第二章 实数 单元训练 2025—2026学年北师大版八年级数学上册

第二章 实数 训练 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．正数的立方根是正数 B．的立方根是 C．负数和都有立方根 D．是的立方根 2．若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 3．若和的和是单项式，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 4．二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 5．古希腊数学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式．公式大意：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．如图，在中，，则的面积为（   ） A． B． C．18 D． 6．某数值转换器的程序如图所示，当输入的x为16时，输出的y为（   ） A．8 B．4 C．2 D． 7．有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 8．已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 9．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形（阴影部分），用计算器求得a的值为（结果精确到百分位）（   ） A．2.70 B．2.66 C．2.65 D．2.60 二、填空题 11．若，则 ． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 13．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 14．若某长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为 ． 15．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 18．如下图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等．设点C对应的数为x． (1)求的长． (2)求的平方根． 19．如图，将两块边长均为的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形． (1)求大正方形的面积． (2)求出大正方形的边长，并估计大正方形的边长在哪两个相邻的整数之间． 20．已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 实数 训练2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A A D C C D C 1．D 【分析】本题考查了立方根的概念，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据立方根的概念逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、正数的立方根是正数，选项说法正确，不符合题意； B、的立方根是，选项说法正确，不符合题意； C、负数和0都有立方根，选项说法正确，不符合题意； D、的立方根是，是的立方根，选项说法错误，符合题意． 故选：D ． 2．D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分，，三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可． 【详解】解：当时， 原式， 当时， 原式， 当时， 原式． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了单项式的定义、合并同类项和平方根．根据单项式的和是单项式，可得已知的两个单项式为同类项，根据同类项的字母相同且相同字母的指数也相同，可得、的值，再代入计算平方根即可． 【详解】解：和的和是单项式， ，， ， 的平方根是． 故选：D ． 4．A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，可得，验证各选项即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：． 5．A 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积； 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了算术平方根的知识，注意理解程序的内容和熟练应用算术平方根的计算是关键．将已知的值输入程序，取算术平方根后看是否为无理数，如果是无理数则输出该值，如果是有理数则再次输入取算术平方根，直到输入进去的数的算术平方根为无理数为止，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是有理数； 继续返回，的算术平方根为，是无理数，则输出，即输入的为． 故选：D ． 7．C 【分析】本题考查了概率的计算．熟练使用列举法或树状图法列出所有可能情况是解题的关键． 先判断每个算式是否正确，然后通过列举法找出四张卡片种随机抽取两张的所有可能情况，再找出两张卡片算式都正确的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：算式①中，并非，该算式错误； 算式②中正确； 算式③中不能合并同类项，该算式错误； 算式④正确； 抽取两张卡片的所有情况有：①②、①③、①④、②③、②④、③④共6种， 其中抽取的两张卡片上的算式都正确的情况有：②④，共1种， 所以抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是， 故选C． 8．C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 9．D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 【详解】解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 10．C 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，根据正方形的面积和算术平方根的概念求出两个正方形的边长即可． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长为，截取的小正方形的边长为， ∴． 故选：C． 11．1 【分析】此题考查代数式的求值，算术平方根的非负性及绝对值的非负性，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查比较实数的大小，根据两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 13．D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查了二次根式的应用．直接利用矩形面积求法结合二次根式乘法运算法则得出答案． 【详解】解：长方形的长为，宽为， 此长方形的面积为： ． 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴, ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ……， 以此类推可得，当为奇数时，；当为偶数时，， ∴， 故答案为：． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）利用二次根式的乘法法则化简然后合并同类二次根式即可； （2）先计算除法，然后合并同类二次根式即可． （3）先根据乘法公式去括号，再合并即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）（2）根据已知等式的规律可得结论； （3），在根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算、平方根的求解、无理数的估算．解题的关键是根据数轴上点的位置关系列出距离关系式，进而求出未知点对应的数，再代入式子计算平方根． （1）先根据A、B两点表示的数求出的距离，再结合与的距离相等得到x的值，最后计算的长； （2）将（1）中求得的x的值代入式子，计算出结果后再求其平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示1，点B表示， ∴． 又∵点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，点C对应的数为x，且点C在数轴正半轴， ． 因，则， ∵点A表示1，则点A在点C的右边， ． （2）解：由（1）知， 将其代入得： ． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 19．(1)大正方形的面积是； (2)大正方形的边长是，大正方形的边长在和之间． 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，有理数加法的应用，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为； （）根据大正方形的面积可得边长为，然后利用无理数估算方法即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形纸板是由两个小正方形纸板拼凑而成的，因此大正方形的面积为两个小正方形的面积之和， ∴大正方形的面积为， 答：大正方形的面积是； （2）解：由（）可得大正方形的边长是， ∵， ∴， ∴大正方形的边长在和之间． 20．(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$