第二章 函数与基本初等函数（高效培优综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第二章 函数与基本初等函数（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组函数中，，是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果. 【详解】解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数. 故选：D 2．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论. 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 3．已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 4．设函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用复合函数和对数函数的性质转化为二次函数单调性的问题，建立不等式组求解取值范围，再求最值即可. 【详解】令，， 则可视为由和构成的复合函数， 由对数函数性质得在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数性质得在区间上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为直线， 显然开口向上，故，解得， 则的最大值为4，故C正确. 故选：C 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B; 故选：D． 6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，，相减即可求解； 【详解】由题意， ， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 7．已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点的定义先确定当时，有1个零点，进而得到当时，只有一个零点，进而转化问题为方程在时有一个解，再结合指数函数的性质求解即可. 【详解】当时，有1个零点， 则当时，只有一个零点， 即方程在时有一个解， 即方程在时有一个解， 因为函数为增函数， 且当时，， 则，即. 故选：B. 8．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】因为，所以， 从而可得，所以函数是以2为周期的周期函数， 当时，，可得； 当时，，由，可得， 所以，从而可得， 所以，在上有：， 又，且的定义域为， 当时，作出两函数的图象，如图， 由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，作出两函数的图象，如图， 结合函数的周期性可知，两函数的图象在上没有交点；在，，，上均有2个交点；在上有1个交点， 要使的图象与曲线，且恰有10个交点，由图可知，只需，解得. 故选：C. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 【答案】BC 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 10．已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】A选项，利用函数奇偶性的定义判断，B选项，特值代入说明不成立，C和D选项，利用复合函数的单调性判断. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称， 且，从而是奇函数，A正确； ，B错误； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，C正确； 当时，， 在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD 11．已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（   ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】赋值可确定A，令可得知函数关于对称，不是偶函数，通过变换，可证明函数单调性，再利用函数的单调性解不等式，由可求D. 【详解】对A，令，，故A正确； 对B，令，，故函数关于对称，不是偶函数，故B错误； 对C，，所以， 即，，， ，时，，故， 所以，即在上单调递增， ，所以，解得，故C正确； 对D，，，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，即，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13．已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 14．设，函数的最小值为－1，则 . 【答案】e 【分析】结合函数新定义，分，，三种情况讨论即可求解. 【详解】①当时，，当x趋于正无穷时，与均趋于负无穷，无最小值，不符合题意； ②当时，， 而，当时，， 所以的最小值为0，不符合题意； ③当时，，的大致图象如图，设的最小值为. 令，可得，消去得，解得（舍去）或.    故答案为：e. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数（且），，. (1)求a，b的值； (2)若函数，求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）由对数的运算即可求解； （2）由（1）得到，进而得到，累加求和即可； 【详解】（1）由题意得，，，所以， （2）由（1）知，， 则 所以，则 所以， 故. 16．（15分） 已知幂函数为奇函数． (1)求实数m的值； (2)求函数（）的值域． (3)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质列式运算判断； （2）换元令，转化为二次函数求值域； （3）利用二次函数对称轴与定义域关系讨论求解. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ∴，解得或5， 当时，，为奇函数， 当时，，为偶函数， 因为函数为奇函数，∴. （2）由（1）可知，，则，， 令，则，， 则，， 函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，函数，当，函数取得最大值为1， ∴的值域为， 故函数的值域为. （3）函数， 当，即时，在区间上单调递增，最小值为； 当，即时，在区间上先减后增，最小值为； 当，即时，在区间上单调递减，最小值为． 综上，当时，； 当时，； 当时，. 17．（15分） 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论； （2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测； （3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果. 【详解】（1）③； 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③； （2）将表格数据代入，得，， 解得， 故函数为， 则第4天时的舆论场指数为. （3）若本次舆情不是严重的，则恒成立， 原式等于，故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式等于，整理得， 由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可， 代入得，解得， 故的最小值为. 18．（17分） 已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 19．（17分） 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. (1)是否存在指数函数是型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由； (2)判断型函数在上的单调性并说明理由； (3)求证：对于型函数，恒有（为正整数）. 【答案】(1)存在， (2)增函数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由指数函数的性质结合题目中函数新定义求解即可； （2）由函数的单调性判断即可； （3）对不等式进行放缩后由等比数列的求和公式求解； 【详解】（1）存在指数函数是U型函数； 对任意的，有； 对于任意的，若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数与基本初等函数（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组函数中，，是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．设函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 10．已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（   ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为 . 13．已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 14．设，函数的最小值为－1，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数（且），，. (1)求a，b的值； (2)若函数，求的值. 16．（15分） 已知幂函数为奇函数． (1)求实数m的值； (2)求函数（）的值域． (3)求函数在区间上的最小值. 17．（15分） 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 18．（17分） 已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 19．（17分） 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. (1)是否存在指数函数是型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由； (2)判断型函数在上的单调性并说明理由； (3)求证：对于型函数，恒有（为正整数）. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$