为最简二次根式，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$